【公開課】分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理+課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第六章6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學習目標1.通過實例，總結出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理.2.了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.3.能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算.

新知學習思考：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的一個座位編號，

總共能編出多少種不同的號碼？因為英文字母共有26個，阿拉伯數(shù)字共有10個，所以總共可以編出

26+10＝36

種不同的號碼.探究：你能說一說這個問題的特征嗎？上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù).新知講解一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，兩類不同方案中的方法互不相同.

提示：（1）分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方案”，是指完成這件事的所有方案可以分為兩類，即任何一類方案中的任何一種方法都可以完成任務，兩類方案中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類方案中.（2）分類時要根據(jù)問題的特點確定一個分類標準，即分類要按同一個標準，然后在這個標準下進行分類，一般地，標準不同，分類的結果也不同.（3）分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案，即“不重不漏”，如下所示.不重：任意不同類的兩種方法是不同的方法；不漏：每一種方法必屬于其中一類.典例剖析例1

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學各有一些自己

感興趣的強項專業(yè)，如下表.A大學B大學生物學數(shù)學化學會計學醫(yī)學信息技術學物理學法學工程學

如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分類加法計數(shù)原理的推廣

這里要完成的事情仍然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同.在前一問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯數(shù)字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼.但在這個問題中，號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯數(shù)字組成，即得到一個號碼要經過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數(shù)字這樣兩個步驟.用右圖所示的方法可以列出所有可能的號碼.也可以這樣思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任意一個組成一個號碼，而且它們互不相同，因此共有

6×9＝54

種不同的號碼.上圖是解決計數(shù)問題常用的“樹狀圖”.你能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？由樹狀圖可知，共有6×9＝54種不同的號碼.新知講解一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，無論第1步采用哪種方法，與之對應的第2步都有相同的方法數(shù).

提示：（1）分步乘法計數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個步驟，任取一種方法，相繼完成這兩個步驟就能完成這件事，即各個步驟是相互依存的，每個步驟都要做完才能完成這件事.（2）分步時，要根據(jù)問題的特點確定分步標準，標準不同，分成的步驟數(shù)也會不同.（3）合理的步驟應當滿足：①完成這件事情必須連續(xù)做完所有步驟，即分別從各個步驟中選一種完成該步驟的方法，將各步驟中所選方法依次完成就得到完成這件事情的一種方法；②完成任何一個步驟可選用的方法與其他步驟所選用的方法無關.簡而言之，就是應用分步乘法計數(shù)原理時要做到“步驟完整”.典例剖析例2

某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，

共有多少種不同的選法？

分步乘法計數(shù)原理的推廣

典例剖析

例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，

共有多少種不同的掛法？解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為N＝3×2＝6.

這6種掛法如圖所示.提示：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事.例5

給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個字符

要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序模塊命名？解：由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7+6＝13.

后兩個字符從1~9中選，因為數(shù)字可以重復，所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是13×9×9＝1053，

即最多可以給1053個程序模塊命名.例6電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構成.（1）1個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少[5]要用多少個字節(jié)表示？解：（1）用右圖表示1個字節(jié).1個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，1個字節(jié)最多可以表示不同字符的個數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.（2）由（1）知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節(jié)能夠表示多少個字符.前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是256×256＝65536.這已經大于漢字國標碼包含的漢字個數(shù)6763.因此要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.例7

計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.下圖是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28＝91；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43＝81.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81＝7371.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43＝172.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3×2＝6.如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6＝178.顯然，178與7371的差距是非常大的.

解：由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機關所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字.確定一個序號可以分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10＝100000.（2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.當?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為24×10×10×10×10＝240000.同樣，其余四個子類號牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)一共為240000+240000+240000+240000+240000＝1200000.（3）當有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子類[6]：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.當?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1，2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為24×24×10×10×10＝576000.同樣，其余九個子類號牌也各有576000張.于是，這類號牌張數(shù)一共為576000×10＝5760000.綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機關最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為100000+1200000+5760000＝7060000.歸納總結：用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后