算法分析-貪心算法

貪心算法

GreedyAlgorithm學習要點理解貪心算法的概念掌握貪心算法的基本要素（1）最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)（2）貪心選擇性質(zhì)理解貪心算法與動態(tài)規(guī)劃算法的差異通過應用范例學習貪心設計策略（1）活動安排問題；（2）最優(yōu)裝載問題；（3）哈夫曼編碼；（4）單源最短路徑；（5）最小生成樹；（6）多機調(diào)度問題。怎樣找硬幣？？？設有4種硬幣，它們的面值分別為1角，5分，2分和1分?，F(xiàn)在要找給某顧客3角7分錢。此時我們會不假思索地拿出3個1角，1個5分和1個2分的硬幣交給顧客，這種找法與其他找法相比，拿出的硬幣的個數(shù)時最少的。這個找硬幣的算法就是貪心算法：總是作出在當前看來是最好的選擇，即貪心算法并不是從總體最優(yōu)上加以考慮，它所作的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)選擇。找硬幣問題本身最優(yōu)原理成立，可以用動態(tài)規(guī)劃方法求解，但用貪心算法更簡單，直接且解題效率更高。這利用了問題本身的特性。

找硬幣算法：首先選出一個面值不超過3角7分的最大硬幣（1角）然后從3角7分中減去1角，剩余2角7分再選出一個不超過2角7分的最大硬幣（另一個1角），…，直到找足3角7分。怎樣找硬幣？？？又設有3種硬幣，它們的面值分別為1角1分，5分和1分?，F(xiàn)在要找給某顧客1角5分錢？貪心算法不能對所有問題都得到整體最優(yōu)解，但對許多問題它能產(chǎn)生整體最優(yōu)解。一些情況下，即使貪心算法不能得到整體最優(yōu)解，其最終結(jié)果卻是最優(yōu)解的很好近似！

找硬幣貪心算法：給顧客1個一角一分的硬幣和4個一分的硬幣。這是最優(yōu)嗎？3個五分硬幣顯然是最好的找法。一般地，有這樣一類問題：它有n個輸入，而它的解就由這n個輸入的某個子集組成，只是這個子集必須滿足某些事先給定的條件。把那些必須滿足的條件稱為約束條件；而把滿足約束條件的子集稱為該問題的可行解。為了衡量可行解的優(yōu)劣，事先給出了一定的標準。一般以函數(shù)形式給出，稱為目標函數(shù)。那些使目標函數(shù)取極值（極大或極?。┑目尚薪?，稱為最優(yōu)解。貪心法也是一個多步?jīng)Q策法。每一步選擇都使得能構成問題的一個可行解，同時使目標函數(shù)的值增加最快（求max）或增加最小（如求min），這種選擇過程是以某些最優(yōu)量度為根據(jù)，而最優(yōu)化量度有時可以是目標函數(shù)本身，也可以是別的量度。最優(yōu)化度量的選擇是貪心算法的關鍵。貪心算法一般地，有這樣一類問題：它有n個輸入，而它的解就由這n個輸入的某個子集組成，只是這個子集必須滿足某些事先給定的條件。把那些必須滿足的條件稱為約束條件；而把滿足約束條件的子集稱為該問題的可行解。為了衡量可行解的優(yōu)劣，事先給出了一定的標準。一般以函數(shù)形式給出，稱為目標函數(shù)。那些使目標函數(shù)取極值（極大或極小）的可行解，稱為最優(yōu)解。貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優(yōu)解，但對范圍相當廣泛的許多問題他能產(chǎn)生整體最優(yōu)解或者是整體最優(yōu)解的近似解。貪心算法貪心算法的基本思路基本思路1.建立數(shù)學模型來描述問題。2.把求解的問題分成若干個子問題。3.對每一子問題求解，得到子問題的局部最優(yōu)解。4.把子問題的解局部最優(yōu)解合成原來解問題的一個解。實現(xiàn)該算法的過程：從問題的某一初始解出發(fā)；while能朝給定總目標前進一步do求出可行解的一個解元素；由所有解元素組合成問題的一個可行解；活動安排問題就是要在所給的活動集合中選出最大的相容活動子集合，是可以用貪心算法有效求解的很好例子。該問題要求高效地安排一系列爭用某一公共資源的活動。貪心算法提供了一個簡單、漂亮的方法使得盡可能多的活動能兼容地使用公共資源。活動安排問題

設有n個活動的集合E={1,2,…,n}，其中每個活動都要求使用同一資源，如演講會場等，而在同一時間內(nèi)只有一個活動能使用這一資源。每個活動i都有一個要求使用該資源的起始時間si和一個結(jié)束時間fi,且si<fi。如果選擇了活動i，則它在半開時間區(qū)間[si,fi)內(nèi)占用資源。若區(qū)間[si,fi)與區(qū)間[sj,fj)不相交，則稱活動i與活動j是相容的。也就是說，當si≥fj或sj≥fi時，活動i與活動j相容?；顒影才艈栴}template<classType>voidGreedySelector(intn,Types[],Typef[],boolA[]){A[1]=true;intj=1;for(inti=2;i<=n;i++){if(s[i]>=f[j]){A[i]=true;j=i;}elseA[i]=false;}}活動安排問題的貪心算法GreedySelector:各活動的起始時間和結(jié)束時間存儲于數(shù)組s和f中且按結(jié)束時間的非減序排列

活動安排問題

由于輸入的活動以其完成時間的非減序排列，所以算法greedySelector每次總是選擇具有最早完成時間的相容活動加入集合A中。直觀上，按這種方法選擇相容活動為未安排活動留下盡可能多的時間。也就是說，該算法的貪心選擇的意義是使剩余的可安排時間段極大化，以便安排盡可能多的相容活動。算法greedySelector的效率極高。當輸入的活動已按結(jié)束時間的非減序排列，算法只需O(n)的時間安排n個活動，使最多的活動能相容地使用公共資源。如果所給出的活動未按非減序排列，可以用O(nlogn)的時間重排?；顒影才艈栴}

例：設待安排的11個活動的開始時間和結(jié)束時間按結(jié)束時間的非減序排列如下：i1234567891011S[i]130535688212f[i]4567891011121314活動安排問題

算法greedySelector的計算過程如左圖所示。圖中每行相應于算法的一次迭代。陰影長條表示的活動是已選入集合A的活動，而空白長條表示的活動是當前正在檢查相容性的活動?；顒影才艈栴}若被檢查的活動i的開始時間Si小于最近選擇的活動j的結(jié)束時間fi，則不選擇活動i，否則選擇活動i加入集合A中。貪心算法并不總能求得問題的整體最優(yōu)解。但對于活動安排問題，貪心算法greedySelector卻總能求得的整體最優(yōu)解，即它最終所確定的相容活動集合A的規(guī)模最大。這個結(jié)論可以用數(shù)學歸納法證明?；顒影才艈栴}貪心算法的基本要素可以用貪心算法求解的問題的一般特征:

對于一個具體的問題，怎么知道是否可用貪心算法解此問題，以及能否得到問題的最優(yōu)解呢?這個問題很難給予肯定的回答。但是，從許多可以用貪心算法求解的問題中看到這類問題一般具有2個重要的性質(zhì)：貪心選擇性質(zhì)和最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)。貪心選擇性質(zhì)所謂貪心選擇性質(zhì)是指所求問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來達到。這是貪心算法可行的第一個基本要素，也是貪心算法與動態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別。動態(tài)規(guī)劃算法通常以自底向上的方式解各子問題，而貪心算法則通常以自頂向下的方式進行，以迭代的方式作出相繼的貪心選擇，每作一次貪心選擇就將所求問題簡化為規(guī)模更小的子問題。

對于一個具體問題，要確定它是否具有貪心選擇性質(zhì)，必須證明每一步所作的貪心選擇最終導致問題的整體最優(yōu)解。貪心算法的基本要素

當一個問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解時，稱此問題具有最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)。問題的最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法或貪心算法求解的關鍵特征。最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)貪心算法的基本要素

貪心算法和動態(tài)規(guī)劃算法都要求問題具有最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)，這是兩類算法的一個共同點。但是，對于具有最優(yōu)子結(jié)構的問題應該選用貪心算法還是動態(tài)規(guī)劃算法求解?是否能用動態(tài)規(guī)劃算法求解的問題也能用貪心算法求解?下面研究2個經(jīng)典的組合優(yōu)化問題，并以此說明貪心算法與動態(tài)規(guī)劃算法的主要差別。貪心算法與動態(tài)規(guī)劃算法的差異貪心算法的基本要素0-1背包問題：

給定n種物品和一個背包。物品i的重量是Wi，其價值為Vi，背包的容量為C。應如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大?

在選擇裝入背包的物品時，對每種物品i只有2種選擇，即裝入背包或不裝入背包。不能將物品i裝入背包多次，也不能只裝入部分的物品i。背包問題背包問題：

與0-1背包問題類似，所不同的是在選擇物品i裝入背包時，可以選擇物品i的一部分，而不一定要全部裝入背包，1≤i≤n。

這2類問題都具有最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)，極為相似，但背包問題可以用貪心算法求解，而0-1背包問題卻不能用貪心算法求解。

背包問題

首先計算每種物品單位重量的價值Vi/Wi，然后，依貪心選擇策略，將盡可能多的單位重量價值最高的物品裝入背包。若將這種物品全部裝入背包后，背包內(nèi)的物品總重量未超過C，則選擇單位重量價值次高的物品并盡可能多地裝入背包。依此策略一直地進行下去，直到背包裝滿為止。 具體算法可描述如下：

用貪心算法解背包問題的基本步驟：背包問題voidKnapsack(intn,floatM,floatv[],floatw[],floatx[]){Sort(n,v,w);inti;for(i=1;i<=n;i++)x[i]=0;floatc=M;for(i=1;i<=n;i++){if(w[i]>c)break;x[i]=1;c-=w[i];}if(i<=n)x[i]=c/w[i];}

算法knapsack的主要計算時間在于將各種物品依其單位重量的價值從大到小排序。因此，算法的計算時間上界為O（nlogn）。為了證明算法的正確性，還必須證明背包問題具有貪心選擇性質(zhì)。背包問題0-1背包問題：有三種物品，背包容量為50公斤。物品1重10公斤，價值60元，物品2重20公斤，價值100元，物品3重30公斤，價值120元。因此，物品1每公斤價值6元，物品2每公斤價值5元，物品3每公斤價值4元。若依貪心選擇策略，應首先物品1裝入背包，然而從圖b的各種情況可以看出，最優(yōu)選擇方案是選擇物品2和3裝入背包。首選物品1的2種方案都不是最優(yōu)的。對于背包問題，貪心選擇最終可得到最優(yōu)解，其選擇方案如圖c所示

對于0-1背包問題，貪心選擇之所以不能得到最優(yōu)解是因為在這種情況下，它無法保證最終能將背包裝滿，部分閑置的背包空間使每公斤背包空間的價值降低了。事實上，在考慮0-1背包問題時，應比較選擇該物品和不選擇該物品所導致的最終方案，然后再作出最好選擇。由此就導出許多互相重疊的子問題。這正是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的另一重要特征。 實際上也是如此，動態(tài)規(guī)劃算法的確可以有效地解0-1背包問題。背包問題背包問題有一個背包，背包容量是M=150。有7個物品，物品可以分割成任意大小。要求盡可能讓裝入背包中的物品總價值最大，但不能超過總?cè)萘?。物品ABCDEFG重量35306050401025價值10403050354030分析：目標函數(shù)：∑pi最大約束條件是裝入的物品總重量不超過背包容量：∑wi<=M(M=150)（1）根據(jù)貪心的策略，每次挑選價值最大的物品裝入背包，得到的結(jié)果是否最優(yōu)？（2）每次挑選所占重量最小的物品裝入是否能得到最優(yōu)解？（3）每次選取單位重量價值最大的物品，成為解本題的策略。?值得注意的是，貪心算法并不是完全不可以使用，貪心策略一旦經(jīng)過證明成立后，它就是一種高效的算法。背包問題貪心算法還是很常見的算法之一，這是由于它簡單易行，構造貪心策略不是很困難?？上У氖?，它需要證明后才能真正運用到題目的算法中。一般來說，貪心算法的證明圍繞著：整個問題的最優(yōu)解一定由在貪心策略中存在的子問題的最優(yōu)解得來的。對于例題中的3種貪心策略，都是無法成立（無法被證明）的，解釋如下：（1）貪心策略：選取價值最大者。反例：

W=30物品：ABC重量：281212價值：302020根據(jù)策略，首先選取物品A，接下來就無法再選取了，選取B、C哪個更好呢？背包問題（2）貪心策略：選取重量最小。它的反例與第一種策略的反例差不多。（3）貪心策略：選取單位重量價值最大的物品。反例：

W=30物品：ABC重量：282010價值：282010根據(jù)策略，三種物品單位重量價值一樣，程序無法依據(jù)現(xiàn)有策略作出判斷，如果選擇A，則答案錯誤。背包問題

有一批集裝箱要裝上一艘載重量為c的輪船。其中集裝箱i的重量為Wi。最優(yōu)裝載問題要求確定在裝載體積不受限制的情況下，將盡可能多的集裝箱裝上輪船。最優(yōu)裝載最優(yōu)裝載1、算法描述 最優(yōu)裝載問題可用貪心算法求解。采用重量最輕者先裝的貪心選擇策略，可產(chǎn)生最優(yōu)裝載問題的最優(yōu)解。具體算法描述如下頁。

template<classType>voidLoading(intx[],Typew[],Typec,intn){int*t=newint[n+1];Sort(w,t,n);for(inti=1;i<=n;i++) x[i]=0;for(inti=1;i<=n&&w[t[i]]<=c;i++) { x[t[i]]=1; c-=w[t[i]]; }}2、貪心選擇性質(zhì)

可以證明最優(yōu)裝載問題具有貪心選擇性質(zhì)。最優(yōu)裝載3、最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì) 最優(yōu)裝載問題具有最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)。

由最優(yōu)裝載問題的貪心選擇性質(zhì)和最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)，容易證明算法loading的正確性。 算法loading的主要計算量在于將集裝箱依其重量從小到大排序，故算法所需的計算時間為O(nlogn)。

單源最短路徑問題描述給定一個帶權有向圖G=(V,E)，其中每條邊的權是一個非負實數(shù)。另外，還給定V中的一個項點，稱為源。

現(xiàn)在我們要計算從源到所有其他各項點的最短路徑長度。這里的長度是指路上各邊權之和。這個問題通常稱為單源最短路徑問題。

其基本思想是，設置頂點集合S并不斷地作貪心選擇來擴充這個集合。一個頂點屬于集合S當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。 初始時，S中僅含有源。設u是G的某一個頂點，把從源到u且中間只經(jīng)過S中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，并用數(shù)組dist記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。Dijkstra算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長度的頂點u，將u添加到S中，同時對數(shù)組dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中頂點，dist就記錄了從源到所有其它頂點之間的最短路徑長度。算法基本思想 Dijkstra算法是解單源最短路徑問題的貪心算法。單源最短路徑例：求右圖中u到其余各點的距離。解：由圖中得出初始值：L(v1)=1,L(v2)=3,L(v3)=∞,L(v4)=6,L(u)=0,T={u}1)選擇T集合外與u點相關連路徑最小一點v1,于是有

T={u,v1}根據(jù)v1修改T外各點路徑因L(v1)+w(v1,v2)=1+1<L(v2)則L(v2)=2同理L(v3)==1+3=4，L(v4)=6（不改變）2）選擇T集合外路徑最小一點v2，于是有

T={u,v1,v2}根據(jù)v2修改T外各點路徑因L(v2)+w(v2,v3)=2+1<L(v3)=4則L(v3)=3L(v4)=6（不改變）3）選擇T集合外路徑最小一點v3，于是有

T={u,v1,v2,v3}根據(jù)v3修改T外各點路徑L(v4)=3+2=54)得到最后一點v4,于是有T={u,v1,v2,v3,v4}

最后T=V,計算結(jié)束。U到各點的路離為：L(v1)=1,L(v2)=2,L(v3)=3,L(v5)=5

對右圖中的有向圖，應用Dijkstra算法計算從源頂點1到其它頂點間最短路徑的過程列在下頁的表中。單源最短路徑迭代Sudist[2]dist[3]dist[4]dist[5]初始{1}-10maxint301001{1,2}21060301002{1,2,4}4105030903{1,2,4,3}3105030604{1,2,4,3,5}510503060Dijkstra算法的迭代過程：單源最短路徑

對于具有n個頂點和e條邊的帶權有向圖，如果用帶權鄰接矩陣表示這個圖，那么Dijkstra算法的主循環(huán)體需要時間。這個循環(huán)需要執(zhí)行n-1次，所以完成循環(huán)需要時間。算法的其余部分所需要時間不超過。2、算法的正確性和計算復雜性 (1)貪心選擇性質(zhì) (2)最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì) (3)計算復雜性單源最短路徑

設G=(V,E)是無向連通帶權圖，即一個網(wǎng)絡。E中每條邊(v,w)的權為c[v][w]。如果G的子圖G’是一棵包含G的所有頂點的樹，則稱G’為G的生成樹。生成樹上各邊權的總和稱為該生成樹的耗費。在G的所有生成樹中，耗費最小的生成樹稱為G的最小生成樹。 網(wǎng)絡的最小生成樹在實際中有廣泛應用。例如，在設計通信網(wǎng)絡時，用圖的頂點表示城市，用邊(v,w)的權c[v][w]表示建立城市v和城市w之間的通信線路所需的費用，則最小生成樹就給出了建立通信網(wǎng)絡的最經(jīng)濟的方案。最小生成樹1、最小生成樹性質(zhì)

用貪心算法設計策略可以設計出構造最小生成樹的有效算法。介紹的構造最小生成樹的Prim算法和Kruskal算法都可以看作是應用貪心算法設計策略的例子。盡管這2個算法做貪心選擇的方式不同，它們都利用了下面的最小生成樹性質(zhì)： 設G=(V,E)是連通帶權圖，U是V的真子集。如果(u,v)E，且uU，vV-U，且在所有這樣的邊中，(u,v)的權c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成樹，它以(u,v)為其中一條邊。這個性質(zhì)有時也稱為MST性質(zhì)。

最小生成樹2、Prim算法

設G=(V,E)是連通帶權圖，V={1,2,…,n}。 構造G的最小生成樹的Prim算法的基本思想是：首先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就作如下的貪心選擇：選取滿足條件iS，jV-S，且c[i][j]最小的邊，將頂點j添加到S中。這個過程一直進行到S=V時為止。 在這個過程中選取到的所有邊恰好構成G的一棵最小生成樹。Prim算法 利用最小生成樹性質(zhì)和數(shù)學歸納法容易證明，上述算法中的邊集合T始終包含G的某棵最小生成樹中的邊。因此，在算法結(jié)束時，T中的所有邊構成G的一棵最小生成樹。

如對于右圖中的帶權圖，按Prim算法選取邊的過程如下頁圖所示。Prim算法

在生成樹的構造過程中，圖中n個頂點分屬兩個集合：已落在生成樹上的頂點集U和尚未落在生成樹上的頂點集V-U，則應在所有連通U中頂點和V-U中頂點的邊中選取權值最小的邊。UV-UPrim算法abcdegf195141827168213127abegf14d8c351621Prim算法算法的核心：選擇向集合U中加入的頂點時，要選擇到U具有最短邊的頂點1、對任何一個頂點v，如果它有多個鄰接U的邊，則需要找出最短的邊作為鄰接到U的邊2、從所有的V–U頂點中，找出具有最短邊的頂點，將它加入UPrim算法

在上述Prim算法中，還應當考慮如何有效地找出滿足條件iS,jV-S，且權c[i][j]最小的邊(i,j)。實現(xiàn)這個目的的較簡單的辦法是設置2個數(shù)組closest和lowcost。 在Prim算法執(zhí)行過程中，先找出V-S中使lowcost值最小的頂點j，然后根據(jù)數(shù)組closest選取邊(j,closest[j］)，最后將j添加到S中，并對closest和lowcost作必要的修改。 用這個辦法實現(xiàn)的Prim算法所需的計算時間為最小生成樹3、Kruskal算法

Kruskal算法構造G的最小生成樹的基本思想是，首先將G的n個頂點看成n個孤立的連通分支。將所有的邊按權從小到大排序。然后從第一條邊開始，依邊權遞增的順序查看每一條邊，并按下述方法連接2個不同的連通分支：當查看到第k條邊(v,w)時，如果端點v和w分別是當前2個不同的連通分支T1和T2中的頂點時，就用邊(v,w)將T1和T2連接成一個連通分支，然后繼續(xù)查看第k+1條邊；如果端點v和w在當前的同一個連通分支中，就直接再查看第k+1條邊。這個過程一直進行到只剩下一個連通分支時為止。

Kruskal算法 如對前面的連通帶權圖，按Kruskal算法順序得到的最小生成樹上的邊如下圖所示。Kruskal算法 關于集合的一些基本運算可用于實現(xiàn)Kruskal算法。 按權的遞增順序查看等價于對優(yōu)先隊列執(zhí)行removeMin運算?？梢杂枚褜崿F(xiàn)這個優(yōu)先隊列。 對一個由連通分支組成的集合不斷進行修改，需要用到抽象數(shù)據(jù)類型并查集UnionFind所支持的基本運算。 當圖的邊數(shù)為e時，Kruskal算法所需的計算時間是。當時，Kruskal算法比Prim算法差，但當時，Kruskal算法卻比Prim算法好得多。Kruskal算法

具體做法:先構造一個只含n個頂點的子圖SG，然后從權值最小的邊開始，若它的添加不使SG中產(chǎn)生回路，則在SG上加上這條邊，如此重復，直至加上n-1條邊為止。

考慮問題的出發(fā)點:為使生成樹上邊的權值之和達到最小，則應使生成樹中每一條邊的權值盡可能地小。Kruskal算法abcdegf3abcegfd21581416abcdegf195141827168213127Kruskal算法abcdegf195141827168213127連通網(wǎng)：n個城市和城市間可能的通信線路網(wǎng)的頂點：表示城市網(wǎng)的邊：表示兩個城市之間的線路網(wǎng)的邊上的權值：通信代價構造網(wǎng)的一棵最小生成樹，即：在e條帶權的邊中選取n-1條邊（不構成回路），使“權值之和”為最小。常用算法：克魯斯卡爾算法、普里姆算法該問題等價于： 哈夫曼編碼是廣泛地用于數(shù)據(jù)文件壓縮的十分有效的編碼方法。其壓縮率通常在20%～90%之間。哈夫曼編碼算法用字符在文件中出現(xiàn)的頻率表來建立一個用0，1串表示各字符的最優(yōu)表示方式。 給出現(xiàn)頻率高的字符較短的編碼，出現(xiàn)頻率較低的字符以較長的編碼，可以大大縮短總碼長。1、前綴碼 對每一個字符規(guī)定一個0,1串作為其代碼，并要求任一字符的代碼都不是其它字符代碼的前綴。這種編碼稱為前綴碼。哈夫曼編碼

編碼的前綴性質(zhì)可以使譯碼方法非常簡單。 表示最優(yōu)前綴碼的二叉樹總是一棵完全二叉樹，即樹中任一結(jié)點都有2個兒子結(jié)點。 平均碼長定義為： 使平均碼長達到最小的前綴碼編碼方案稱為給定編碼字符集C的最優(yōu)前綴碼。

哈夫曼編碼2、構造哈夫曼編碼

哈夫曼提出構造最優(yōu)前綴碼的貪心算法，由此產(chǎn)生的編碼方案稱為哈夫曼編碼。 哈夫曼算法以自底向上的方式構造表示最優(yōu)前綴碼的二叉樹T。 算法以|C|個葉結(jié)點開始，執(zhí)行|C|－1次的“合并”運算后產(chǎn)生最終所要求的樹T。

哈夫曼編碼 在書上給出的算法huffmanTree中，編碼字符集中每一字符c的頻率是f(c)。以f為鍵值的優(yōu)先隊列Q用在貪心選擇時有效地確定算法當前要合并的2棵具有最小頻率的樹。一旦2棵具有最小頻率的樹合并后，產(chǎn)生一棵新的樹，其頻率為合并的2棵樹的頻率之和，并將新樹插入優(yōu)先隊列Q。經(jīng)過n－1次的合并后，優(yōu)先隊列中只剩下一棵樹，即所要求的樹T。 算法huffmanTree用最小堆實現(xiàn)優(yōu)先隊列Q。初始化優(yōu)先隊列需要O(n)計算時間，由于最小堆的removeMin和put運算均需O(logn)時間，n－1次的合并總共需要O(nlogn)計算時間。因此，關于n個字符的哈夫曼算法的計算時間為O(nlogn)。哈夫曼編碼3、哈夫曼算法的正確性 要證明哈夫曼算法的正確性，只要證明最優(yōu)前綴碼問題具有貪心選擇性質(zhì)和最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)。

(1)貪心選擇性質(zhì) (2)最優(yōu)子結(jié)構性質(zhì)哈夫曼編碼ABCHIDEFG75249WPL(T)=7×

2+5×

2+2×

3+4×

3+9×

2=60樹中所有葉子結(jié)點的帶權路徑長度之和表示

WPL(T)=wklk(對所有葉子結(jié)點)nk=1哈夫曼編碼ABCHIDEFG74952WPL(T)=7×4+9×

4+5×

3+4×

2+2×

1=89

哈夫曼編碼1.根據(jù)給定的n個權值{w1,w2,…,wn}，構造n棵二叉樹的集合F={T1,T2,…,Tn}，其中每棵二叉樹中均只含一個帶權值為wi的根結(jié)點,其左、右子樹為空樹;哈夫曼編碼2.在F中選取其根結(jié)點的權值為最小的兩棵二叉樹，分別作為左、右子樹構造一棵新的二叉樹，并置這棵新的二叉樹根結(jié)點的權值為其左、右子樹根結(jié)點的權值之和;3.從F中刪去這兩棵樹，同時將剛生成的新樹加入到F中;4.重復(2)和(3)兩步，直至F中只含一棵樹為止。哈夫曼編碼練習:已知權值W={5,6,2,9,8}95628769713852761)2)3)527哈夫曼編碼4)5)6713852715671328852715WPL=2×3+5×3+6×2+7×2+8×2=63次序哈夫曼編碼特點：1、有n個葉子結(jié)點2、沒有度為1的結(jié)點3、總的結(jié)點數(shù)為2n-14、形態(tài)不唯一哈夫曼編碼

利用哈夫曼樹可以構造一種不等長的二進制編碼，并且構造所得的哈夫曼編碼是一種最優(yōu)前綴編碼，即使所傳電文的總長度最短。哈夫曼編碼A B C D E6 7 2 5 9例：假設有5個符號以及它們的頻率：求前綴編碼。哈夫曼編碼95271667132901010011000110010111前綴編碼1、建立赫夫曼樹2、對邊編號