數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維

引言

全國科技大會指出：“創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力?！粋€沒有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林?！薄敖?chuàng)新型國家。”

教育部的一個報告指出：

“實(shí)施素質(zhì)教育重點(diǎn)是改變教育觀念，……尤其是要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神為主?！?/p>

恩格斯指出：“一個民族要想站在科學(xué)的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！?/p>

創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動是在相應(yīng)的創(chuàng)造性思維的支配下，所進(jìn)行的一種積極的能動的活動。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動的核心和靈魂。H·G·格拉斯曼說：“數(shù)學(xué)除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現(xiàn)真理外，它還有另一個訓(xùn)練全面考查科學(xué)系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能?！焙瞻吞卣f：“數(shù)學(xué)一般通過直接激發(fā)創(chuàng)造精神和活躍思維的方式來提供最佳服務(wù)?！?/p>

因此我認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該傳授數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

講四個問題一、歸納思維二、類比思維三、發(fā)散思維四、逆（反）向思維我將結(jié)合高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史上一些著名問題來講一、歸納思維歸納是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學(xué)中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都?xì)w功于歸納方法…牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納方法的成果?！薄霸跀?shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比。”著名數(shù)學(xué)家高斯曾說：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?/p>

著名數(shù)學(xué)家沃利斯說：“我把（不完全的）歸納和類比當(dāng)作一種很好的考察方法，因為這種方法的確使我很容易發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．”

歸納是在通過多種手段（觀察、實(shí)驗、分析、計算……）對許多個別事物的經(jīng)驗認(rèn)識的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法。或者說，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質(zhì)的東西的抽象化思維。也可以說，歸納是在相似中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由個別中發(fā)現(xiàn)一般。從數(shù)學(xué)的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則、……的形式，都經(jīng)歷過積累經(jīng)驗的過程，從大量觀察、計算……,然后歸納出其共性和本質(zhì)的東西，例如：哥德巴赫猜想，費(fèi)馬猜想，素數(shù)定理等。歸納的方法①哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素數(shù)*。10，20，30都是偶數(shù)。是否兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)呢？這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個偶數(shù)，都能分解為兩個奇素數(shù)之和嗎？6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11……這樣下去總是對的嗎？即任何一個大于4的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和？大于4的偶數(shù)=奇素數(shù)+奇素數(shù)？(*)（哥德巴赫猜想）60=3+57（57=19×3，不是素數(shù)）60=5+55（55=11×5，不是素數(shù))

？！60=7+53（7和53都是素數(shù)）…….

哥德巴赫猜想。起源，演變哥德巴赫觀察到一些具體例子，然后歸納出：“任何大于2的數(shù)都是三個素數(shù)的和”。（1742.6.7寫信給歐拉，并附上一些他觀察到的例子）歐拉（1742.6.30）回信把它進(jìn)一步明確化為：“每一偶數(shù)是兩個素數(shù)的和”(**)（并說：“我認(rèn)為它正確，但給不出證明）1770（英）華林將(**)發(fā)表出來?，F(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)陳述是（*）這一猜想歷200多年至今仍懸而未決（1966，陳景潤，（1+2））。

這是數(shù)學(xué)向人類智慧的挑戰(zhàn)！但對此猜想的證明過程中，極大的推動了解析數(shù)論的發(fā)展（特別是篩法，圓法）二項式系數(shù)(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=…….(u+v)n=12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形111121133114641151010511615201561

宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年寫的《詳解九章算法》*就解釋了上述系數(shù)三角形的構(gòu)造法，并說賈憲用此術(shù)。楊輝三角形在高等數(shù)學(xué)中，許多重要結(jié)果的得出，都用到了歸納思維。例如：求某一函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導(dǎo)數(shù)，再歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。解從而歸納出解因為因而歸納得到科爾莫哥洛夫在《我是如何成為數(shù)學(xué)家》中說：我在6、7歲時我已經(jīng)感受到數(shù)學(xué)歸納發(fā)現(xiàn)的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：他的這個發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在《春燕》雜志上。問題：考察表按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)數(shù)學(xué)式子表示出來，而且試證明它。問題：下述結(jié)論是否成立？二、類比思維著名日本物理學(xué)家、諾貝爾獎獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式?！敝軐W(xué)家康德指出：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進(jìn)?！鳖惐仁歉鶕?jù)兩個（或多個）對象內(nèi)部屬性、關(guān)系的某些方面相似，而推出它們在其它方面也可能相似的推理。簡單地說，類比就是由此去發(fā)現(xiàn)彼（或由彼去發(fā)現(xiàn)此）。

類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學(xué)研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式，從而受到了很多著名科學(xué)家的重視與青睞。例如：

著名天文學(xué)、數(shù)學(xué)家開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師它能揭示自然的奧秘……?！敝麛?shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題?！痹谄矫娼馕鰩缀沃兄本€的截距式是：在平面解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是：在空間解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是：

在空間解析幾何中平面的截距式是：在平面解析幾何中圓的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2

在空間解析幾何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。②萊布尼茨公式將他們比較可以看出:把①中右端K次冪換成K階導(dǎo)數(shù)(零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身),把①中u+v換成uv,n次冪換成n階導(dǎo)數(shù)既為②.(拉格朗日17歲)牛頓二項式展開公式①費(fèi)馬猜想：

X2+Y2=Z2的解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是任一整數(shù)，n<m;X3+Y3=Z3是否有正整數(shù)解？X4+Y4=Z4是否有正整數(shù)解？Xn+Yn=Zn,n>2是否有正整數(shù)解？

ZZ=====XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3(X,Y,Z為正整數(shù))=====zxy+公元972年阿拉伯人阿爾科但第（Alkhodjidi)Zn=Ｘn+Yn(n>2)(Wiles1994)歐拉猜想：下述方程沒有整數(shù)解：沒有人能夠證明它是對的，但是在他提出這個猜想之后的200年內(nèi)大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個反例：后來人們又發(fā)現(xiàn)了一個更簡單的例子：特別應(yīng)該將牛頓——萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進(jìn)行類比。若將牛頓——萊布尼茨公式視為，它建立了一元函數(shù)f(x)在一個區(qū)間的定積分與其原函數(shù)F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；通過類比，就可將格林公式視為，它建立了二元函數(shù)在一個平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；實(shí)踐證明：在學(xué)習(xí)過程中，將新內(nèi)容與自己已經(jīng)熟悉的知識。進(jìn)行類比，不但易于接受、理解、掌握新知識，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費(fèi)馬猜想）

三、發(fā)散思維所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結(jié)果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要的創(chuàng)造性思維。用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問題。數(shù)學(xué)王子—高斯

高斯被譽(yù)為：“能從九霄云外的高度按某種觀點(diǎn)掌握星空和深奧數(shù)學(xué)的天才”和“數(shù)學(xué)王子”。特別是高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運(yùn)用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對‘代數(shù)基本定理’，先后給出了4種不同的證明；他對數(shù)論中的‘二次互反律’，先后給出了8種不同的證明（高斯稱‘二次互反律’是數(shù)論中的一塊寶石，數(shù)論的酵母，是黃金定理）。

歐拉勒讓德第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導(dǎo)致數(shù)論的新方向。其后19世紀(jì)多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。有人曾問高斯：“你為什么能對數(shù)學(xué)作出那樣多的發(fā)現(xiàn)？”高斯答道：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數(shù)學(xué)真理，他也會作出同樣的發(fā)現(xiàn)?！备咚惯€說：“絕對不能以為獲得一個證明以后，研究便告結(jié)束，或把另外的證明當(dāng)作多余的奢侈品?！薄坝袝r候一開始你沒有得到最簡和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯(lián)想中去。這正是吸引我去繼續(xù)研究的主動力，并且最能使我們有所發(fā)現(xiàn)?！备咚惯@些言行，很值得我們學(xué)習(xí)和深思。因此，我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)利用一題多解、一題多變來培養(yǎng)訓(xùn)練發(fā)散思維，下邊我們舉幾個例子：

一題多解：計算解法１：第一類換元積分法一題多解：計算解法２：第一類換元積分法一題多解：計算解法３：第一類換元積分法一題多解：計算解法４：令第一類換元積分法一題多解：計算解法５：令第二類換元積分法一題多解：計算解法６：令第二類換元積分法一題多解：計算解法７：分部積分法和第一類換元積分法一題多解：計算解法８：分部積分法和第一類換元積分法一題多解：計算解法９：歐拉代換法，令一題多解：計算解法10：歐拉代換法，令通過計算這一個題目，不但使用了多種計算不定積分的方法，把不定積分法學(xué)活了，更重要的是培養(yǎng)、訓(xùn)練了發(fā)散式思考問題的思維方法.又如：求極限可以用極限用三角公式變形；用洛必達(dá)法則；用無究小量的代換；

用泰勒公式；……等等。又如：證明不等式可以用函數(shù)單調(diào)性；用中值定理；

用泰勒公式；……等等。四、逆向思維

一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。后來有一位聰明的人勸她：‘老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊?！@么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。一則小故事:

逆向思維（又稱反向思維）是相對于習(xí)慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點(diǎn)是從已有的思路的反方向去思考問題。它對解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時，轉(zhuǎn)而探討不可能性。下面舉幾個高等數(shù)學(xué)中的例子:若直接解決困難，想法間接解決。例1：試求解法１：用間接的方法，即轉(zhuǎn)化為判斷級數(shù)級數(shù)收斂的必要條件是通項趨向于零，于是解法２:利用夾逼定理例3：將y=xarctanx展成x的冪級數(shù)。

若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，還得討論余項Rn(x)。

若用間接方法，就很簡便。探討可能性發(fā)生困難時，轉(zhuǎn)而探討不可能性。下面我們例舉數(shù)學(xué)史上兩個最有名的問題：關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)歐幾里得《幾何原本》第一卷中給出了五個公設(shè)，其中前四個簡單明了，（前三個是作圖的規(guī)定，第四個是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨(dú)第五公設(shè)不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實(shí)也不明顯。

而且只有第5公設(shè)涉及到無限,這是人們經(jīng)驗之外的東西.

此公設(shè)是“若一直線和兩條直線相交，所構(gòu)成的兩同旁內(nèi)角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長，它們一定在兩內(nèi)角的一側(cè)相交”。

這公設(shè)等價于：“在平面上，過直線外一點(diǎn)，只能作一條直線與這條直線平行”。

歐當(dāng)兩條直線相交于非常遙遠(yuǎn)的地方時，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認(rèn)，于是就有人提出來把它作為定理來證明。但是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯誤，就是用另一條等價的公理代替了第五公設(shè)。

達(dá)朗貝爾曾把第五公設(shè)的證明稱為“幾何原理中的家丑”。

直到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們著手研究它的反問題━━歐幾里得第五公設(shè)不可證。特別是德國的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國的羅巴切夫斯基他們各自總結(jié)了前人和自己試證第五公設(shè)的失敗教訓(xùn)。高斯(1799,1813)羅巴切夫斯基

(1826,1829)鮑耶（1832）羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設(shè)（平行公設(shè)）分為兩部分：不依賴于第五公設(shè)得到證明的命題（絕對幾何）。依賴于第五公設(shè)才能證明的命題。

“在一個平面上，過直線AB外一點(diǎn)至少可以作一條直線與AB不相交”。1.僅可作一條（第五公設(shè)）歐氏幾何；2.可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的命題，這就無異于證明了第五公設(shè)?？墒撬坏珱]有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導(dǎo)出了一連串奇妙的結(jié)果，構(gòu)成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。他們首先肯定了歐幾里得第五公設(shè)是不能用其它公理作出證明，然后用一個與它相反的命題來代替它。即“在平面上，過直線外一點(diǎn)至少可引兩條直線與已知直線平行?！绷_從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。高斯稱之為“反歐幾里得幾何”羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何”后他又稱之為“泛幾何”今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。

后來德國數(shù)學(xué)家黎曼用一個既與歐幾里德第五公設(shè)的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來代替它們，即“在平面上，過直線外一點(diǎn)不可能引一直線與已知直線平行”。黎從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現(xiàn)稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）?，F(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何”。

黎曼(1854)

20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特指出:

“19世紀(jì)最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”。非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)上的革命，它不僅使數(shù)學(xué)家大開眼界，引起一些重要數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，它的重要意義還在于使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究進(jìn)入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認(rèn)識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數(shù)學(xué)工具。因此許多人采用非歐幾何學(xué)作為宇宙的幾何模型。(太平洋)

歐幾里得：三角形內(nèi)角和=兩直角,2πr=c，a2+b2=c2

羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和<兩直角,

2πr<c，a2+b2<c2

黎曼：三角形內(nèi)角和>兩直角,2πr>c，a2+b2>c2

后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎(chǔ)之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。1871年克來因關(guān)于五次及五次以上代數(shù)方程根式求解問題在16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次