用三線扭擺法測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其實(shí)驗(yàn)誤差

用三線扭擺法測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其實(shí)驗(yàn)誤差摘要：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；質(zhì)量分布；三線扭擺；平行軸定理；實(shí)驗(yàn)誤差MeasuringMomentofInertiaUsingTrilinearPendulumanditsExperimentalError(SchoolofElectricalEngineering,Nanjing,211189)Abstract:Throughtheexperimentwithstopwatch,levelgauge,verniercaliper,meterandinstrumentusing,graspthequalityandcycleequivalentmeasurementmethod;learntousethethreewirependulumformeasuringmomentofinertiaoftheprincipleandmethodofmomentofinertiaofrigidbody,andmassdistributionoftherelationship;consolidatefinallyerrorandthetestresultswereanalyzed.Momentofintertia;Massdistribution;torsionalpendulum;parallelexistheorem;Experimentalerror轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，它與剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸位置及質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)。對(duì)于形狀簡(jiǎn)單規(guī)則的剛體，測(cè)出其尺寸和質(zhì)量，可用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而對(duì)形狀復(fù)雜的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常困難，一般要通過實(shí)驗(yàn)方法來測(cè)定。三線扭擺法測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一種簡(jiǎn)單易行的方法。1實(shí)驗(yàn)原理1.1測(cè)定懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J三線擺如圖所示，有一均勻圓盤，在小于其周界的同心圓周上作一內(nèi)接等邊三角形，從三角行的三個(gè)頂點(diǎn)引出三條懸線對(duì)稱地連接在置于上部的一個(gè)水平小圓盤的下面，小圓盤可以繞自身的垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)均勻圓盤（以下簡(jiǎn)稱懸盤）三條懸線等長時(shí)，輕輕轉(zhuǎn)動(dòng)上部小圓盤，由于懸線的張力作用，懸盤即繞上下圓盤的中心連線軸OO'周期地反復(fù)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)懸盤離開平衡位置轉(zhuǎn)過某個(gè)小角度θ時(shí)，整個(gè)懸盤的位置也隨之升高h(yuǎn)。下面分析三線扭擺的運(yùn)動(dòng)。忽略摩擦力的影響，可知，懸盤扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。（1）式中m是懸盤的質(zhì)量，是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。mgh對(duì)應(yīng)于某時(shí)刻懸盤的重力勢(shì)能（取懸盤在平衡位置時(shí)重力勢(shì)能為零），對(duì)應(yīng)于懸盤繞中心軸OO'的轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，對(duì)應(yīng)于懸盤作上下升降運(yùn)動(dòng)時(shí)的平動(dòng)動(dòng)能。在懸線足夠長，且懸盤作小角度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，遠(yuǎn)小于。略去式（1）中平動(dòng)動(dòng)能并對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，則有（2）當(dāng)扭擺達(dá)到最大振幅時(shí)，在很小的情況下，有（3）將（3）帶入（2）后可得顯然上式是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程，其解為式中為懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率，為角振幅。因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)周圍，于是有（5）這就是測(cè)定懸盤繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式。1.2測(cè)定圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J把質(zhì)量為M的圓環(huán)放在懸盤上，使兩者中心軸重合，組成一個(gè)系統(tǒng)。測(cè)得它們繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為，則它們總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（6）得圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（7）圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算公式為（8）式中分別為圓環(huán)外、內(nèi)半徑。1.3測(cè)定圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J將兩個(gè)質(zhì)量均為M’、半徑為R、形狀相同的圓柱體對(duì)稱地放置在懸盤上，柱體中心離懸盤中心的距離為x，按上法測(cè)得兩圓柱體和懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T想，則兩圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算公式為：。2實(shí)驗(yàn)過程1.調(diào)整懸盤水平：將水平儀置于懸盤任意兩懸線之間,調(diào)整上盤上的三個(gè)旋鈕,使水平儀的氣泡在中間.再把水平儀放到另外兩懸線之間,調(diào)整上盤上的三個(gè)旋鈕,使水平儀的氣泡在中間,這時(shí)懸盤水平.2.測(cè)定儀器常數(shù)R,r：r和R分別為上下圓盤中心到懸點(diǎn)的距離,通過測(cè)出的兩圓盤的相鄰兩個(gè)懸點(diǎn)間的距離a和b由等邊三角形關(guān)系算出r和R.3.測(cè)出兩盤之間的垂直距離H、圓環(huán)的內(nèi)外直徑2R1和2R2、圓柱體直徑2Rx及圓柱體中心至懸盤中心的距離x.4.并測(cè)量圓環(huán),圓柱體和懸盤的質(zhì)量.5.測(cè)量空盤繞中心軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期:輕輕轉(zhuǎn)動(dòng)上盤(上盤上有小轉(zhuǎn)動(dòng)桿),帶動(dòng)下盤轉(zhuǎn)動(dòng),這樣可以避免三線擺在做扭動(dòng)時(shí)發(fā)生晃動(dòng).注意扭擺的轉(zhuǎn)角控制在5°以內(nèi).用積累放大法測(cè)出扭擺運(yùn)動(dòng)的周期(測(cè)量擺動(dòng)50次所需的時(shí)間)，重復(fù)三次取平均值，求出懸盤的擺動(dòng)周期T.6．測(cè)量待測(cè)圓環(huán)與下盤共同轉(zhuǎn)動(dòng)的周期:將待測(cè)圓環(huán)置于下圓盤上,注意使兩者中心重合,按上面的方法測(cè)出它們一起扭擺運(yùn)動(dòng)的周期T1.7.測(cè)出兩個(gè)小圓柱體(對(duì)稱放置)與下盤共同轉(zhuǎn)動(dòng)的周期Tx.8.記錄好以上各物理量.9.將各實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相比較，分析誤差原因.3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及結(jié)果分析3.1轉(zhuǎn)動(dòng)周期的測(cè)定

擺動(dòng)50需時(shí)間t/s懸盤懸盤加圓環(huán)懸盤加兩圓柱體183.92182.02181.54283.20282.07280.16383.06381.52380.74平均83.39平均81.87平均80.81周期t/sT=1.668T1=1.637T2=1.616

3.2各長度量和質(zhì)量的測(cè)定項(xiàng)目次數(shù)上圓盤懸孔間距離a/10m懸盤懸孔間距離b/10m14.0513.8024.0213.8534.0513.85平均a=4.04b=13.83

項(xiàng)目

次數(shù)待測(cè)圓環(huán)

圓柱體直徑2R/10m外直徑2R/10m內(nèi)直徑2R/10m111.95810.1022.798211.96210.0822.800311.95610.0862.802平均R=5.980R=5.045R=1.400

r=a=2.33cmR=b=7.98cm實(shí)際懸盤半徑R0=8.500cm兩圓盤之間的垂直距離H=0.3660m圓柱體中心至懸盤中心的距離x=0.0540m懸盤質(zhì)量m=509.99*10-3kg圓環(huán)質(zhì)量M=292.11*10-3kg圓柱體質(zhì)量M’=174.55*10-3kg(g取9.794m/s2)3.3各轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（1）懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值=1.790*10-3kg*m2理論值=1.842*10-3kg*m2（2）圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值=9.32*10-4kg*m2理論值=8.94*10-4kg*m2(3)圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)值=1.05*10-3kg*m2則Jx=5.25*10-4kg*m2理論值=5.26*10-4kg*m23.4實(shí)驗(yàn)結(jié)果J實(shí)驗(yàn)值/kg*m2J理論值/kg*m2百分誤差/％懸盤1.790*10-31.842*10-32.823圓環(huán)0.932*10-30.894*10-34.251圓柱體0.525*10-30.526*10-30.1904實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析4.1實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)1、游標(biāo)卡尺的正確使用強(qiáng)調(diào)測(cè)量桿與鉆臺(tái)將碰到時(shí)，正確讀數(shù)。用完后，測(cè)量桿和測(cè)量砧之間要松開一段距離。2、要正確的使用水準(zhǔn)儀，盡量使得下盤調(diào)節(jié)水平。3、測(cè)量時(shí)間時(shí)，應(yīng)該在下盤通過平衡位置時(shí)開始記數(shù)，在實(shí)驗(yàn)中對(duì)對(duì)平衡位置的判斷存在一個(gè)誤差，對(duì)記錄的周期有影響。4、H0為平衡時(shí)上下盤間的垂直距離，當(dāng)下盤加上了待測(cè)物體后，距離變成了H。在計(jì)算的過程中我們?nèi)匀挥蠬0的值來近似H，對(duì)計(jì)算結(jié)果有一定的影響，4.2三線擺系統(tǒng)誤差(1)2H-h≈2H的影響上升高度通過分析誤差取r=2.33cm,R=7.98cm,H=0.366m,從中可以看出θ越大時(shí),近似的誤差越大。須注意,當(dāng)轉(zhuǎn)角超過15°時(shí),由此帶來的誤差達(dá)到0.04%以上。(2)引起的誤差在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的推導(dǎo)中,為簡(jiǎn)化計(jì)算,取,但是會(huì)帶來誤差,而且隨著角度的增大而增大,當(dāng)轉(zhuǎn)角超過10°時(shí),由此帶來的誤差Er達(dá)到0.2%以上。5總結(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，它與剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸位置及質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)。對(duì)于形狀簡(jiǎn)單規(guī)則的剛體，測(cè)出其尺寸和質(zhì)量，可用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而對(duì)形狀復(fù)雜的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常困難，一般要通過實(shí)驗(yàn)方法來測(cè)定。三線扭擺法測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一種簡(jiǎn)單易行的方法。本文介紹了三線扭擺法測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，并進(jìn)行