【教案】向量的數(shù)乘運算教學設(shè)計-2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

9/96.2.3向量的數(shù)乘運算一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：向量的數(shù)乘運算．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第六章第2節(jié)第三課時的內(nèi)容．實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，即有大小又有方向，特別是與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線，培養(yǎng)學生的邏輯推理的核心素養(yǎng).二、目標和目標解析目標：（1）借助實例，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．理解兩個平面向量共線的含義.（2）了解平面向量的線性運算的運算律和運算性質(zhì)．目標解析：（1）學生能通過具體的一類共線向量的加法，類比數(shù)的乘法引出向量數(shù)乘的運算法則，借助有向線段表示向量數(shù)乘的幾何意義．學生能夠理解：數(shù)乘向量的結(jié)果是與原向量共線的向量；反之，與一個非零向量共線的向量可以寫成是一個實數(shù)與這個非零向量的積，并且這個實數(shù)是唯一的.（2）學生能像了解實數(shù)的運算律一樣，通過具體實例了解向量線性運算的運算律，理解向量線性運算的一些運算性質(zhì)，體會其幾何意義.基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：物理中許多有關(guān)矢量的合成、分解、力做的功等實例可以作為向量有關(guān)運算的模型，但這個從物理背景引出向量運算的過程對學生來說仍然存在困難．特別是向量既有大小，也有方向，在向量的數(shù)乘運算中，對于方向如何參與運算，學生沒有直接的經(jīng)驗．解決方案：與物理中的矢量對比，從大小和方向兩個角度分析.2．教學問題二：向量的運算性質(zhì)的探究過程是類比實數(shù)的運算性質(zhì)．類比數(shù)的運算，學生能夠想到向量的線性運算可能會有一些類似的運算性質(zhì)，雖然名稱相同，但運算的原理、方法、運算規(guī)律都有較大的區(qū)別，學生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解平面向量運算，導致學生對向量的運算偏于形式化記憶，對于平面向量的線性運算概念、算理的理解不深刻．解決方案：數(shù)形結(jié)合，借助圖象加強理解.基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：運用向量共線的性質(zhì)和判斷方法處理有關(guān)向量共線問題．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到向量數(shù)乘運算的法則，應(yīng)該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學過程中通過問題串的形式引導學生分析問題，解決問題，也可以讓學生從被動學習狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學習狀態(tài)中來．在教學設(shè)計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設(shè)置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視注重與實際的聯(lián)系，利用學生的生活經(jīng)驗、其他學科的相關(guān)知識，創(chuàng)設(shè)豐富的情境.通過這些實例使學生了解向量內(nèi)容的物理背景，理解向量內(nèi)容.通過與數(shù)及其運算的類比，體會研究向量的基本思路．因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內(nèi)容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結(jié)合的嘗試．五、教學過程與設(shè)計教學環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情景引入新知[問題1]實數(shù)運算,x+x+x=3x,思考能否寫成呢?[問題2]與的方向有什么關(guān)系?與的方向呢?[問題3]按照向量加法的三角形法則,若為非零向量,那么的長度與的長度有何關(guān)系.[問題4]實數(shù)a,b滿足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把實數(shù)a,b換成向量,,上式是否仍成立?1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題夏季的雷雨天，我們往往先看到閃電，后聽到雷聲，雷閃發(fā)生于同一點而傳到我們這兒為什么有個時間差？這說明聲速與光速的大小不同，光速是聲速的88萬倍．若設(shè)光速為v1，聲速為v2，將向量類比于數(shù)，則有v1＝880000v2.對于880000v2，我們規(guī)定是一個向量，其方向與v2相同，其長度為v2長度的880000倍．這樣實數(shù)與向量的積的運算稱為向量的數(shù)乘．2.探索交流，解決問題教師1：提出問題1．學生1：學生思考．可以,即.教師2：提出問題2．學生2：與的方向相同,與的方向相反.教師3：提出問題3．學生3：的長度是的長度的3倍,即若||=λ,則||=.教師4：提出問題4．學生4：成立,向量同樣滿足分配律、結(jié)合律.問題引入：通過設(shè)計的問題，讓學生開始認識數(shù)乘運算及其運算律，和共線向量的定理.明確概念，理解定理[問題5]閱讀課本，回答以下問題：（1）向量的數(shù)乘運算定義；（2）它的大小和方向如何確定？（3）數(shù)乘的運算律有哪些？【練習1】已知非零向量a、b滿足a＝4b，則()A．|a|＝|b|B．4|a|＝|b|C．a(chǎn)與b的方向相同D．a(chǎn)與b的方向相反【練習2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a(chǎn)－2bB．a(chǎn)C．a(chǎn)－6bD．a(chǎn)－8b[問題6]a＝λb?a與b共線，對嗎？[問題7]若a與b共線，一定有a＝λb嗎？[問題8]若兩個非零向量,共線,是否一定存在實數(shù)λ使得=?教師5：提出問題5．學生5：定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.學生6：規(guī)定：①|(zhì)λa|＝|λ||a|，②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.學生7：運算律：設(shè)λ，μ為實數(shù)，則(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.教師6：我們把向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.教師6：完成【練習】學生8：第一題答案：C∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．學生9：第二題答案D教師6：提出問題6．學生10：對．教師7：提出問題7．學生11：不一定．當b＝0，a＝0時，λ有無數(shù)個值；當b＝0，a≠0時，λ無解；只有當b≠0時，才有a＝λb.教師8：提出問題8．學生12：一定存在,且是唯一的.教師9：向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.學生類比數(shù)的運算律自行猜想出向量數(shù)乘運算的運算律，并借助向量數(shù)乘運算的定義及其幾何意義加以驗證．幫助學生積累從運算的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學運算的一些性質(zhì)的學習經(jīng)驗．通過探究讓學生理解向量共線定理，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).典例探究落實鞏固1.向量的線性運算例1.計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)eq\f(1,2)[(3a＋2b)－eq\f(2,3)a－b]－eq\f(7,6)[eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)(b＋eq\f(7,6)a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．2.向量共線定理及其應(yīng)用例2.已知非零向量e1，e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1+e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1+8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1-e2)，求證：A、B、D三點共線；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．例3.如圖，ABCD是一個梯形，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up6(→))|，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，試用e1，e2表示向量eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(MN,\s\up6(→)).[課堂練習1]已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．[課堂練習2]如圖，四邊形ABCD中，已知.（1）用，表示；（2）若，，用，表示.教師10：完成例1．學生13：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)eq\f(1,2)[(3a＋2b)－eq\f(2,3)a－b]－eq\f(7,6)[eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)(b＋eq\f(7,6)a)]＝eq\f(1,2)(3a－eq\f(2,3)a＋2b－b)－eq\f(7,6)(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)a＋eq\f(3,7)b)＝eq\f(1,2)(eq\f(7,3)a＋b)－eq\f(7,6)(a＋eq\f(3,7)b)＝eq\f(7,6)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(7,6)a－eq\f(1,2)b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.教師11：小結(jié)：向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算.教師12：完成例2．學生14：(1)證明：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點B，所以A、B、D三點共線．（2）解：因為ke1＋e2與e1＋ke2共線，所以存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.教師13：完成例3．學生15：因為eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq\f(1,2)e1.(2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e1－e2＋eq\f(1,2)e1＝eq\f(1,4)e1－e2.教師18：布置課堂練習1、2．學生16：完成課堂練習，并核對答案．1.答案：－eq\f(1,3)由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))2.（1）因為，所以；（2）因為，所以.例1：鞏固向量數(shù)乘的概念及運用向量數(shù)乘的運算律進行計算，理解其中的算理，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．例2：讓學生熟練運用共線向量定理，體會知識間的聯(lián)系．課堂練習1：讓學生熟練運用共線向量定理，體會知識間的聯(lián)系．課堂練習2：利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．課堂小結(jié)升華認知[問題9]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a(chǎn)－2bB．－2bC．0D．b－a2.如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up12(→))等于()A.eq\f(1,2)(a－b)B.－eq\f(1,2)(a－b)C.eq\f(1,2)(a＋b)D.－eq\f(1,2)(a＋b)3.如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))