【公開課】任意角+課件-2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

5.1.1任意角第五章

§5.1任意角和弧度制了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性。課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負(fù)角與零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角

所組成的集合.(重點(diǎn))3.利用象限角和終邊相同的角的概念解決簡單的問題.(難點(diǎn))引入引語：現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種規(guī)律稱為周期性.例如：地球自轉(zhuǎn)地球與太陽公轉(zhuǎn)月亮圓缺潮汐變化運(yùn)動(dòng)員的翻滾動(dòng)作也可以看做周期運(yùn)動(dòng)，視頻中出現(xiàn)了那些角？開場直體720°，后直540°接前團(tuán)1080°，360°成翻滾……旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量

刻畫這些角的關(guān)鍵是什么？從這個(gè)實(shí)例可以看出0°～360°的角度已經(jīng)不在適用，需要進(jìn)行擴(kuò)充類比實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)，角的范圍我們可以怎樣擴(kuò)充?

分類：角正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)(始邊與終邊重合)記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”1、任意角2、角的運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a，我們引入任意角α的相反角的概念.1、相等的兩個(gè)角如何規(guī)定？3、類比相反數(shù)，怎么定義相反角？角的減法也可以變成加法嗎2、兩角相加又如何規(guī)定的？類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，思考下列問題①相等角：旋轉(zhuǎn)方向相同，旋轉(zhuǎn)量相同②角的加法：OBAC③相反角：旋轉(zhuǎn)方向相反，旋轉(zhuǎn)量相同COBA50°－80°=50°+(－80°)④（減法變加法）

例一：如圖，射線OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝

.∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.為了進(jìn)一步研究角，我們需要在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角3.象限角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.yxO角的終邊角的始邊角的終邊落在第幾象限就是第幾象限角軸線角xyo始邊

終邊

終邊終邊終邊

(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標(biāo)軸上，它不屬于任何一個(gè)象限；(2)每一個(gè)象限都有正角和負(fù)角，無法比較哪一個(gè)象限角的大小.注意點(diǎn)：

例二：(多選)下列結(jié)論正確的有A.－75°是第一象限角

B.225°是第三象限角C.475°是第二象限角

D.－315°是第四象限角√√因?yàn)椋?0°<－75°<0°，所以－75°是第四象限角；因?yàn)?80°<225°<270°，所以225°是第三象限角；因?yàn)?60°＋90°<475°<360°＋180°，所以475°是第二象限角；因?yàn)椋?60°<－315°<－270°，所以－315°是第一象限角.所以B，C正確.思考給定一個(gè)角，它的終邊是否唯一？若兩角的終邊相同，那么這兩個(gè)角相等嗎？提示給定一個(gè)角，它的終邊唯一；兩角終邊相同，這兩個(gè)角不一定相等，比如-30°角的終邊和-390°角的終邊相同，它們正好相差了360°.｛β︱β=-30°＋k·360°,k∈Z｝歸納:

與

-30°角終邊相同的角4.終邊相同的角用集合表示終邊與45o相同的角軸線角終邊與x軸負(fù)半軸重合的角終邊與y軸正半軸重合的角終邊與y軸負(fù)半軸重合的角終邊與x軸正半軸重合的角終邊與x軸重合的角終邊與y軸重合的角

例三

：

在與2110°角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角β.(1)最大的負(fù)角；與2110°終邊相同的角的集合為{β|β＝2110°＋k·360°，k∈Z}，由－360°<2110°＋k·360°<0°，k∈Z，得－2470°<k·360°<－2110°，k∈Z，解得k＝－6，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.(2)最小的正角；由0°<2110°＋k·360°<360°，k∈Z，得－2110°<k·360°<－1750°，k∈Z，解得k＝－5，故所求的最小正角為β＝310°.(3)在360°～720°范圍內(nèi)的角.由360°≤2110°＋k·360°≤720°，k∈Z，得－1750°≤k·360°≤－1390°，k∈Z，解得k＝－4，故所求的角為β＝670°.45O1、用集合表示終邊與45o相同的角2、用集合表示終邊落在陰影部分的角5.區(qū)間角先定邊界，再定周期

例四：1、已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.2.已知α是第一象限角.(1)2α是第幾象限角？∵α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z).∵2k·360°<2α<180°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第一、二象限角或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

（2）因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，∴k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，課堂練習(xí)1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{鈍角}C＝{小于180°的角}，

則下列關(guān)系正確的是A.B＝A∩C

B.ACC.B∪C＝C

D.A＝B＝C√1234由題意得BA∩C，故A錯(cuò)誤；A與C互不包含，故B錯(cuò)誤；由B＝{鈍角}{小于180°的角}，所以B∪C＝C，故C正確；由以上分析可知D錯(cuò)誤.2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，則α的終邊在A.第一、三象限

B.第一、二象限C.第二、四象限

D.第三、四象限√1234因?yàn)棣粒?5°＋k·180°，k∈Z，所以當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，α＝45°＋2n·180°＋180°＝225°＋n·360°，n∈Z，其終邊在第三象限；當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，α＝45°＋2n·180°＝45°＋n·360°，n∈Z，其終邊在第一象限.綜上，α的終邊在第一、三象限.3.親愛的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過的角度為

.1234因?yàn)殓姳淼姆轴樲D(zhuǎn)了兩圈，且是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過的角度為－720°.－720°12344.如圖所示.終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合為

.終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.故終邊落在陰影部分