用三線扭擺法測定物體轉(zhuǎn)動慣量及其實驗誤差

用三線扭擺法測定物體轉(zhuǎn)動慣量及其實驗誤差摘要：轉(zhuǎn)動慣量；質(zhì)量分布；三線扭擺；平行軸定理；實驗誤差MeasuringMomentofInertiaUsingTrilinearPendulumanditsExperimentalError(SchoolofElectricalEngineering,Nanjing,211189)Abstract:Throughtheexperimentwithstopwatch,levelgauge,verniercaliper,meterandinstrumentusing,graspthequalityandcycleequivalentmeasurementmethod;learntousethethreewirependulumformeasuringmomentofinertiaoftheprincipleandmethodofmomentofinertiaofrigidbody,andmassdistributionoftherelationship;consolidatefinallyerrorandthetestresultswereanalyzed.Momentofintertia;Massdistribution;torsionalpendulum;parallelexistheorem;Experimentalerror轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，它與剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸位置及質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)。對于形狀簡單規(guī)則的剛體，測出其尺寸和質(zhì)量，可用數(shù)學(xué)方法計算出轉(zhuǎn)動慣量，而對形狀復(fù)雜的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動慣量非常困難，一般要通過實驗方法來測定。三線扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量是一種簡單易行的方法。1實驗原理1.1測定懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量J三線擺如圖所示，有一均勻圓盤，在小于其周界的同心圓周上作一內(nèi)接等邊三角形，從三角行的三個頂點引出三條懸線對稱地連接在置于上部的一個水平小圓盤的下面，小圓盤可以繞自身的垂直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)均勻圓盤（以下簡稱懸盤）三條懸線等長時，輕輕轉(zhuǎn)動上部小圓盤，由于懸線的張力作用，懸盤即繞上下圓盤的中心連線軸OO'周期地反復(fù)扭轉(zhuǎn)運動。當(dāng)懸盤離開平衡位置轉(zhuǎn)過某個小角度θ時，整個懸盤的位置也隨之升高h(yuǎn)。下面分析三線扭擺的運動。忽略摩擦力的影響，可知，懸盤扭轉(zhuǎn)運動過程中機械能守恒。（1）式中m是懸盤的質(zhì)量，是轉(zhuǎn)動慣量。mgh對應(yīng)于某時刻懸盤的重力勢能（取懸盤在平衡位置時重力勢能為零），對應(yīng)于懸盤繞中心軸OO'的轉(zhuǎn)動的動能，對應(yīng)于懸盤作上下升降運動時的平動動能。在懸線足夠長，且懸盤作小角度轉(zhuǎn)動時，遠(yuǎn)小于。略去式（1）中平動動能并對時間求導(dǎo)，則有（2）當(dāng)扭擺達到最大振幅時，在很小的情況下，有（3）將（3）帶入（2）后可得顯然上式是一個簡諧運動方程，其解為式中為懸盤轉(zhuǎn)動的角頻率，為角振幅。因為轉(zhuǎn)動周圍，于是有（5）這就是測定懸盤繞中心軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的計算公式。1.2測定圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量J把質(zhì)量為M的圓環(huán)放在懸盤上，使兩者中心軸重合，組成一個系統(tǒng)。測得它們繞中心軸轉(zhuǎn)動的周期為，則它們總的轉(zhuǎn)動慣量為（6）得圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為（7）圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量的理論計算公式為（8）式中分別為圓環(huán)外、內(nèi)半徑。1.3測定圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量J將兩個質(zhì)量均為M’、半徑為R、形狀相同的圓柱體對稱地放置在懸盤上，柱體中心離懸盤中心的距離為x，按上法測得兩圓柱體和懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動周期為T想，則兩圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為：根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理，圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的理論計算公式為：。2實驗過程1.調(diào)整懸盤水平：將水平儀置于懸盤任意兩懸線之間,調(diào)整上盤上的三個旋鈕,使水平儀的氣泡在中間.再把水平儀放到另外兩懸線之間,調(diào)整上盤上的三個旋鈕,使水平儀的氣泡在中間,這時懸盤水平.2.測定儀器常數(shù)R,r：r和R分別為上下圓盤中心到懸點的距離,通過測出的兩圓盤的相鄰兩個懸點間的距離a和b由等邊三角形關(guān)系算出r和R.3.測出兩盤之間的垂直距離H、圓環(huán)的內(nèi)外直徑2R1和2R2、圓柱體直徑2Rx及圓柱體中心至懸盤中心的距離x.4.并測量圓環(huán),圓柱體和懸盤的質(zhì)量.5.測量空盤繞中心軸AB轉(zhuǎn)動的運動周期:輕輕轉(zhuǎn)動上盤(上盤上有小轉(zhuǎn)動桿),帶動下盤轉(zhuǎn)動,這樣可以避免三線擺在做扭動時發(fā)生晃動.注意扭擺的轉(zhuǎn)角控制在5°以內(nèi).用積累放大法測出扭擺運動的周期(測量擺動50次所需的時間)，重復(fù)三次取平均值，求出懸盤的擺動周期T.6．測量待測圓環(huán)與下盤共同轉(zhuǎn)動的周期:將待測圓環(huán)置于下圓盤上,注意使兩者中心重合,按上面的方法測出它們一起扭擺運動的周期T1.7.測出兩個小圓柱體(對稱放置)與下盤共同轉(zhuǎn)動的周期Tx.8.記錄好以上各物理量.9.將各實驗結(jié)果與理論值相比較，分析誤差原因.3實驗數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析3.1轉(zhuǎn)動周期的測定

擺動50需時間t/s懸盤懸盤加圓環(huán)懸盤加兩圓柱體183.92182.02181.54283.20282.07280.16383.06381.52380.74平均83.39平均81.87平均80.81周期t/sT=1.668T1=1.637T2=1.616

3.2各長度量和質(zhì)量的測定項目次數(shù)上圓盤懸孔間距離a/10m懸盤懸孔間距離b/10m14.0513.8024.0213.8534.0513.85平均a=4.04b=13.83

項目

次數(shù)待測圓環(huán)

圓柱體直徑2R/10m外直徑2R/10m內(nèi)直徑2R/10m111.95810.1022.798211.96210.0822.800311.95610.0862.802平均R=5.980R=5.045R=1.400

r=a=2.33cmR=b=7.98cm實際懸盤半徑R0=8.500cm兩圓盤之間的垂直距離H=0.3660m圓柱體中心至懸盤中心的距離x=0.0540m懸盤質(zhì)量m=509.99*10-3kg圓環(huán)質(zhì)量M=292.11*10-3kg圓柱體質(zhì)量M’=174.55*10-3kg(g取9.794m/s2)3.3各轉(zhuǎn)動慣量的計算（1）懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量實驗值=1.790*10-3kg*m2理論值=1.842*10-3kg*m2（2）圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量實驗值=9.32*10-4kg*m2理論值=8.94*10-4kg*m2(3)圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量實驗值=1.05*10-3kg*m2則Jx=5.25*10-4kg*m2理論值=5.26*10-4kg*m23.4實驗結(jié)果J實驗值/kg*m2J理論值/kg*m2百分誤差/％懸盤1.790*10-31.842*10-32.823圓環(huán)0.932*10-30.894*10-34.251圓柱體0.525*10-30.526*10-30.1904實驗結(jié)果分析4.1實驗注意事項1、游標(biāo)卡尺的正確使用強調(diào)測量桿與鉆臺將碰到時，正確讀數(shù)。用完后，測量桿和測量砧之間要松開一段距離。2、要正確的使用水準(zhǔn)儀，盡量使得下盤調(diào)節(jié)水平。3、測量時間時，應(yīng)該在下盤通過平衡位置時開始記數(shù)，在實驗中對對平衡位置的判斷存在一個誤差，對記錄的周期有影響。4、H0為平衡時上下盤間的垂直距離，當(dāng)下盤加上了待測物體后，距離變成了H。在計算的過程中我們?nèi)匀挥蠬0的值來近似H，對計算結(jié)果有一定的影響，4.2三線擺系統(tǒng)誤差(1)2H-h≈2H的影響上升高度通過分析誤差取r=2.33cm,R=7.98cm,H=0.366m,從中可以看出θ越大時,近似的誤差越大。須注意,當(dāng)轉(zhuǎn)角超過15°時,由此帶來的誤差達到0.04%以上。(2)引起的誤差在轉(zhuǎn)動慣量的推導(dǎo)中,為簡化計算,取,但是會帶來誤差,而且隨著角度的增大而增大,當(dāng)轉(zhuǎn)角超過10°時,由此帶來的誤差Er達到0.2%以上。5總結(jié)轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，它與剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸位置及質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)。對于形狀簡單規(guī)則的剛體，測出其尺寸和質(zhì)量，可用數(shù)學(xué)方法計算出轉(zhuǎn)動慣量，而對形狀復(fù)雜的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動慣量非常困難，一般要通過實驗方法來測定。三線扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量是一種簡單易行的方法。本文介紹了三線扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量的方法，并進行