空間問題及單元選擇

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（回顧）平面問題的有限元法整體剛度矩陣求解位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力等效節(jié)點載荷單元剛度矩陣2第三章空間問題的有限元法3第一節(jié)三維應(yīng)力狀態(tài)位移幾何方程平面問題的推廣4用矩陣形式表示yxz5各向同性彈性體的物理關(guān)系用矩陣表示為彈性矩陣6第二節(jié)空間問題的離散化離散化模型：由若干塊狀的單元在節(jié)點處連接，節(jié)點為鉸鏈，基本未知量為節(jié)點位移。ABAQUS空間問題離散化采用的單元：應(yīng)用最廣泛的是應(yīng)力/位移實體單元，三維的包括四面體單元、六面體單元和楔形單元。7第三節(jié)四面體單元單元的節(jié)點位移向量為、單元位移函數(shù)選取如下位移函數(shù)8將4個節(jié)點的坐標(biāo)代入寫成矩陣表達(dá)形式9其中（i=1，3）插值函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)，反映單元的位移形態(tài)，在有限元法中稱為形函數(shù)。（i=2，4）10

節(jié)點的排列應(yīng)滿足右手螺旋法則，即從最后一個節(jié)點看去，前三個節(jié)點應(yīng)逆時針排列。（i＝1，2，3，4）為求逆過程中的代數(shù)如余子式11單元的形函數(shù)矩陣二、應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元位移函數(shù)為1213應(yīng)變矩陣常應(yīng)變單元14應(yīng)力矩陣單元中的應(yīng)力也為常數(shù)。三、單元剛度矩陣變形體的虛功原理：要使變形體在某一形變位置處于平衡，其充要條件是，在這一變形位置，所有內(nèi)力和外力在任何虛位移上所做的虛功之和為零。--變形體虛功方程15設(shè)單元產(chǎn)生虛位移，單元節(jié)點虛位移為單元內(nèi)部的虛應(yīng)變?yōu)橥饬μ摴?nèi)力虛功的負(fù)值任意性

16其中的元素為常量單元剛度矩陣四、單元等效節(jié)點載荷向量利用虛功原理獲得等效節(jié)點向量。17五、求解求解如下方程組六、應(yīng)力計算及結(jié)果處理求解方程組單元內(nèi)各點的應(yīng)變和應(yīng)力單元的節(jié)點位移向量節(jié)點位移向量18應(yīng)變矩陣是形函數(shù)對坐標(biāo)求導(dǎo)得到的矩陣，而求導(dǎo)使多項式的階數(shù)降低，所以計算得到的應(yīng)力和應(yīng)變精度比位移低，存在誤差。應(yīng)力解的誤差表現(xiàn)在：單元內(nèi)部不滿足平衡方程；單元與單元的交界處應(yīng)力不連續(xù)；在邊界上應(yīng)力解與邊界條件不符。計算得到的應(yīng)力進(jìn)行處理：繞節(jié)點平均法，兩單元平均法，外推法有限元誤差包括：計算誤差和離散誤差。誤差分析減少誤差采取的措施：減少剛度過份懸殊的單元，采用較密的網(wǎng)格劃分19第四節(jié)六面體單元單元的節(jié)點位移向量為20、六面體單元位移函數(shù)選取如下位移函數(shù)可由節(jié)點坐標(biāo)和位移確定出待定系數(shù)單元的位移模式是完備和協(xié)調(diào)的21二、其他物理量應(yīng)變矩陣應(yīng)力矩陣單元剛度矩陣對空間問題的有限元分析，一般多采用復(fù)雜一些、精度高一些的等參元。22算例：

如圖所示支架，一端牢固地焊接在一個大型結(jié)構(gòu)上，支架的圓孔穿過一個相對較軟的桿件，圓孔和桿件用螺紋連接。材料的彈性模量為210GPa，泊松比為0.3。23支架有兩種工況：1、桿件的一端受到y(tǒng)軸負(fù)向的集中力2kN，其大小隨時間變化。2、支架的自由端在局部區(qū)域受到均布切力36MPa。試分析在兩種工況下支架撓度隨時間的變化情況；內(nèi)圓角處的最大主應(yīng)力。根據(jù)計算結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計，減少應(yīng)力集中。242526第五節(jié)ABAQUS單元的選擇ABAQUS單元庫中提供廣泛的單元類型，適應(yīng)不同的結(jié)構(gòu)和幾何特征單元特性：Family單元族Numberofnodes節(jié)點數(shù)Degreesoffreedom自由度數(shù)Formulation數(shù)學(xué)描述Integration積分27單元類型ABAQUS單元種類多達(dá)433種，共分為8大類：連續(xù)體單元（實體單元）、殼單元、薄膜單元、梁單元、桁架單元、剛體單元、連接單元和無限元。單元族之間的主要區(qū)別是每一個單元族所假定的幾何類型不同28節(jié)點數(shù)—插值的階數(shù)：ABAQUS只在節(jié)點上計算位移或其他任何自由度，在單元內(nèi)的其它點，位移由節(jié)點位移插值獲得。通常插值的階數(shù)由單元的節(jié)點數(shù)決定。自由度：是分析計算的基本變量。如對于平面問題自由度是指各節(jié)點處的平動。線性（linear）單元：又稱一階單元，僅在單元的角點處布置節(jié)點，在每一個方向上采用線性插值。二次（quadratic）單元：又稱二階單元，在每條邊上有中間節(jié)點，在每一個方向上采用二次插值。修正的（modified）二次單元：只針對三角形（tri）和四面體單元（tet）才有這種類型，即在每一條邊上有中間節(jié)點，并采用修正的二次插值。29數(shù)學(xué)描述：是指用來定義單元行為的數(shù)學(xué)理論。ABAQUS中所有的應(yīng)力/位移分析單元都是基于拉格朗日或材料行為的描述—在整個分析中和單元相關(guān)的材料保持和這個單元相關(guān)，而且材料不能在單元之間移動。在歐拉空間描述中，單元在空間固定，而材料在單元之間流動。歐拉方法通常用在流體力學(xué)的模擬中。平面應(yīng)變、平面應(yīng)力、雜交單元、非協(xié)調(diào)元、小應(yīng)變殼元、有限應(yīng)變殼元、厚殼、薄殼30積分：ABAQUS應(yīng)用數(shù)值方法在每一個單元的體積上對不同變量進(jìn)行積分。單元的剛度和質(zhì)量在單元內(nèi)的采樣點進(jìn)行數(shù)值計算，這些采樣點叫做“積分點”；數(shù)值積分的算法影響單元的行為；ABAQUS包括完全積分和減縮積分。一階完全積分

減縮積分二階完全積分：線性單元如要完全積分，則在每一個方向上需要2個積分點。而二次單元若要完全積分在每個方向上需要3個積分點。減縮積分：比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。只用于六面體單元。在單元截面屬性中采用沙漏控制增加單元的剛度*SOLIDSECTION,NAME=name*HOURGLASSSTIFFNESS

檢查積分點的壓應(yīng)力，查看是否發(fā)生體積自鎖檢查沒有剪切變形的單元中發(fā)生了剪切變形，查看是否發(fā)生了剪力自鎖32

對于線性完全積分的實體單元，彎曲變形時存在剪力自鎖現(xiàn)象。受純彎曲材料的變形線性完全積分單元的變形每一點的剪應(yīng)力不為零偽剪應(yīng)力33二次完全積分單元的變形可以避免這個問題二次完全積分單元的優(yōu)點：對應(yīng)力的計算結(jié)果很精確，適于模擬應(yīng)力集中問題；一般情況下，沒有剪切自鎖問題。應(yīng)用二次完全積分單元應(yīng)注意：不能應(yīng)用于接觸問題；對于彈塑性材料，若材料是不可壓縮的，容易產(chǎn)生體積自鎖。34減縮積分：比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。只用于四邊形和六面體單元。

線性減縮積分單元存在所謂的沙漏（hourglassing）的數(shù)值問題。受彎曲時線性減縮積分單元的變形35

單元在積分點上的所有應(yīng)力分量為零，單元扭曲沒有產(chǎn)生應(yīng)變能，單元在此狀態(tài)下沒有剛度，在粗網(wǎng)格中這種狀態(tài)可能擴展，從而產(chǎn)生無意義的結(jié)果。ABAQUS對減縮積分單元引入少量的人工沙漏剛度以限制沙漏模式的擴展。當(dāng)模型中應(yīng)用更多的單元時，這種剛度限制沙漏是更有效的。所以采用合理的細(xì)網(wǎng)格線性減縮積分單元能夠得到滿意的結(jié)果。線性減縮積分單元具有以下優(yōu)點：位移求解結(jié)果比較精確。網(wǎng)格存在扭曲時，分析精度不會受到很大影響。在彎曲載荷下不容易產(chǎn)生剪切自鎖。ABAQUS單元命名約定B21:梁,2-D,一次插值

CAX8R:連續(xù)，周對稱，8節(jié)點，減縮積分DC3D4:擴散

（熱傳導(dǎo)），連續(xù),3-D,4-nodeS8RT:殼,8節(jié)點,減縮積分，溫度CPE8PH:連續(xù)，平面應(yīng)變，8節(jié)點，氣孔壓力，雜交DC1D2E:擴散（熱傳導(dǎo)），連續(xù)，1-D,2-node,電37ABAQUS網(wǎng)格劃分網(wǎng)格質(zhì)量123411223344位移協(xié)調(diào)性梁單元平面單元模擬彎曲狀態(tài)垂直于中線的平面彎曲后仍然垂直與中線；軸向應(yīng)變沿厚度方向線性變化；如果泊松比為零，厚度方向的應(yīng)變?yōu)榱?；剪?yīng)變?yōu)榱愠跏即怪庇诘葏⒕€的直線彎曲后沒有改變長度

（yy=0）由于單元的邊可以變成曲線，變形后的等參線仍然為90o（yy=0）。等參線二次單元模擬(CPE8,C3D20R,…)和減縮積分單元可以精確的模擬彎曲狀態(tài)；模擬彎曲狀態(tài)由于單元邊界必須保持直線，所以變形后的等參線不再垂直（）積分點一次全積分單元模擬（CPS4,CPE4,C3D8）

在積分點有剪應(yīng)變單元邊界長度改變了但沒有應(yīng)變一次減縮積分單元模擬（CPE4R,…）出現(xiàn)沙漏（hourglassing）現(xiàn)象

厚度方向上有至少4層單元沒有沙漏如果厚度方向上多于4層一次全積分，則不會出現(xiàn)沙漏相同的載荷條件，變形放大1000×檢查是否出現(xiàn)沙漏的方法一：看變形圖模擬彎曲狀態(tài)內(nèi)能偽能偽能內(nèi)能厚度方向兩個單元：偽能/內(nèi)能為2%厚度方向四個單元：偽能/內(nèi)能為0.1%檢查是否出現(xiàn)沙漏的方法二：看能量比ABAQUS對減縮積分單元引入少量的人工沙漏剛度以限制沙漏模式的擴展。當(dāng)模型中應(yīng)用更多的單元時，這種剛度限制沙漏是更有效的。所以采用合理的細(xì)網(wǎng)格線性減縮積分單元能夠得到滿意的結(jié)果。42線性減縮積分單元具有以下優(yōu)點：位移求解結(jié)果比較精確。網(wǎng)格存在扭曲時，分析精度不會受到很大影響。在彎曲載荷下不容易產(chǎn)生剪切自鎖。應(yīng)用線性減縮積分單元應(yīng)注意：需要劃分較細(xì)的網(wǎng)格克服沙漏問題。如果希望以應(yīng)力集中部位的節(jié)點應(yīng)力作為分析目標(biāo)，則不要選用該積分單元，因為該單元只在單元中心有一個積分點，相當(dāng)于常應(yīng)力單元，它在積分點上的應(yīng)力相對精確，而經(jīng)過外推插值或平均后的節(jié)點應(yīng)力則不精確。43二次減縮積分單元具有以下優(yōu)點：即使不劃分較細(xì)的網(wǎng)格也不會出現(xiàn)嚴(yán)重的沙漏問題。即使在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下對自鎖也不敏感。應(yīng)用二次減縮積分單元應(yīng)注意：不能在接觸問題中使用。不適用于大應(yīng)變問題。得到節(jié)點應(yīng)力精度不高。44非協(xié)調(diào)單元：可以將單元類型設(shè)置為非協(xié)調(diào)模式單元(如C3D8I、CPS4I)。非協(xié)調(diào)單元把能夠增強單元位移梯度的附加自由度引入一階單元，從而可以克服完全積分一階單元的剪力自鎖。非協(xié)調(diào)模式單元一階單元45非協(xié)調(diào)單元：可以利用連續(xù)實體非協(xié)調(diào)單元很好的模擬彎曲占主導(dǎo)的問題；與一次和二次減縮積分單元相比：可以很好的模擬剪切變形，如沒有剪切變形的純彎曲問題；可以在厚度方向利用一個單元模擬得到精確的結(jié)構(gòu)；沒有沙漏問題，可以很好的模擬塑性和接觸問題。如果單元過渡扭曲，不如一次減縮積分單元有優(yōu)勢；但如果過分扭曲所有的單元都不如意。46非協(xié)調(diào)單元：例：具有扭曲單元的懸臂梁平行扭曲梯形扭曲47單元類型xxyyxy備注物理狀態(tài)000二次000OK一次全積分000剪切自鎖一次減縮積分000如果厚度方向的單元較少000OK如果厚度方向有足夠的單元非協(xié)調(diào)單元000OK如果不過分扭曲不同單元模擬彎曲狀態(tài)48應(yīng)力集中問題二次單元處理應(yīng)力集中問題，明顯優(yōu)于一次單元無論是完全積分還是減縮積分都可以很好的反映應(yīng)力集中減縮積分效率更高，而且計算結(jié)果往往優(yōu)于完全積分。二次單元可以以更少的單元更好的反應(yīng)結(jié)構(gòu)的幾何特征

49應(yīng)力集中問題理想okbaddistortedundistorted當(dāng)單元初始具有扭曲時，利用一次、二次和六面體單元的計算精度都較低但一次單元比二次單元對扭曲的敏感性低二次三角形和四面體單元與單元初始的形狀不敏感50接觸問題二次四邊形和六面體單元不適合做接觸問題；規(guī)則的二次三角形和四面體單元經(jīng)過修正后適合做接觸問題（修正后的單元加M）由于壓力的不均勻協(xié)調(diào)改變節(jié)點力的方向。51雜交單元：對于ABAQUS的每一種實體單元，都可以得到一個雜交單元。用來處理不可壓縮（或非常接近不可壓縮材料）。如果材料不可壓縮，單元的體積不會改變，則壓應(yīng)力不能由節(jié)點位移計算，而是由一個附加自由度來決定。（ABAQUS/Standard）彈塑性材料發(fā)生體積自鎖正常的彈塑性材料橡膠材料或大塑性應(yīng)變的金屬材料52雜交單元對于近似不可壓縮材料，如果沒有物理機制的變形采用全積分單元發(fā)生體積自鎖，可以把全積分單元改用減縮積分單元，同時增加網(wǎng)格密度。如果問題依然存在再使用雜交單元。雜交單元不建議使用在各向異性材料中，除非材料是近似不可壓縮狀態(tài)。精密的網(wǎng)格，使用減縮積分仍然有體積自鎖的網(wǎng)格，比如彈塑性材料完全進(jìn)入塑性階段。即使使用了雜交單元一次三角形或者四面體單元仍然有過度約束。因此建議這類單元使用的比例要小，可以作為六面體單元的“填充物”使用。實體單元的選擇問題最佳的單元不建議使用的單元兩個變形體的一般接觸分析一階單元二階單元伴有彎曲的摩擦非協(xié)調(diào)單元一階或二階完全積分單元彎曲（沒有摩擦）二階單元