學科方法 參數法

學科方法?參數法參數觀點是運動、變化思想在數學中的重要體現.參數是解析幾何中最活躍的元素，也是解題的一種主要方法.解析幾何中的許多解題技巧都來源于參數觀點.參數法解題的基本步驟參數法解題的步驟是：設參，即選擇適當的參數(參數的個數可取一個或多個)；用參，即建立參數方程或含參數的方程；消參，即通過運算消去參數，使問題得到解決.例1已知拋物線y2=2px(p>0)，在x軸的正半軸上求一點M，使過M的弦牛，滿足0Pi±0P2.【解】如圖2—5，設M(m，0)(m>0)、P(x，y)、P(x，y).1 1 1 2 2 2OP1±OP2，a?典=1即y1y2="x1x2.(y1y2)2=4p2x1x2.從而(-x1x2)2=4p2x1x2.x1#0，x2#0，xx=4p21①設直線P1P2的方程為y=k（x-m），把它代入y2=2px中，整理，得k2X2-2（k2m+p）x+k2m2=0.由韋達定理，得x1x2=m2 ②把②代入①中，得m2=（2p）2.■/m>0，p>0，「.m=2p.于是所求的點M的坐標為（2p，0）.【解說】 本例選點P、P的坐標為參數，利用已知條件建立x，x，y，y，m，p的關系式，消去1 2 12 12參數，求得m的值.例2己知橢圓《+如L直綁*+吝=1，P是1上一點，射線2416 128OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|2.當點P在l上移動時，求動點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.（1995年全國高考理科壓軸題）【解】如圖2—6，設動點Q（x，y）（x，y不同時為零）.又設|OR|=A|OQ|，|OP|=u|OQ|，（入，u>0），由于Q、R、P三點共線，所以點R（入x，入y）、點P（ux，uy）.|oq|?|op|=|or|2，u|OQ|2=A21OQ|2.又|OQ|#0，■■-u=L七從而;" ①■■-R在橢圓W+W=l上，24 16

同理，由p在1上，可得于是由①、②、③，可得動點Q同理，由p在1上，可得于是由①、②、③，可得動點Q的軌跡方程為即氣虻+氣如其中，霧y不同時為零）.故動點Q的軌跡是以點（偵）為中心、長、短半軸分別為半、淳且長軸平行于X軸的橢圓，去掉坐標原點.解說1本例1用參數料胸.它以黑=篇和黑="為參數,利用已知條件|OQ|?|op|=|or|2巧妙地消去參數，這里參數是一個過渡，起橋梁作用.這種解法比高考命題者提供的答案簡明.（二）解題技巧的一個源泉參數觀點是產生解題技巧的一個源泉，解析幾何的許多解題技巧都起源于參數.其中“設而不求”和“代點法”就是最突出的兩個..設而不求例3如圖2—7，過圓外一點P（a，b）作圓X2+y2=R2的兩條切線，切點為A、B，求直線AB的方程.=R2.=R2.圈2-7【解】設A、B的坐標分別為（x1y）、（％,七），則切線AP、Bp的方程分別為xix+【解】設A、B的坐標分別為（x1這兩條切線都過點P（a,b）,「.aX]+byjR2,ax2+by2=R2.由以上二式可以看出，點A、B在直線ax+by=R2上，又過A、B只有一條直線，直線AB的方程為ax+by=R2.【解說】本例中把A、B的坐標作為參數.雖然設了A、B的坐標，但并沒有去求它的值，而是利用曲線與方程的概念，巧妙地“消去”參數，這就是所謂的“設而不求”..代點法例4求拋物線y2=12x的以M（1，2）為中點的弦所在直線的方程.【解法1】設弦的兩個端點為A（xi，yi）.B（x2，七），則由中點坐標公式，得yi+y2=4 ①y=1西，=i裝，■,-y-核=12（&r）,即（y+iy2）（yi-y2）=i2（Tx2）. ②把①代入②中，可得心&=3,即直線AB的斜率k=3.故直線AB的方程為y-2=3(x-1).即 3x-y-1=0.【解法2】弦的中點為M(1,2),可設弦的兩個端點為A(x,y)、B(2-x,4-y).,/A、B在拋物線上，「.y2=12x,(4-y)2=12(2-x).以上兩式相減，得y2-(4-y)2=12(x-2+x),即3x-y-1=0,這就是直線AB的方程.【解說】 以上兩種解法都叫做代點法.它是先設曲線上有關點的坐標，然后代入曲線方程，最后經適當變換而得到所求的結果.習題2.2用參數法解證下列各題：已知橢圓9x2+16y2=144內有一點P(2,1),以P為中點作弦MN,則直線MN的方程為.[ ]9x-8y+26=09x+8y-26=08x-9y+26=08x+9y-26=0點D(5,0)是圓x2+y2-8x-2y+7=0內一點，過D作兩條互相垂直的射線，交圓于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡方程.己知直線y=：源+：與圓妒+礦+艘-+m=Q相交于P、Q兩點,且QPXQQ，求m的值.已知射線OA、OB分別在第一、四象限，且都與Ox軸成60°的角，0D分別是QA、C?上的動點，且|8|=4捐，求CD的中點M的軌跡.已知兩點P(-2,2)、Q(0,2)以及一條直線l：y=x.設長為扼的線段AB在直線1上移動(如圖2-8). 的交點M的軌跡方程.(要求把結果寫成普通方程)(1985年全國高考理科試題)已知橢圓的中心在原點，對稱軸合于坐標軸，直線y=-x+1與橢圓交于效E兩點，fi|AB|=272,M是AB的中點，直線OM的斜率為f,求這橢圓的方程.習題2.2答案或提示1.仿例4,選(B).2.設M(x,y),A(x+x0,y+y0),B(x-x0,y-y0)，把A、B的坐標代入圓的方程中，所得兩式相加，得云+蠕=-忘+站-8x-2y+7)又|DM|=：|AB|,即(笠-5尸+礦=坤+y如所以可得x2+y2-9x-y+16=0..仿例1,可得m=3.設C(&,、屁J,D(x2, y),則xx+x2=2x?-j3(x1-彩)=2幻再由仙1-知滬+31-了疣=4必,可得斗+奈=L動點M的軌跡是橢圓了+奈=1在匕A%內的一段弧.設A(t,t),B(t+1,t+1)，又設直線PA、PB的斜率分別… nilt-2t-1 || 2(l+ki)1+k2此|遍「虹、則蛆=——rk2=——.從而t= =：^^,所以l+3k]-3虹-kTk2=0.設M(x,y).則虹=，：,k2=^—于是M的軌跡方程為X2-y2+2x-2y+8=0.設橢圓的方程為ax2+by2=1(a>0,b>0),A、B、C的坐標分別為(％,Yi)、(明，y,(e乳)，則跣‘乳.把y=l-玳入橢圓方程中，可得工1+艘；!=-^，^1^2=~7T-再由|虹|f可得a2+3ab+b2-(a+b)=0,由典=烏,可得b=72a.于是2學科方法?待定系數法

（一）求直線和曲線的方程例1過直線x-2y-3=0與直線2x-3y-2=0的交點，使它與兩坐標軸相交所成的三角形的面積為5,求此直線的方程.【解】設所求的直線方程為（x-2y-3）+入（2x-3y-2）=0，整理，得3+2X-3+2X=1'1+2X~2+3X依題意，列方程得|=10.(3+2X)(3+2X)(1+2X)(2+3X)|=10.于是所求的直線方程為 8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.【解說】（1）本解法用到過兩直線交點的直線系方程，入是待定系數.（2）待定系數法是求直線、圓和圓錐曲線方程的一種基本方法.例2如圖2—9，直線11和12相交于點M，li±l2，點NEli，以A、B為端點的曲線C上的任一點到12的距離與到點N的距離相等.若△A1心I為銳角三角形」皿|=7n?|AN|=￡且|EN]=&試建立適當的坐標系，求曲線C的方程.（1998年全國高考理科試題）【解】如圖2—9，以11為x軸，MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.由已知，得曲線C是以點N為焦點、12為準線的拋物線的一段，其中點A、B為曲線C的端點.設曲線3勺方程為y2=2px,pXRWxW%,y>0)?其中，x「七分別是A、B的橫坐標，p=|MN|.從而M、N的坐標分別為0)、專，0).由|心|=717■和|釧=渤/\燦皿是銳角三角形，得舊1+%尸+迎&=t務+K1=9;、3解之，得p=4,xjL又由拋物線的定義，得x2=|BN]-|=6-2=4.故曲線C的方程為y2=8x(1WxW4,y>0)?探討二元二次方程(或高次方程)表示的直線的性質例3已知方程ax2+bxy+cy2=0表示兩條不重合的直線L「L。.求：⑴直線?與L。交角的兩條角平分線方程；(2)直線?與L2的夾角的大小.【解】設L「匕的方程分別為於+ny=°、qx+py=0，則ax2+bxy+cy2=(mx+ny)(qx+py).從而由待定系數法，得a=mq,b=mp+nq，c=np.(1)由點到直線的距離公式，得所求的角平分線方程為|qx+py| \mx+ny|+p2 Jn?+n‘，即(m2+n2)(qx+py)2=(q2+p2)(mx+ny)2，化簡、整理，得(nq-mp)[(nq+mp)x2+2(np-mq)xy-(nq+mp)y2]=0.L1、L2是兩條不重合的直線「.b2-4ac=(mp+nq)2-4mnpq=(mp—nq)2>0.即mp-nq尹0.從而(nq+mp)x2+2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0.把mq=a,mp+nq=b,np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2=0.即為所求的兩條角平分線方程.(2)顯然當mq+np=0，即a+c=0時，直線11與L2垂直，即夾角為90°.當mq+np尹0即a+c尹0時，設L1與L2的夾角為a,貝【解說】一般地說，研究二元二次(或高次)方程表示的直線的性質，用待定系數法較為簡便.探討二次曲線的性質證明曲線系過定點例4求證：不論參數t取什么實數值，曲線系(4t2+t+1)x2+(t+1)y2+4t(t+1)y-(109t2+21t+31)=0都過兩個定點，并求這兩個定點的坐標.【證明】把原方程整理成參數t的方程，得(4x2+4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2+y2-31=0．t是任意實數上式都成立，4x2-4y-109=0,4妒+擴+4y-21=0,x2+y2-31=0.…迎解之,得52y=-2-故這曲線系都過定點(切-§和(-町y.【解說】由本例可總結出，證明含有一個參數t的曲線系F(x,y,t)=0過定點的步驟是:⑴把F(x，y，t)=0整理成t的方程；因t是任意實數，所以t的各項系數(包括常數項)都等于零，得x、y的方程組；解這個方程組，即得定點坐標.求圓系的公切線或公切圓例5求圓系X2+y2-2(2m+1)x-2my+4m2+4m+1=0(m尹0)的公切線方程.【解】將圓系方程整理為［x-(2m+1)］2+(y-m)2=m2(m尹0)顯然，平行于y軸的直線都不是圓系的公切線.設它的公切線方程為y=kx+b，則由圓心(2m+1，m)到切線的距離等于半徑|m|，得|m-k(2m+1)-b|從而［(1-2k)m-(k+b)】2=m2(1+k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0.m取零以外的任意實數上式都成立，3k2-4k=0,/.4(l-2k)(k+b)=Sk+b=O.解之,得｛二；或〈二故所求的公切線方程為y=0或y=?x-?.【解說】 由本例可總結出求圓系F(x,y,m)=0的公切線方程的步驟是：把圓系方程化為標準方程，求出圓心和半徑；當公切線的斜率存在時，設其方程為y=kx+b,利用圓心到切線的距離等于半徑，求出k、b、m的關系式f(k,b,m)=0；(3)把f(k,b,m)=0整理成參數m的方程G(m)=0.由于mUR,從而可得m的各項系數(包括常數項)都等于零，得k、b的方程組；解這個方程組，求出k、b的值；用同樣的方法，可求出x=a型的公切線方程.3.化簡二元二次方程例6求曲線9x2+4y2+18x-16y-11=0的焦點和準線.【分析】把平移公式x=x'+h,y=y'+k,代入原方程化簡.習題2.3用待定系數法解證下列各題：1.求經過三點(2,3)、(5,3)、(3,-1)的圓的方程.求雙曲線x2-2y2-6x+4y+3=0的焦點坐標.若方程ax3+bx2y+cxy2+dy3=0表示三條直線，且其中兩條互相垂直，求證：a2+ac+bd+d2=0.

求圓系2x2+2y2-4tx-8ty+9t2=0(t尹0)的公切線方程.試證圓系x2+y2-4Rxcosa-4Rsina+3R2=0(R是正的常數，a為參數)與定圓相切，并求公切圓的方程.若在拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上有一個定點Q,過Q的任一直線交拋物線于兩點效B,使*+點是定值，求點Q的坐標.習題2.3答案或提示1.設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,把三個已知點的坐標代入，可求得D=-8,E=-2,F=12.設過原點互相垂直的兩條直線方程為lx2+mxy-ly2=0，另一條直線方程為px+qy=0，則ax3+bx2y+cxy2+dy3=(lx2+mxy-ly2)(px+qy),從而a=lp，b=lq+mp，c=mq-lp，d=-lp.于是可得a2+ac+bd+d2=0.y=x或y=7x.圓系方程為(x-2Rcosa)2+(y-2Rsina)2=R2,設公切圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則由兩圓相切的充要條件是圓心距等于兩圓半徑和或差的絕對值，可得(a-2Rcosa)2+(b-2Rsina)2=(R土r)2，整理，可得a2+b2-2R+史+矽)=子-3E?士2如,由口是一切實數，得+史=0,即a=b=0.從而r2-3R2±2Rr=0,解得rjR，，2=3R.設Q（x。，0）,直線AB的參數方程為x=x°+tcosa，y=tsina.代入無=亦中，由韋達定理，得以+弓1 |1十1_(0+以尸一綿以-可?4 '2pcosCl- 2px01=sm'Q'虹勺Ln，a*|QA|21 （x0-p）sin2ClT+ 2——，由于口是（A兀）內%P^o任一值，所以x0=p.學科方法?判別式法(一)確定直線與二次曲線和二次曲線與二次曲線的位置關系例1如圖2-20,直線1的方程為x=與其中橢圓的中心為D（2+%，焦點在渤上，長半軸長為2,短半軸長為1,它的一個頂點為A專，0）.問p在哪個范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線l的距離？（1988年全國高考理科試題）點、l為準線的拋物線方程為y左2px.橢圓上有四個點符合題意的充要條件為方程組（IX 4 +妒=Ly2=2pxy2=2px有四個不同的實數解..??方程組（I）』Z2+"+阪=4y2=2px顯然，這個方程組有四個不同的實數解的充要條件為方程①有兩個不相等的正根.設方程①的兩個根為X1、x2,則x1>0、x2>0的充要條件為A=(7p-4)2-4(^+2p)>0!+x2=-(7p-4)>0,=%+2p〉0.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"p<|^p>l ②即yV： ③\o"CurrentDocument"p<-8^p>0 ?又由已知，得p>0 ⑤于是由②、③、?⑤可得所求的P的取值范圍為0<p<|.【解說】本例的實質是求橢圓與拋物線有四個不同的交點的條件，它歸結為一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等的正根的條件，即A=b2-4ac>0且去+笠/史〉0,x1x2=—>0.(二)求極值例2過點P(3，2)作直線l分別交x軸、y軸正方向于A、B兩點，求AAOB面積S的最小值.【解】如圖2-21，設直線l的方程為y-2=k(x-3)(k<0)，則它在x軸、y軸上的截距分別為OA= 2,OB=2-3k.圖2-21S=12.minS=12.min■,-S=j|OA|*|0B|_9k2-12k+42k'從而9k2+2(S-6)k+4=0.?「△=[2(S-6)]2-4X4X9N0,S(S-12)N0.?「S>0,「.SN12.當S=12時，k例3在橢圓9x2+4y2=36上分別求一點，使x+y有最大值和最小值.【解】設x+y=u,則y=u-x.把它代入橢圓方程中，整理，得13x2-8ux+4(U2-9)=0.,/x是實數，△N0即(-8u)2-4X13X4(u2-9)N0.解之，得-7T3<u<7i3.y=-底（-普）=弘筋故使"挪最大值點點為（零，筆I）,取最小值一廣的點*壽誓?（三）求參數的取值范圍例4已知拋物線y=ax2-1上恒有關于直線l：y=-x對稱的兩點，求a的取值范圍.【解法1】如圖2-22，設點P（x0，y0）關于直線l對稱的點為Q（-y0，-x0），則由P、Q都在拋物線y=ax2-1上，得y0=宓3T，-^0=或-無尸T?以上兩式相減，得x+y=a（x+y）（x-y）.00 00 00,/點P不在直線x+y=0上，「.x+y尹0.從而a（x-y）=1，即y=x-00 00 00把它代入y0=axg-1中，得axg-x0+—-1=0P、Q兩點恒存在，.「x0是實數，即方程（*）恒有兩個不等實根.于是A=(-l)2-4a(|-l)>0解之，得學科方法?綜合幾何法(一)利用平面幾何知識解題例1已知?。的方程為X2+y2=r2，點A(-r,0)、B(r,0),M是?。上任一點，過A作M處的切線的垂線AQ交BM的延長線于P,求動點P的軌跡方程.【解】如圖2-12，連MO,則OMXMQ，從而OM〃AP.?「 |BO|=|OA||AP|=2|MO|=2r.于是動點P的軌跡是以點A為圓心，|AP|=2r為半徑的圓.設P(x，y)，則P的軌跡方程為(x+r)2+y2=(2r)2.【解說】本例利用圓的切線的性質和三角形中位線定理，其解法十分明快、簡捷.

，求斜例2已知圓O'：(x-14)2+(y-12)2=362內一點C(4,2)和圓周上兩動點A、B，使ZACB=90°邊AB的中點M的軌跡方程.，求斜【解】 如圖2—13，連結MO'、MC、BO',則O'M±MB,|MC|=|AM|=|MB|.設M(x,y),則在Rt△BMO'中，|O'M|2+|BM|2=|O'B|2，又|BM|=|CM|,|O'M|2+|CM|2=|O'B|2，即(x-14)2+(y-12)2+(x-4)2+(y-2)2=362，「?動點M的軌跡方程為x2+y2-18x-14y-468=0.【解說】 本例利用圓的垂徑定理和直角三角形的性質，使一個運算量較大的習題，得到極其簡便的解法，充分顯示了平面幾何知識在解析幾何中的應用.(二)利用圓錐曲線的定義和幾何性質解題例3已知一動圓P與圓O1：(x+1)2+y2=1外切，與圓O2：(x-1)2+y2=9內切，求動圓圓心P的軌跡方程.【解】如圖2—14.設動圓圓心P的坐標為(x，y)，它的半徑為r.由已知，得兩定圓的圓心分別為O1(-1，0)、O2(1，0)，半徑分別為r1=1，&=3.,/動圓P與?O1外切，與?O2內切，...|POj=1+r，|PO2|=3-r，|po」+|po2|=4.即動點P到兩點O「O2的距離之和等于4.從而由橢圓的定義，得動點P的軌跡是以兩定點?！?。2為焦點，長軸長為4的橢圓.由于?O1與。02內切于點M(-2,0)，所以軌跡中不包括點M.故動點P的軌跡方程為

【解說】本解法的特點是利用橢圓的定義和兩圓相切的條件.例4如圖2-15,F是圓錐曲線的焦點，P1P2是焦點弦，e、p分別是離心率和焦參數（即焦點到準線的距離|FF」），求證舊F||P2F|epFiFi02匡］2-151|12舊F||P2F|epFiFi02匡］2-15【證明】 如圖2-15，過P「P2分別作準線L的垂線，垂足分別為Q「Q2.由圓錐曲線的定義，得RQ]|=：|P]F|，旦F|?有=費，二由定比分點公式，得IfiQJ+XIP.QI1|RF|從而ep=從而ep=狷F|*|P2F|I烏F|+RF|故點+點=9【解說】本解法的特點是靈活利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義和線段定比分點公式.習題2.5用綜合幾何法解證下列各題：已知雙曲線+ = b>0),Fr耳分別為它的左、右焦點，AB為左支上過F1的弦，且|AB|m,則^ABF2的周長是.2.已知AABC的兩個頂點A(-a,0)、B(a,0)(a>0)，頂點C在運動，且|AC|=2b(b是定值)，求BC中點P的軌跡方程.已知UABCD的相對兩個頂點A(-4,6)、C(8,2)，過原點。作一直線l把平行四邊形的面積分成相等的兩部分，求直線l的方程.己知雙曲線&§-尋=1的左、右焦點是可耳，拋物線(的焦點也是F2,C1的準線與C2的準線重合，P是^與C2的一個交點，求證：|FF】|阻理|IPFJ-已知橢圓的兩個焦點是F1、F2,R*F2Q的直角頂點為P，P、Q在橢圓上，F1在線段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求這橢圓的離心率.從過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F的弦AB的端點向準線l引垂線，垂足分別為B1；求證：⑴&1F1FE】；⑵土+土是定值.|皿||EB|習題2.5答案或提示1.周長=(|AFj-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m.|OP|=-^-|AC|=b,動點P的軌跡方程為x2+y2=b2.3.設AC與BD交于G,則平面幾何知識可得，所求的直線l過點G.l的方程為y=2x.4?設C2：y2=2px、q的離心率為e，點P到q的左準線的距離為d，則由拋物線、雙曲線的定義，得|PFj=d,|PFJ=迥四-昭|=2a.從而制=號=贏旬，所以邛*阻四阻昭||PF2|IPFJ-SRtAF2PQ中，設|P5|=t,則|PQ|=t,|F2Q|=^/2t,設|PFJ=包則由IPF.I-FjPF^IQF^IQFil，可得t+s= + 所以s=gt.從而6.(1)因為|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1〃y軸〃BB1，所以匕AFA1=ZA^O,ZOFBX^ZB^B,于是ZA^BiX1SO0=90’.(2)由例4可得高喘￡學科方法?坐標法坐標法是解析幾何最基本的方法，它的思路是，通過建立平面坐標系（直角坐標系或極坐標系等），把幾何問題轉化為代數問題（或代數問題轉化為幾何問題），從而利用代數知識（或解析幾何知識）使問題得以解決.（一）坐標法解證幾何題例1在^ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S為三角形面積，求證：a2+b2+c2>473S.圈2-1【證明】 如圖2—1,以邊AB的中點O為坐標系原點、AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系，設A、B、C的坐標分別為(-m,0)、(m,0)、(p,q)(m>0,q>0)，則a2=|BC|2=(m-p)2+q2=m2+p2+q2-2mp,b2=|AC|2=(p+m)2+q2=p2+m2+q2-2mp,C2=4m2,S=mq.a2+b2+c2-4^/3S=2(p2+q2+3m2-2=2[p2+(q-73m)2]>0)故a2+b2+c2>47^-例2已知：AB是半圓的直徑，且AB=2r,直線L與BA的延長線垂直相交于點T,AT=2a(a<,若半圓上有不同兩點M、N,它們與L的距離分別為MP、NQ,且MP=MA,NQ=NA.求證：AM+AN=AB.【分析】由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A為焦點的拋物線上，因此M、N是半圓與拋物線的兩個交點，從而本題可考慮用直角坐標法和極坐標法求解.【證法1】如圖2—2,以AT的中點O為坐標原點，射線OB為x軸的正方向，建立直角坐標系.|MA|=|MP|,|NA|=|NQ|,M、N是以A為焦點，L為準線的拋物線上的點.■/p=|AT|=2a,?拋物線的方程y2=4ax圖2-2由已知，得半圓的方程為[x-(a+r)]2+y2=r2(yA0) ②把①代入②中，整理，得X2-2(r-a)x+a2+2ar=0.設M、N兩點的橫坐標分別為x1、X2,貝x1+x2=2r-2a.■/ |AM|+|NA|=a+x1+a+x2=2a+2r-2a=2r,|AM|+|AN|=|AB|.【證法2】如圖2—2，以A為極點，射線AB為極軸，建立極坐標系，則半圓的方程為|MA|=|MP|，|NA|=|NQ|，M、N在以A為極點、L為準線的拋物線上.又p=|AT|=2a，拋物線的方程為P ②1-cosf從①、②中消去cose，得p2-2rp+4ar=0.

從而由韋達定理，得|MA|+|NA|=p1+p2=2r.故|AM|+|AN|=|AB|.【解說】由以上兩例，可總結出坐標法解證幾何題的思路模式圖為:(二)坐標法解證代數題例3己知實數霧y.z?R^x+y+z=a,x2+y2+z2=-^a2(a>0求證：0<Z<y.【證明】由已知條件，得在平面直角坐標系xOy中，直線x+y+(Z-a)=。與圓/+擴=:普-『(把E當作常數)有公共點，從而圓心到直線的距離不大于半徑，即「. (z-a)2<a2-2z2，又a>0，解之，得OCzCya.公式，【解說】本例利用方程的幾何意義，把已知條件轉化為直線與圓的位置，從而由點到直線的距離使問題獲解.公式，例4己知口、&是方程色8點+bsin?=c（|c|C7a2+b2）在（。，兀）內的兩個不同的根，求ffi：cos2——-——=』*史.【證明】如圖2-3，建立直角坐標系，設圓O的半徑為1.■/a、月是方程acosQ+bsin0=c在（0,n）內的兩個根，「.acosa+bsina=c,acos。+bsin。=c,從而點A（cosa,sina）,B（cos。，s