第06章 電磁感應(yīng)

主要內(nèi)容電磁感應(yīng)定律，自感與互感，能量與力。6-1電磁感應(yīng)定律6-2電感6-3磁場(chǎng)能量6-4磁場(chǎng)力6-5恒定磁場(chǎng)的應(yīng)用第06章電磁感應(yīng)

本章作業(yè)：6-2、6-66-1電磁感應(yīng)定律式中電動(dòng)勢(shì)e的正方向規(guī)定為與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。因此，當(dāng)磁通增加時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時(shí)，電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

電磁感應(yīng)是指當(dāng)穿過(guò)閉合回路所限定面的磁通發(fā)生變化時(shí)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象。這樣產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。若回路為閉合導(dǎo)體回路，該電動(dòng)勢(shì)將產(chǎn)生感應(yīng)電流，這種現(xiàn)象由法拉第發(fā)現(xiàn)并通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)歸納為法拉第電磁感應(yīng)定律：當(dāng)穿過(guò)閉合導(dǎo)體回路所限定面的磁通發(fā)生變化時(shí)，在該導(dǎo)體回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小正比于磁通的時(shí)間變化率，其實(shí)際方向由楞次定律決定。楞次定律指出：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向是企圖產(chǎn)生一電流，它所產(chǎn)生的磁通試圖抵制原來(lái)磁通的變化。感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明穿過(guò)線圈中的磁場(chǎng)變化時(shí)，導(dǎo)線中產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)。它表明，時(shí)變磁場(chǎng)可以產(chǎn)生時(shí)變電場(chǎng)。

eI根據(jù)斯托克斯定理，由上式得感應(yīng)電流產(chǎn)生意味著導(dǎo)線中存在電場(chǎng)，這種電場(chǎng)稱為感應(yīng)電場(chǎng)，以

表示。感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，即由于該式對(duì)于任一回路面積S均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此式為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率負(fù)值等于該點(diǎn)時(shí)變電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。

電磁感應(yīng)定律是時(shí)變電磁場(chǎng)的基本定律之一，也是下一章將要介紹的描述時(shí)變電磁場(chǎng)著名的麥克斯韋方程組中方程之一。值得注意的是：感應(yīng)電場(chǎng)不僅出現(xiàn)于導(dǎo)體內(nèi)而且出現(xiàn)于導(dǎo)體周圍的空間。感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度是磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的結(jié)果，并不是有了導(dǎo)體回路才發(fā)生的

6-2電感

在線性媒質(zhì)中，單個(gè)閉合回路電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度與回路電流I成正比，因此穿過(guò)回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱為回路的電感，單位為H（亨利）。由該定義可見(jiàn)，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。單個(gè)回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，與回路中電流無(wú)關(guān)。與回路電流I交鏈的磁通稱為回路電流I的磁通鏈，以

表示，令與I

的比值為L(zhǎng)，即應(yīng)注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。若交鏈N次，則磁通鏈增加N倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭?。因此，與N匝回路電流I交鏈的磁通鏈為=N。那么，由N

匝回路組成的線圈的電感為與回路電流I1交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯蓛刹糠执磐ㄐ纬傻?，其一是I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈11，另一是電流I2在回路l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈12。dl10zyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，與電流l1交鏈的磁通鏈1為同理，與回路電流I2交鏈的磁通鏈為在線性媒質(zhì)中，比值，，及均為常數(shù)。令兩個(gè)回路間的互感與電感式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路l2對(duì)l1的互感。同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對(duì)l2的互感。將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21代入前式，得可以證明，在線性均勻媒質(zhì)中

因?yàn)榭梢詫?dǎo)出任意兩個(gè)回路之間的互感公式為

若dl1與dl2處處保持垂直，則互感。因此，在電子電路中，如果需要增強(qiáng)兩個(gè)線圈之間的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個(gè)線圈相互耦合，則應(yīng)相互垂直。

互感可正可負(fù)，其值正負(fù)取決于兩個(gè)線圈的電流方向，但電感始終應(yīng)為正值。若處處保持平行，則互感M值達(dá)到最大。若互磁通與原磁通方向相同時(shí)，則使磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時(shí)，則使磁通鏈減少，互感為負(fù)值。例1計(jì)算右圖所示無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍媒質(zhì)為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2考慮到，所以由上兩式可見(jiàn)，解:建立圓柱坐標(biāo)系，令z

軸方向與電流I1一致，則I1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為與線圈電流I2

交鏈的磁通鏈21為若線框電流如圖所示的順時(shí)針?lè)较?，則dS

與B1方向相同。那么求得abdrrD0I1I2zS2若線圈電流為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，則B1與dS反向，M21為負(fù)。但在任何線性媒質(zhì)中，M21=M12。例2計(jì)算圖示載有直流電流的同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感。解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c。bcaO在同軸線中取出單位長(zhǎng)度，沿長(zhǎng)度方向形成一個(gè)矩形回路。內(nèi)導(dǎo)體中電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導(dǎo)體中電流歸并為外邊電流。

aIObcrcbaOdrIIe同軸線單位長(zhǎng)度的電感定義為

式中I為同軸線中的電流，是單位長(zhǎng)度內(nèi)與電流

I交鏈的磁通鏈。該磁通鏈由三部分磁通形成：外導(dǎo)體中的磁通，內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通以及內(nèi)導(dǎo)體中的磁通。由于外導(dǎo)體通常很簿，穿過(guò)其內(nèi)的磁通可以忽略。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度

為該磁場(chǎng)形成的磁通稱為外磁通，以表示，則單位長(zhǎng)度內(nèi)的外磁通為該外磁通與電流I

完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。又知內(nèi)導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bi

為這部分磁場(chǎng)形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以表示。那么穿過(guò)寬度為dr的單位長(zhǎng)度截面的內(nèi)磁通d為由此求得內(nèi)導(dǎo)體中的磁場(chǎng)對(duì)總電流I提供的磁通鏈i為aIObcrcbaOdrIIe該部分磁通僅與內(nèi)導(dǎo)體中自內(nèi)導(dǎo)體軸線位置0至r之間部分電流交鏈，不是與總電流I

交鏈。因此，對(duì)于總電流I來(lái)說(shuō)，這部分磁通折合成與總電流I形成的磁通鏈應(yīng)為那么，與總電流I

交鏈的總磁通鏈為（o+i）。因此，同軸線的單位長(zhǎng)度內(nèi)電感為式中第一項(xiàng)稱為外電感，第二項(xiàng)稱為內(nèi)電感。當(dāng)同軸線傳輸電磁波時(shí)，內(nèi)外導(dǎo)體均可看作理想導(dǎo)體，因此若同軸線傳輸電磁波時(shí)，內(nèi)外導(dǎo)體中的磁通皆可忽略，同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感等于外電感，即6-3磁場(chǎng)的能量若在回路中加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過(guò)程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長(zhǎng)，為了克服反磁通產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，外源必須作功。

磁場(chǎng)能夠推動(dòng)載流導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)而做功，表明磁場(chǎng)具有能量。該能量?jī)?chǔ)存于整個(gè)磁場(chǎng)空間。

由此可見(jiàn)，磁場(chǎng)具有能量。若電流變化非常緩慢，可以不計(jì)輻射損失，則外源輸出的能量全部?jī)?chǔ)藏在回路電流周圍的磁場(chǎng)中。根據(jù)外源在建立磁場(chǎng)過(guò)程中作的功即可計(jì)算磁場(chǎng)能量。設(shè)單個(gè)回路的電流從零開(kāi)始逐漸緩慢地增加到最終值I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值。已知反電動(dòng)勢(shì)為為了克服這個(gè)反電動(dòng)勢(shì)，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓

U=-e

，即若時(shí)刻t

回路中的電流為i(t)，則此時(shí)刻回路中的瞬時(shí)功率為在dt時(shí)間內(nèi)外源作的功為

已知單個(gè)回路的磁通鏈與回路電流的關(guān)系為那么，在線性媒質(zhì)中，由于回路電感L與電流i無(wú)關(guān)，求得dt時(shí)間內(nèi)外源作的功為當(dāng)回路電流增至最終值I時(shí)，外源作的總功

W

為單個(gè)回路電流的磁通鏈即是穿過(guò)回路的磁通，因此這個(gè)總功在回路中建立的電流為I，在其周圍建立磁場(chǎng)。因電流增長(zhǎng)很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌?chǎng)的能量。若以Wm表示磁場(chǎng)能量，那么此式又可改寫為由此可見(jiàn)，若已知回路電流及其磁場(chǎng)能量，可利用上式計(jì)算電感?？紤]到，則單個(gè)回路電流周圍的磁場(chǎng)能量又可表示為式中為與電流I

交鏈的磁通鏈。對(duì)N個(gè)回路，可令各個(gè)回路電流均以同一比例同時(shí)由零值緩慢地增加到最終值。根據(jù)能量守恒原理，最終的總能量與建立過(guò)程無(wú)關(guān)，因此這樣的假定是允許的。已知各回路磁通鏈與各個(gè)回路電流之間的關(guān)系是線性的，第j

個(gè)回路的磁通鏈j為設(shè)第j個(gè)回路在某一時(shí)刻t

的電流，式中Ij為電流最終值，

為比例系數(shù)，其范圍為。那么，在dt

時(shí)間內(nèi)，外源在

N

個(gè)回路中作的功為當(dāng)各個(gè)回路電流均達(dá)到最終值時(shí)，外源作的總功

W為那么，具有最終值電流的N

個(gè)回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量為即若已知各個(gè)回路的電流及磁通鏈，由上式即可計(jì)算這些回路共同產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量。

那么，N個(gè)回路周圍的磁場(chǎng)能量又可矢量磁位表示為若電流分布在體積

V

中，電流密度為

，已知，則上式變?yōu)轶w積分，此時(shí)磁場(chǎng)能量可以表示為式中

為周圍回路電流在第j個(gè)回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。因?yàn)榛芈反磐捎檬噶看盼?/p>

表示為，因此第j個(gè)回路的磁通鏈也可用矢量磁位

表示為若電流分布在表面

S上，則產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量為式中S

為面分布的電流密度所在的面積。磁場(chǎng)能量的分布密度已知，代入上式，得利用矢量恒等式，上式又可寫為式中V

為電流所在的區(qū)域。顯然，若將積分區(qū)域擴(kuò)大到無(wú)限遠(yuǎn)處，上式仍然成立。令S為半徑無(wú)限大的球面，則由高斯定理知，上式第一項(xiàng)的式中V

為體分布的電流密度

所占據(jù)的體積。當(dāng)電流分布在有限區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度與距離平方成反比，矢量磁位與距離一次方成反比，因此無(wú)限遠(yuǎn)處的面積分

再考慮到，求得式中V

為磁場(chǎng)所占據(jù)的整個(gè)空間?？梢?jiàn)，上式中的被積函數(shù)即是磁場(chǎng)能量的分布密度。若以小寫字母wm

表示磁場(chǎng)能量密度，則已知各向同性的線性媒質(zhì)，，因此磁場(chǎng)能量密度又可表示為可見(jiàn)，磁場(chǎng)能量與磁場(chǎng)強(qiáng)度平方成正比，磁場(chǎng)能量也不符合疊加原理。上節(jié)例2同軸線內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)電感的計(jì)算：同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑r處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為單位長(zhǎng)度同軸線內(nèi)導(dǎo)體的磁場(chǎng)的總能量為于是，單位長(zhǎng)度同軸線內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)電感為例

計(jì)算同軸線中單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量。設(shè)同軸線中通過(guò)的恒定電流為I

，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。解已知同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感為因此，單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線中磁場(chǎng)能量為我們也可以通過(guò)磁場(chǎng)密度計(jì)算同軸線的磁場(chǎng)能量。已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量為又知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度Ho為所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量為單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線的磁場(chǎng)能量應(yīng)為，此結(jié)果與前式完全相同。已知，可見(jiàn)，通過(guò)磁場(chǎng)能量也可計(jì)算電感。作業(yè)：6-2、6-66-4磁場(chǎng)力dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1已知式中磁感應(yīng)強(qiáng)度B1為因此，B1對(duì)于整個(gè)回路l2的作用力F21為那么，由回路電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)B1對(duì)于電流元I2dl的作用力dF21為同理，回路電流I2產(chǎn)生的磁場(chǎng)B2對(duì)于整個(gè)回路l1的作用力F12為一、由安培力定律來(lái)求磁場(chǎng)力上述兩式稱為安培定律。根據(jù)牛頓定律得知，應(yīng)該。這個(gè)結(jié)論也可直接由上式獲得證明。如果回路形狀復(fù)雜，上述積分計(jì)算是很困難的，甚至無(wú)法求得嚴(yán)格的解析表達(dá)式。為了計(jì)算磁場(chǎng)力，類似計(jì)算電場(chǎng)力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關(guān)系可以獲得計(jì)算磁場(chǎng)力的簡(jiǎn)便方式。二、虛位移法求磁場(chǎng)力下面直接利用前述廣義力和廣義坐標(biāo)的概念，導(dǎo)出計(jì)算磁場(chǎng)力的一般公式。

設(shè)在電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)廣義力F的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標(biāo)變化的增量為dl，同時(shí)磁場(chǎng)能量的增量為dWm。兩個(gè)回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場(chǎng)廣義力作的功與磁場(chǎng)能量的增量之和，即下面分為兩種情況：

第一，若電流I1和I2不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則磁場(chǎng)能量的增量為兩個(gè)回路中外源作的功分別為

由此可見(jiàn)，兩個(gè)回路中的外源作的總功dW為求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F

為即第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)