自動(dòng)控制-05c開環(huán)頻率特性曲線的繪制

5-3.2、開環(huán)頻率特性曲線的繪制

一、開環(huán)幅相曲線的繪制

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的表達(dá)式可以通過(guò)取點(diǎn)、計(jì)算和作圖繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。概略開環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個(gè)重要因素：

1、開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)（ω

=0+）和終點(diǎn)（ω=

∞）。

2、開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)

設(shè)ω=ωx時(shí)，G(jωx)H(jω

x)的虛部為稱ωx為穿越頻率，而開環(huán)頻率特性曲線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)值為：

例5-1設(shè)某0型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

已知。試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性。

解

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

將上式作有理化處理

則：

而

將代入如上的實(shí)頻特性和虛頻特性以及幅頻特性和相頻特性的計(jì)算式中，當(dāng)取不同的值時(shí)可得如表5-4所示的開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性數(shù)據(jù)。

表5-4系統(tǒng)的頻率特性數(shù)據(jù)

利用上表中的數(shù)據(jù)在復(fù)平面上可繪出幅相頻率特性如圖5-25所示。

圖5-25例5-1系統(tǒng)的幅相頻率特性為精確求頻率特性和負(fù)虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可令實(shí)部為0

從而可得的值，再將的值代入虛部方程即可求得曲線與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

例5-2設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。

解

該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

將上式進(jìn)行有理化處理有

而

當(dāng)ω＝0時(shí)表

明低頻率段的漸近線是一條過(guò)實(shí)軸－K(T1+T2)點(diǎn)且平行于虛軸的直線。

當(dāng)ω→∞時(shí)

可見，此時(shí)高頻段是以－270°作為極限角而卷入坐標(biāo)原點(diǎn)的。

完整的幅相頻率特性曲線如圖5-26所示。曲線從點(diǎn)[－K(T1+T2)，－

jω]出發(fā)，跨越負(fù)實(shí)軸進(jìn)入第二象限，并以正虛軸為漸近線卷向坐標(biāo)原點(diǎn)。為精確求得曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)，可令虛頻特性為0，解之得交點(diǎn)角頻率將此值代入實(shí)頻特性表達(dá)式可求得曲線與實(shí)軸交點(diǎn)交點(diǎn)為：

圖5-26例5-2系統(tǒng)的幅相頻率特性

在繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)注意曲線所具有的一些特征。例如：當(dāng)ω→0時(shí)低頻段曲線從何處出發(fā)？而當(dāng)ω→∞時(shí)的高頻段特性曲線以什么姿態(tài)卷向原點(diǎn)？曲線在ω值為多大時(shí)跨越實(shí)軸或虛軸？跨越點(diǎn)的坐標(biāo)值如何？等等。后兩個(gè)問(wèn)題我們已經(jīng)作過(guò)說(shuō)明，下面討論前兩個(gè)問(wèn)題。

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有V個(gè)積分環(huán)節(jié)，其相應(yīng)的頻率特性為

式中當(dāng)ω→0時(shí)低頻段表達(dá)式為

則

當(dāng)ω→∞時(shí)的高頻段，由于所以

根據(jù)相角特性得當(dāng)，特性曲線沿負(fù)虛軸卷向原點(diǎn)；當(dāng)，特性曲線沿負(fù)實(shí)軸卷向原點(diǎn)；當(dāng)，特性曲線沿正虛軸卷向原點(diǎn)；圖5-27極坐標(biāo)圖的低頻段圖5-28極坐標(biāo)的高頻段二、開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制

如圖5-29所示系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為則其對(duì)應(yīng)的頻率特性為：圖5-29由兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)●由上可見，只要繪出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性分量，再將各分量的縱坐標(biāo)相加，就可得到整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性。同理，將各環(huán)節(jié)的相頻特性分量相加，就成為系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性。圖5-30兩環(huán)節(jié)系統(tǒng)的Bode圖含有多環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制思路：確定低頻漸近線的斜率和位置→確定線段交接的頻率以及交接后線段斜率的變化量→由低頻到高頻繪制開環(huán)系統(tǒng)的特性曲線。

1、低頻漸近線段的確定

前面我們已得到

則

上式是一個(gè)線性方程，易知直線的斜率為即低頻漸近線的斜率與系統(tǒng)階數(shù)V有關(guān)，如圖5-31。

圖5-31低頻段的斜率與位置的關(guān)系2、交接頻率及交接后斜率變化量的確定

對(duì)于式

其交接頻率分別為曲線經(jīng)過(guò)時(shí)，斜率的變化量為+20dB/dec；

曲線經(jīng)過(guò)時(shí)，斜率的變化量為-20dB/dec；曲線經(jīng)過(guò)時(shí)，斜率的變化量為+40dB/dec；曲線經(jīng)過(guò)時(shí)，斜率的變化量為-40dB/dec。依據(jù)如上分析，我們可歸納出繪制系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的一般步驟和方法如下：

（1）將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性寫成以時(shí)間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘的形式。

（2）求出各環(huán)節(jié)的交接頻率，并從小到大依次標(biāo)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上。（3）按傳遞系數(shù)K計(jì)算20lgK的分貝值，過(guò)ω=1這一點(diǎn)，繪出斜率為的直線，此即為低頻段的漸近線（或其延長(zhǎng)線）。（4）從低頻漸近線開始，沿ω軸從左到右即沿著頻率增大的方向，每遇到一個(gè)交接頻率，就按上述規(guī)律改變一次對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率，直至經(jīng)過(guò)全部交接頻率為止。

（5）若有必要，可利用誤差曲線對(duì)幅頻特性的折線群加以修正，最終獲得精確的對(duì)數(shù)幅頻特性的光滑曲線。（6）對(duì)數(shù)相頻特性可直接利用相頻特性表達(dá)式逐點(diǎn)計(jì)算而得。對(duì)于式

其相頻表達(dá)式為

以及

例5-3某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。

解

將開環(huán)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式

其對(duì)應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為

（2）在處，（3）過(guò)點(diǎn)畫一條斜率為的斜線，以此作為低頻漸近線。

（4）因第一個(gè)交接頻率，故低頻漸近線畫至止，經(jīng)過(guò)后曲線的斜率應(yīng)為；當(dāng)曲線延伸至第二個(gè)交接頻率時(shí)，斜率又恢復(fù)為直至?xí)r，曲線斜率再增加，變?yōu)榈男本€。

根據(jù)上述分析可畫出系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-32所示。

直接繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟如下：

（1）交接頻率為

圖5-32例5-3系統(tǒng)的Bode圖表5-4例5-3系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數(shù)據(jù)

系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式為

逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果如表5-4所示。

00.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.000.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1-96.2-101.6-109.2-111.3-114.2-113.85.08.010204080100-114.5-118.7-122.2-137.9-154.9166.7-169.3-180.0如圖5-32所示曲線穿越橫坐標(biāo)時(shí)的頻率稱為截止頻率，又稱零分貝頻率，常用表示。

我們可以計(jì)算得到，其對(duì)應(yīng)的相角為圖5-33例5-4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖例5-4試?yán)L制圖5-33所示系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)特性漸近線。

解

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其頻率特性表達(dá)式為

（3）畫分段折線，最終得如圖5-34所示的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。

繪圖步驟：（1），找出各交接頻率（2）找點(diǎn)時(shí)，

圖5-34例5-4系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性三、最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)

三類開環(huán)傳遞函數(shù)：

（1）最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于s平面的左半部，而沒(méi)有零點(diǎn)落在右半s平面上，則這種傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。

（2）非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于s平面的左半部，但有一個(gè)或多個(gè)零點(diǎn)落在右半s平面上，則這種傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。

（3）開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)：傳遞函數(shù)有一個(gè)或多個(gè)極點(diǎn)落在s平面的右半部，則這種傳遞函數(shù)稱為開環(huán)不穩(wěn)定傳遞函數(shù)。具有開環(huán)不穩(wěn)定傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。

“最小相位”與“非最小相位”的概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。它指出：在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)從0變至?xí)r，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小，而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常要比前者大，故而得名。

例如，兩個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為

則兩系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性的表達(dá)式分別為圖5-35最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的Bode圖必須指出，非最小相位傳遞函數(shù)的定義中，有關(guān)極點(diǎn)的條件限制是必須的。若允許極點(diǎn)落在右半s平面，則相角變化范圍可能比之具有相同幅頻特性的最小相位傳遞函數(shù)的相角變化還要小。

例如，有三個(gè)系統(tǒng)

其頻率特性表達(dá)式為

則

圖5-36最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)Bode圖

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，一條對(duì)數(shù)幅頻特性曲線只能有一條對(duì)數(shù)相頻特性曲線與之對(duì)應(yīng)。因此對(duì)于最小相位系統(tǒng)只要繪出對(duì)數(shù)幅頻特性就夠了。

系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)則屬于非最小相位系統(tǒng)。原因

可見其開環(huán)傳遞函數(shù)必有位于右半s平面的零點(diǎn)。

例5-5已知某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖5-37所示。試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

解

（1）低頻漸近線的斜率為[-20]，根據(jù)

故系統(tǒng)有且僅有一個(gè)積分環(huán)節(jié)即

圖5-37例5-5系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性（2）因低頻漸近線在處的對(duì)數(shù)幅值為15dB

（3）在處，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率由[-20]變?yōu)閇-40]，故是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率，

（4）在處，特性曲線的斜率由[-40