空間點線面位置關系與平行判定與性質

空間點線面位置關系及平行判定及性質【知識點梳理】1．平面的基本性質公理 1如果一條直線上的兩個點都在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內A,B llA,B2．平面的基本性質公理 2（確定平面的依據）經過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面3．平面的基本性質公理 2的推論1）經過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面2）經過兩條相交直線，有且只有一個平面3）經過兩條平行直線，有且只有一個平面4．平面的基本性質公理 3如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么它們還有其他公共點， 這些公共點的集合是一條直線A lA A l5．異面直線的定義與判定1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線，既不相交也不平行2）判定：過平面外一點與平面內一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線6．直線與直線平行1）平行四邊形ABCD（矩形，菱形，正方形）對邊平行且相等，AB//CD，BC//AD2）三角形的中位線E,F分別是 AB,AC的中點中位線平行且等于底邊的一半，（3）線面平行的性質定理

EF//BC如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行l(wèi)// ，l ， m l//m4）面面平行的性質定理如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，則它們的交線平行// ， a， b a//b（5）線面垂直的性質定理如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行a ，b a//b7．直線與平面平行（1）線面平行的判定定理如果不在平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行a ，b ，a//b a//2）面面平行的性質定理如果兩個平面互相平行，那么一個平面內的任一直線都平行于另一個平面// ，a a//8．平面與平面平行1）面面平行的判定定理如果一個平面內有兩條相交直線，分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行a ，b ，a b A，a// ，b// //（2）垂直于同一直線的兩個平面互相平行a ，a //【典型例題】題型一：點線面的關系用符號表示、判斷異面直線例1．給定下列四個命題①a ,b ,a//,b// //②a ,a③l m,l n m//n④ , l,a,al a其中，為真命題的是A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④變式1．給出下列關于互不相同的直線 l,m,n和平面 ,,①若l,m為異面直線， l ,m，則 //②若 //,l ,m ，則l//m；

的三個命題：；③若 l, m, n,l// ，則m//n其中真命題的個數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．0題型二：以中位線為突破口的平行證明問題PC

AB,PA

BCD,E,

F,G例2．如圖，在四面體

PABC

中，

，點

分別是棱AP,AC，BC,PB的中點，求證： DE //平面BCPPC

AB,PA

BC

D,E,F,G變式

1．如圖，在四面體

PABC

中，

，點

分別是棱AP,AC，BC, PB的中點，求證：四邊形 EEFG為平行四邊形變式2．如圖，在直三棱柱ABC，A1B1C1中，BAC90ABACAA11，延長AC11PAC11，連接AP交棱CC1于D．求證：至點，使C1PPB1//平面BDA1；題型三：以平行四邊形為突破口的平行證明問題例3．如圖，正方形ABCD和四邊形 ACEF所在的平面互相垂直， EF//AC，AB 2，CE EF1，求證： AF//平面BDE變式 1．在三棱柱 ABC A1B1C1中，直線 AA1與底面 ABC所成的角是直角，直線 AB與B1C1所成的角為45，BAC90，且ABAA1，D,E,F分別為B1A,CC1,BC的中點．求證：DE//平面ABC；題型四：三種平行之間的相互關系與轉化例4．如圖所示，圓柱的高為 2，PA是圓柱的母線， ABCD為矩形， AB2,BC 4，E,F,G分別是線段 PA,PD,CD的中點，求證： PB//面EFG；變式1．如圖，在長方體 ABCDA1BC11D1中，E,P分別是BC,A1D1的中點，M,N分別是AE,D1C的中點， AB 2a，AD AA1 a，求證:MN//面ADD1A1題型五：探究性問題例5．如圖所示，直棱柱ABCDABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，1111AB2，ADCD1，在線段AB上是否存在點P（異于A,B兩點），使得CP//平面A1B1C1D1？證明你的結論變式 1．如圖，直三棱柱 ABB1 DCC1中， ABB1 90，AB 4,BC 2,CC1 1，DC上有一動點 P，CC1上有一動點 Q，討論：無論 P,Q在何處，都有 PQ//平面 ABB1，并證明你的結論【方法與技巧總結】1．熟記立體幾何證明中的多個公理，推理，判定定理以及性質定理2．熟練掌握空間中點線面的位置關系的符號表示，并能夠適當靈活轉化為中文以便理解，在此建立空間的想象能力和空間感，進一步把符號轉化為立體圖象加以記憶3．熟記平行證明中常用的判定定理和性質定理，特別重視三角形中位線定理和平行四邊形性質定理的應用4．應用三角形中位線定理和平行四邊形性質定理，證明線線平行，從而得出線面平行或面面平行，重視線線平行證明的重要性5．掌握線性平行，線面平行，面面平行三者之間的相互轉化【鞏固練習】1．下面命題中正確的是 ( )．①若一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；②若一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；③若一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行；④若一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行．A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④2．平面 α∥平面 β，a?α，b?β，則直線a，b的位置關系是( )．A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面3．在空間中，下列命題正確的是 ( )．A．若a∥α，b∥a，則b∥αB．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，則β∥αC．若α∥β，b∥α，則b∥βD．若α∥β，a?α，則a∥β4．已知m、n為兩條不同的直線， α、β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是( )．A．m∥n，m⊥α?n⊥αB．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β5．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為________．解答題：1、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點，M為PD的中點．求證：PB∥平面ACM.2、如圖，若PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點，求證：AF∥平面PCE.3、如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別為所在邊的中點．求證：平面MNP∥平面A1C1B；4、如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.5、如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中點，問在