材料力學(xué)第3章扭轉(zhuǎn)

第三章扭轉(zhuǎn)§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3.2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖§3.3純剪切§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力§3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例一、工程實(shí)例汽車(chē)方向盤(pán)MeMe二、受力特點(diǎn)

桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點(diǎn)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).直接計(jì)算1.外力偶矩§3.2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P

千瓦求：力偶矩Me若功率的單位為馬力時(shí)，則公式為Me

在n-n截面處假想將軸截開(kāi)取左側(cè)為研究對(duì)象二、內(nèi)力的計(jì)算1.求內(nèi)力截面法TMeMeMex??nnMeMe?xTMe?xT

采用右手螺旋法則,當(dāng)力偶矩矢的指向背離截面時(shí)扭矩為正,反之為負(fù).2.扭矩符號(hào)的規(guī)定3.扭矩圖

用平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示橫截面的位置;用垂直于桿軸線的坐標(biāo)T表示橫截面上的扭矩,正的扭矩畫(huà)在x軸上方,負(fù)的扭矩畫(huà)在x

軸下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動(dòng)軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動(dòng)輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率,三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.試做扭矩圖.解:計(jì)算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n

計(jì)算CA

段內(nèi)任橫一截面2-2截面上的扭矩.假設(shè)T

2為正值.結(jié)果為負(fù)號(hào),說(shuō)明T

2應(yīng)是負(fù)值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理,在BC

段內(nèi)BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理,在BC

段內(nèi)在AD

段內(nèi)1133

注意：若假設(shè)扭矩為正值,則扭矩的實(shí)際符號(hào)與計(jì)算符號(hào)相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩圖4774.5N·m9549N·m6366N·m+_從圖可見(jiàn),最大扭矩在CA段內(nèi).討論:若將A，D互換，扭矩圖發(fā)生什么變化？4774.5N·m9549N·m__15915N·m

§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)1.實(shí)驗(yàn)前（1）畫(huà)縱向線,圓周線;（2）施加一對(duì)外力偶.一、應(yīng)力分析薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實(shí)驗(yàn)后（1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）各縱向線均傾斜了同一微小角度；（3）所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.3.推論（1）橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；（2）切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切.dxδ

圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切,且數(shù)值相等,近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化.MeMeABDC此式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式.4.推導(dǎo)公式

薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布,與半徑垂直,指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致.Tττxdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理ττ1.在單元體左、右面（桿的橫截面）只有切應(yīng)力,其方向與y

軸平行.

兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dydz大小相等,方向相反,將組成一個(gè)力偶.由平衡方程其矩為(dydz)dxxydydzzdxττ2.要滿足平衡方程

在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩?cái)?shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得(dydz)dx3.切應(yīng)力互等定理

單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在,且大小相等,都指相（或背離）該兩平面的交線.4.純剪切單元體單元體平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力,則稱(chēng)為純剪切單元體.MeMel式中,r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律由圖所示的幾何關(guān)系得到

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在切應(yīng)力低于材料的剪切比例極限時(shí)，φ與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比.在切應(yīng)力的作用下，單元體的直角將發(fā)生微小的改變，這個(gè)改變量稱(chēng)為切應(yīng)變。三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系TO從T與之間的線性關(guān)系,可推出與

間的線性關(guān)系.該式稱(chēng)為材料的剪切胡克定律G–剪切彈性模量O思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變2切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)?四、

剪切變形能剪切變形能的推導(dǎo)過(guò)程與拉壓變形能的推導(dǎo)過(guò)程相同。也可寫(xiě)為:

剪切變形比能當(dāng)切應(yīng)力小于剪切比例極限時(shí):或:§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式一、變形幾何關(guān)系試驗(yàn)現(xiàn)象:各圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小轉(zhuǎn)角，但大小，形狀及相互間距不變；(2)各縱向線平行地傾斜一個(gè)微小角度，認(rèn)為仍是直線；平面假設(shè)

變形前為平面的橫截面,變形后仍保持為平面.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面保持為平面,形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變，只在原地繞軸線發(fā)生“剛性”轉(zhuǎn)動(dòng)。變形幾何關(guān)系距圓心為處即：各點(diǎn)的切應(yīng)變與其到圓心的距離成正比。二、物理關(guān)系

剪切胡克定律

距圓心為處切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。三、靜力關(guān)系

1.公式的建立rO結(jié)論dAdAρρTρρ代入物理關(guān)系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離Ip—橫截面對(duì)圓心的極慣性矩Wt

稱(chēng)作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.2.的計(jì)算rOTdAdAρρρmax（1）實(shí)心圓截面dO3.極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面其中例題2圖示空心圓軸外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切變模量G=80GPa.（1）畫(huà)軸的扭矩圖；（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置.M1M2ABCll解:（1）畫(huà)軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發(fā)生在BC段

Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置max

最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上,且垂直于半徑.M1M2ABCllmax1.數(shù)學(xué)表達(dá)式四、強(qiáng)度條件2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面確定許可載荷扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件：1.等截面圓軸：2.階梯形圓軸：例3(書(shū)例3.2)已知：傳動(dòng)軸為無(wú)縫鋼管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[t]=60MPa。求：校核軸的強(qiáng)度。解：計(jì)算Wt

切應(yīng)力ABC解：作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強(qiáng)度例題4

圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1=120mm,BC

段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN·m,MB=36kN·m,MC=14kN·m.已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa,試校核該軸的強(qiáng)度.因此,該軸滿足強(qiáng)度要求.例題5實(shí)心圓軸1和空心圓軸2（圖a、b）材料,扭轉(zhuǎn)力偶矩M

和長(zhǎng)度l

均相等,最大切應(yīng)力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比

=0.8,試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)

分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為d2、D2;又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為T(mén).已知：dd2D2因此解得

兩軸材料、長(zhǎng)度均相同,故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面面積之比在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.40§3.5

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)角

兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)角。

微段的扭轉(zhuǎn)角

整體的扭轉(zhuǎn)角

整體的扭轉(zhuǎn)角

等直圓軸且扭矩不變時(shí)GIp

圓軸的抗扭剛度。

臺(tái)階軸或扭矩分段變化42

等直圓軸且扭矩不變時(shí)

單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

剛度條件(rad/m)

若的單位為“度”，則(o/m)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件扭轉(zhuǎn)剛度條件已知T

、D和[τ]，校核強(qiáng)度已知T

和[τ]，設(shè)計(jì)截面已知D和[τ]，確定許可載荷已知T

、D和[φ/]，校核剛度已知T

和[φ/]，設(shè)計(jì)截面已知D和[φ/]，確定許可載荷例題6圖示等直桿,已知直徑d=40mm,a=400mm,材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應(yīng)力;（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫(huà)扭矩圖計(jì)算外力偶矩MeDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD桿的最大切應(yīng)力（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例題7某汽車(chē)的主傳動(dòng)軸是用40號(hào)鋼的電焊鋼管制成,鋼管外徑D=76mm,壁厚d=2.5mm,軸傳遞的轉(zhuǎn)矩Me=1.98kN·m,材料的許用切應(yīng)力

[]=100MPa,切變模量為G=80GPa,軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強(qiáng)度和剛度.DddMeMe解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)、外徑之比由強(qiáng)度條件

由剛度條件DddMeMe將空心軸改為同一材料的實(shí)心軸,仍使max=96.1MPad=47.2mm實(shí)心軸的直徑為兩軸材料、長(zhǎng)度均相同,故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，在最大切應(yīng)力相等的情況下空心圓軸比實(shí)心圓軸輕,即節(jié)省材料.其截面面積為空心軸的截面面積為

傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪A輸入功率P1=400kW，從動(dòng)輪C，B分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定AC段的直徑d1和BC段的直徑d2；

(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理?解：1.外力偶矩例題8

2.扭矩圖按剛度條件3.直徑d1的選取按強(qiáng)度條件

按剛度條件4.直徑d2的選取按強(qiáng)度條件

5.選同一直徑時(shí)

6.將主動(dòng)輪安裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理例9(書(shū)例3.4)已知：1、2軸共消耗功率0.756kW；3軸消耗功率2.98kW。4軸轉(zhuǎn)速183.5r/min，G=80GPa。取[t]=40MPa,[]=1.5o/m。求：設(shè)計(jì)4軸的直徑。54

計(jì)算力偶矩

取4軸,受力如圖

畫(huà)出扭矩圖

計(jì)算力偶矩T

畫(huà)出扭矩圖可得到：T

由強(qiáng)度條件

由剛度條件57

由強(qiáng)度條件

由剛度條件

最后取：

說(shuō)明：本題實(shí)際上是彎扭組合變形的問(wèn)題。由剛度條件控制例10(書(shū)例3.5)已知：把軸預(yù)加力偶矩m后與筒焊接，然后解除m。軸和筒的抗扭剛度分別為G1IP1和G2IP2。解：求：軸和筒的扭矩。先扭后焊，屬裝配應(yīng)力問(wèn)題。59

靜平衡方程設(shè)外力偶矩m撤銷(xiāo)后，軸內(nèi)的扭矩為T(mén)1，筒內(nèi)的扭矩為T(mén)2

。T1T2T1T2

變形協(xié)調(diào)方程設(shè)：焊接前軸在m的作用下的扭轉(zhuǎn)角為。焊接并釋放m后，桿的扭轉(zhuǎn)角減小為1

，筒的扭轉(zhuǎn)角為2

，轉(zhuǎn)向如圖。所以：61

物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程與平衡方程聯(lián)立解得T1T2

彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的彈簧稱(chēng)為密圈螺旋彈簧.推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計(jì)算公式.§3-6

密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力F

簧絲的橫截面上有兩個(gè)內(nèi)力分量即FSTFPF

作為近似計(jì)算,通?？陕匀ヅc剪力FS相應(yīng)的

,且D/d

很大時(shí),還可略去簧圈曲率的影響,所以簧桿橫截面上最大切應(yīng)力為2.應(yīng)力的計(jì)算

為便于分析,將桿的斜度視為0°

截面法1.內(nèi)力的計(jì)算公式修正的原因:（1）當(dāng)D/d較小,會(huì)引起很大的誤差;

（2）假定剪切引起的切應(yīng)力是均勻分布的.式中c為彈簧指數(shù),k為曲度系數(shù),可查教材中的表3.13.強(qiáng)度條件FSTFPF

若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)的影響，可得簧桿內(nèi)的應(yīng)變能為二、彈簧的變形1.應(yīng)變能的計(jì)算3.功能原理Vε=W當(dāng)彈簧的變形為l

時(shí)，外力所做的功為FFOll2.外力做的功c—彈簧剛度例題11某柴油機(jī)的氣閥彈簧,簧圈平均半經(jīng)R=59.5mm,簧絲橫截面直徑d=14mm,有效圈數(shù)n=5.材料的[]=350MPa,G=80GPa,彈簧工作時(shí)總壓縮變形（包括預(yù)壓變形）為l=55mm

試校核彈簧的強(qiáng)度.解：求出彈簧所受的壓力F為由R及d求出查表3.1查處彈簧的曲度系數(shù)k=1.17彈簧滿足強(qiáng)度要求.§3-7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、基本概念對(duì)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，主要介紹矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)。非圓桿,如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲而不再是平面.

（2）若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同引起相鄰兩截面間縱向線段長(zhǎng)度改變,這將在橫截面上引起附加的正應(yīng)力.這一情況稱(chēng)為

約束扭轉(zhuǎn).

（1）等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面雖發(fā)生翹曲，但當(dāng)?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時(shí)，其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同,縱向線段的長(zhǎng)度無(wú)變化，橫截面上仍然只有切應(yīng)力而沒(méi)有正應(yīng)力.這一情況