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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術”,則()A.48 B.63 C.99 D.1202.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.53.拋物線的焦點為,點是上一點,,則()A. B. C. D.4.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調遞增區(qū)間為()A. B.C. D.5.已知變量,滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.6.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.7.已知的展開式中的常數(shù)項為8,則實數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.38.的展開式中,含項的系數(shù)為()A. B. C. D.9.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù),關于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.復數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)為________.14.在棱長為6的正方體中,是的中點,點是面,所在平面內的動點,且滿足,則三棱錐的體積的最大值是__________.15.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.16.一次考試后,某班全班50個人數(shù)學成績的平均分為正數(shù),若把當成一個同學的分數(shù),與原來的50個分數(shù)一起,算出這51個分數(shù)的平均值為,則_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的各項均為正數(shù),為其前n項和,對于任意的滿足關系式.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的通項公式是,前n項和為,求證:對于任意的正數(shù)n,總有.18.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點,AC,BD交于點O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.19.(12分)已知函數(shù).(1)若在處導數(shù)相等,證明:;(2)若對于任意,直線與曲線都有唯一公共點,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標準方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.21.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中,曲線C的極坐標方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點A,B,求線段的長.22.(10分)如圖,已知平面與直線均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
觀察規(guī)律得根號內分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號內分母為分子的平方減1所以故選:C.【點睛】本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結各式規(guī)律是關鍵,屬于基礎題.2、C【解析】
由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉化是本題的關鍵,注意拋物線的性質的靈活運用,屬于中檔題.3、B【解析】
根據拋物線定義得,即可解得結果.【詳解】因為,所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎題.4、D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據圖象過點可求,根據正弦型函數(shù)的性質求出單調增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為故選:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質,利用“五點法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.5、B【解析】
先根據約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值.【詳解】解:由變量,滿足不等式組,畫出相應圖形如下:可知點,,在處有最小值,最小值為.故選:B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃,運用了數(shù)形結合的方法,屬于基礎題.6、A【解析】
首先畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點時直線在上截距最小,所以.故選:A.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.7、A【解析】
先求的展開式,再分類分析中用哪一項與相乘,將所有結果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項,從而求出的值.【詳解】展開式的通項為,當取2時,常數(shù)項為,當取時,常數(shù)項為由題知,則.故選:A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題,其中對所取的項要進行分類討論,屬于基礎題.8、B【解析】
在二項展開式的通項公式中,令的冪指數(shù)等于,求出的值,即可求得含項的系數(shù).【詳解】的展開式通項為,令,得,可得含項的系數(shù)為.故選:B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質,屬于基礎題.9、C【解析】
轉化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用,考查了學生數(shù)形結合,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.10、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運算法則等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬于基礎題.11、A【解析】=,當時時,單調遞減,時,單調遞增,且當,當,
當時,恒成立,時,單調遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.12、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應選.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用復數(shù)的乘法運算求出,再利用共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則.故答案為:【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題.14、【解析】
根據與相似,,過作于,利用體積公式求解OP最值,根據勾股定理得出,,利用函數(shù)單調性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中,是的中點,點是面所在平面內的動點,且滿足,又,∴與相似∴,即,過作于,設,,∴,化簡得:,,根據函數(shù)單調性判斷,時,取得最大值36,,在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點睛】本題考查三角形相似,幾何體體積以及函數(shù)單調性的綜合應用,難度一般.15、【解析】
本題首先可以根據將化簡為,然后根據基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為,所以,當且僅當,即、時取等號,故答案為:.【點睛】本題考查根據基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉化思想,是中檔題.16、1【解析】
根據均值的定義計算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點睛】本題考查均值的概念,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據公式得到,計算得到答案.(2),根據裂項求和法計算得到,得到證明.【詳解】(1)由已知得時,,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當時,,..(2)..【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和證明數(shù)列不等式,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE∥PC,即可證出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中點,,求出S△ABD,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:∵點O,E分別是AC,PA的中點,∴OE是△PAC的中位線,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱錐E﹣PBD的體積.【點睛】本題考查空間線、面位置關系,證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積,注意等體積法的應用,考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于基礎題.19、(I)見解析(II)【解析】
(1)由題x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導數(shù)相等,得到,得,由韋達定理得,由基本不等式得,得,由題意得,令,則,令,,利用導數(shù)性質能證明.(2)由得,令,利用反證法可證明證明恒成立.由對任意,只有一個解,得為上的遞增函數(shù),得,令,由此可求的取值范圍..【詳解】(I)令,得,由韋達定理得即,得令,則,令,則,得(II)由得令,則,,下面先證明恒成立.若存在,使得,,,且當自變量充分大時,,所以存在,,使得,,取,則與至少有兩個交點,矛盾.由對任意,只有一個解,得為上的遞增函數(shù),得,令,則,得【點睛】本題考查函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算及其應用,同時考查邏輯思維能力和綜合應用能力屬難題.20、(1)(2).【解析】
(1)利用離心率和橢圓經過的點建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉化為縱坐標之間的關系,聯(lián)立方程結合韋達定理可求.【詳解】解:(1)設焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進行求解,面積問題的合理轉化是求解的關鍵,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).21、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用轉換關系,把參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間進行轉換;
(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長.【詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【點睛】本題考查直線的普通坐標方程、曲線的直角坐標方程的求法,考查弦長的求法、運算求解能力,是中檔題.22、(1)見解析;(2)【解析】
(Ⅰ)證
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