統計學基礎第4章綜合指標

第4章

綜合指標

總量指標

基本指標綜合指標相對指標派生指標平均指標變異指標派生指標綜合指標從它的作用和方法特點的角度可概括為三類：

總量指標相對指標平均指標概念：

總量指標的概念總量指標是反映社會經濟現象一定時間、地點、條件下總的規(guī)模、水平的統計指標。

總量指標表現形式是絕對數，也可表現為絕對差數。

例如：2005年我國財政收入30510億元，財政支出33510億元，財政赤字3000億元?？偭恐笜说姆N類按反映的內容不同總體標志總量總體單位總量按反映的時間不同時期指標時點指標返回按其反映的內容不同可分為：總體總量指標——

說明總體的單位數數量。

標志總量指標——

說明總體中某個標志值總和的量。

總量指標的分類

按其反映的時間狀況不同可分為：時期指標——

反映現象在某一時期發(fā)展過程的總數量。(可連續(xù)計數，與時間長短有關，是累計結果)時點指標——

反映現象在某一時刻的狀況。(間斷計數，與時間間隔無關，不能累計)

時期指標與時點指標時期指標(又稱流量指標)表明總體在一段時間內累積的總量。時點指標(又稱存量指標)表明總體在某一時刻的數量狀態(tài)。時期指標和時點指標的區(qū)別：

區(qū)別

時期指標

時點指標123

數值是連續(xù)登記結果各期數值可以直接相加數值大小與時期長短成正比數值是間斷計數的結果各時點的數值相加沒有實際意義數值大小與時點間間隔沒有直接關系。返回

根據總量指標所反映的社會經濟現象性質不同，計量單位分三種形式：

(1)實物單位自然單位：輛、雙、頭、根、個……

b.度量衡單位：噸、米、克、立方米……

c.雙重單位：公里/小時、人/平方公里……d.復合單位：噸公里、公斤米、千瓦小時……

(2)價值單位(貨幣單位)

貨幣單位有現行價格和不變價格之分。

價值單位使不能直接相加的產品產量過渡到能夠加總，用于綜合說明具有不同使用價值的產品生產總量或商品銷售量等的總規(guī)模、總水平。(3)勞動單位

工時——

工人數和勞動時數的乘積；臺時——

設備臺數和開動時數的乘積。

例

由于具體條件不同，不同企業(yè)的勞動量指標不具有可比性，因此，勞動量指標只限于企業(yè)內部使用。

是兩個有聯系的絕對指標之比。

2005年我國對外貿易進口總額增長率為16.1%，出口總額增長率為25.7%。例

相對指標的概念

-人口密度：人/平方公里

-平均每人分攤的糧食產量：千克/人

系數或倍數：是將比的基數抽象化為1；

成數：是將比的基數抽象化為10；百分數：是將比的基數抽象化為100；

千分數：是將比的基數抽象化為1000。

相對指標的數值有兩種表現形式：無名數，分以下幾種:

有名數

相對指標的種類和計算方法相對指標計劃完成相對數結構相對數比例相對數比較相對數動態(tài)相對數強度相對數返回(一)計劃完成相對指標

相對指標的種類及其計算1.計算公式(1)根據絕對數來計算計劃完成相對數

計算結果表明該廠超額10%完成總產值計劃。

設某工廠某年計劃工業(yè)總產值為200萬元，實際完成220萬元，則：

(2)根據平均數來計算計劃完成相對數

某化肥廠某年每噸化肥計劃成本為200元，實際成本為180元，則：實際單位成本-計劃單位成本=180-200=-20(元)計算結果表明該廠化肥單位成本實際比計劃降低了10%，平均每噸化肥節(jié)約生產費用20元。例(3)根據相對數來計算計劃完成相對數

某企業(yè)生產某產品，上年度實際成本為420元/噸，本年度計劃單位成本降低6%，實際降低7.6%，則：∴比計劃多完成1.71%；例本題也可換算成絕對數計算：

∴計劃

-6%～394.8元/噸[(1-6%)×420]實際–7.6%～388.08元/噸[(1-7.6%)×420]

某企業(yè)計劃規(guī)定勞動生產率比上年提高10%，實際比上年提高15%，則：∴勞動生產率超額4.5%完成計劃任務。例以五年計劃來說明這個問題。

2.長期計劃的檢查(1)水平法

計算公式為：

某產品計劃規(guī)定第五年產量56萬噸，實際第五年

產量63萬噸，則：

那么，提前多少時間完成計劃？例月份一二三四五六七八九十十一十二合計第四年3.53.543.843.84(4(555449.6第五年4445555)6)666763第四年9月～第五年8月產量合計57萬噸第四年8月～第五年7月產量合計55萬噸

現假定第四年、第五年各月完成情況如下：

(單位：萬噸)正好生產56萬噸的時間應是第四年八月第X天到第五年八月第(31-X)天。圖示如下：

∴X=15.5(天)即提前四個月又15天半完成五年計劃。

51(31-x)56(31-x)xx第四年9月～第五年7月第四年8月第五年8月（2）累計法

計算公式為：

提前完成計劃時間＝（計劃期月數－實際完成月數）+超額完成計劃數÷平均每日計劃數[例5]某市某五年計劃規(guī)定整個計劃期間基建投資總額達到500億元，實際執(zhí)行情況如下：時間第1年第2年第

3年第4年第5年5年合計一季度二季度三季度四季度投資額140135708040221820525試計算該市5年基建投資額計劃完成相對數和提前完成時間。解：

1.計劃完成相對數＝525÷500＝105％

2.從第一年的第一季度起至第5年的第三季度投資額之和505億元，比計劃數500億元多5億元，則：提前完成計劃時間＝（60-57）+5÷[500/（365×5）]=3個月零18天(二)

結構相對指標

計算公式為：

上海市“十五”期間GDP構成（%）

2001年2002年2003年2004年2005年第一產業(yè)1.731.631.491.300.87第二產業(yè)47.5847.4250.0950.8548.95第三產業(yè)50.6950.9548.4247.8550.18例(三)比例相對指標

計算公式為：

常用的比例形式有兩種：

1.將作為比較基礎的數值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數值是多少。

我國2000年第五次人口普查結果，男女性別比例為106.74:100，這說明以女性為100，男性人口是女性人口數的106.74倍。簡稱性比例106.74。目前已上升到116.86：100。

例2.首先將總體全部數值抽象化為100，求得各部分數值在總體中所占百分數，然后將各部分的百分數連比得比例相對數。

2005年北京市GDP抽象化為100，第一產業(yè)、第二產業(yè)、第三產業(yè)的比例為：0.87︰48.95︰50.18。

例(四)比較相對指標(類比相對指標)

計算公式為：

比較相對數的特點：

1.分子分母的數值分別屬于不同的總體。

2.分子分母是同類指標。

3.分子分母可以互換。

某年有甲、乙兩企業(yè)同時生產一種性能相同的產品，甲企業(yè)工人勞動生產率為19,307元，乙企業(yè)為27,994元。說明甲企業(yè)勞動生產率比乙企業(yè)低31%。例(五)強度相對指標

計算公式為：

①一般用復名數表示；

②也有少數用百分數或千分數表示。

1.強度相對數的數值表示有兩種方法：用百分數表示說明平均每百元銷售額負擔多少流通費。產值利潤率、資金利潤率一般用千分數表示。

例某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機構5000個，則：例2.有些強度相對數有正、逆兩種計算方法：(六)動態(tài)相對指標

計算公式為：

基期

——作為對比標準的時間報告期——

同基期比較的時期，也稱計算期

2.特點

-數量抽象性

-集中趨勢代表性1.概念

平均指標是指在同質總體內將各單位某一數量標志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

平均指標的意義和作用

-比較作用

a.同類現象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標可以分析現象之間的依存關系

-利用平均指標可以進行數量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數量標準或參考3.作用

4.種類

算術平均數

數值平均數 調和平均數幾何平均數 眾數

位置平均數

中位數1.算術平均數的基本公式

算術平均數

式中：——

算術平均數

X——

各單位的標志值

n——

總體單位數

——

總和符號2.簡單算術平均數式中：——

算術平均數

X——

各組數值

f——

各組數值出現的次數(即權數)3.加權算術平均數設某廠職工按日產量分組后所得組距數列如下，據此求平均日產量。按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權數的情況下，可以直接利用權數系數來求加權算術平均數，其公式為：按日產量分組(千克)組中值X(千克)工人數f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權算術平均數受兩因素的影響：

變量值大小的影響。次數多少的影響。

而簡單算術平均數只反映變量值大小這一因素的影響。加權算術平均數與簡單算術平均數不同在于：①各個變量值與算術平均數離差之和等于零4.算術平均數的數學性質簡單平均數：加權平均數：②各個變量值與算術平均數離差平方之和

等于最小值△算術平均數的特點算術平均數適合用代數方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變小；受極大值的影響大于受極小值的影響；當組距數列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。

調和平均數是各個變量值倒數的算術平均數的倒數。三、調和平均數(又稱“倒數平均數”)

其計算方法如下：在社會經濟統計學中經常用到的僅是一種特定權數的加權調和平均數。即有以下數學關系式成立：m是一種特定權數，它不是各組變量值出現的次數，而是各組標志值總量。已知某商品在三個集市貿易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數計算平均數時調和平均數法的應用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產值(萬元)m=Xf實際產值÷計劃完成程度(%)(即計劃產值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數計算平均數時調和平均數法的應用：例△調和平均數的特點如果數列中有一標志值等于零，則無法計算；較之算術平均數，受極端值的影響要小。1.簡單幾何平均數

幾何平均數(又稱“對數平均數”)計算時要進行對數變換，即：例

某機械廠有鑄造車間、機加工車間、裝配車間三個連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這三個車間產品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產品合格率。解：這說明該廠車間產品平均合格率為92.31%2.加權幾何平均數△幾何平均數的特點如果數列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和??；它適用于反映特定現象的平均水平，即現象的總標志值是各單位標志值的連乘積。由定義可看出眾數存在的條件：1.概念：眾數是在總體中出現次數最多的那個標志值

眾數M0M0M0M0M0M0若有兩個次數相等的眾數，則稱復眾數。①只有總體單位數比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數。下三圖無眾數：②在單位數很少，或單位數雖多但無明顯集中趨勢時，計算眾數是沒有意義的。①根據單項數列確定眾數；價格(元)銷售數量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數M0=3.00(元)2.眾數的計算方法例②根據組距數列確定眾數⑵利用比例插值法推算眾數的近似值。⑴由最多次數來確定眾數所在組；按日產量分組(千克)工人人數(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數所在組。例計算眾數的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產量眾數由上限公式，日產量眾數△眾數的特點

眾數是一個位置平均數，它只考慮總體分布中最頻繁出現的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數列的影響。

眾數是一個不容易確定的平均指標，當分布數列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數可言；當變量數列是不等距分組時，眾數的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數2.中位數的計算方法1.概念：將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數。

中位數Me⑴n為奇數時，則居于中間位置的那個標志值

就是中位數。例⑵n為偶數時，則中間位置的兩個標志值的算術

平均數為中位數。②由單項數列確定中位數某企業(yè)按日產零件分組如下：按日產零件分組（件）工人數（人）較小制累計較大制累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數列確定中位數

按日產量分組(千克)工人數(人)以下累計以上累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--下限公式（以下累計時用）：上限公式（以上制累計時用）：①中位數不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標志值與中位數離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數學特點或不能用數字測定的現象，可用中位數求其一般水平。3.中位數的特點f如圖：(二）三者的關系1.當總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱一組工人的月收入眾數為700元，月收入的算術平均數為1000元，則月收入的中位數近似值是：例根據卡爾·皮爾遜經驗公式，還可以推算出：

變異指標的種類和計算變異指標全距平均差標準差變異系數返回①標志變動度是評價平均數代表性的依據。

標志變動度2.作用：1.概念：標志變動度是指總體中各單位標志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。

標志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學生某次考試成績列表語文數學物理化學政治英語甲959065707585乙1107095508075

甲、乙兩學生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數的程度卻不一樣。乙組數據的離散程度大，數據分布越分散，平均數的代表性就越差；甲組數據的離散程度小，數據分布越集中，平均數的代表性越大。例②標志變動度可用來反映社會生產和其他社會經濟活動過程的均衡性或協調性，以及產品質量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標準差、離散系數等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標準差 S.D.(σ)離散系數 Vσ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數列兩端數值差異，它是測定標志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。1.全距是總體各單位標志值最大值和最小值之差,2.全距的特點

全距R1.概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后將數列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數，(其中第二個四分位數Q2就是數列的中位數Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1

四分位差Q.D.①根據未分組資料求Q.D.2.計算：例①四分位差不受兩端各25%數值的影響，能對開口組數列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數的代表性高低；③四分位差不反映所有標志值的差異程度，它所描述的只是次數分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標。四分位差的特點

平均差是數列中各單位標志值與平均數之間絕對離差的平均數。1.概念和計算：

平均差A.D.以某車間100個工人按日產量編成變量數列的資料：工人按日產量分組(千克)工人數(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計100-4200-660例

平均差例題分析

某車間工人日產量量數據平均差計算表按日產量分組（件）工人數（人）f組中值

xxf40——5050——6060——7070——80122038104555657554011002470750189115161.5142.5

合計80

——4860608.0平均差例題分析

計算結果表明:每個工人日產量與平均日產量平均相差7.6件/人。(件/人)(件/人)①平均差是根據全部標志值與平均數離差而計算出的變異指標，能全面反映標志值的差異程度；②平均差計算有絕對值符號，不適合代數