2021-2022年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關系3.2平面與平面垂直的判定3作業(yè)含解析新人教版必修220220226142

PAGEPAGE7平面與平面垂直的判定（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.在正方體ABCD-A′B′C′D′的6個面中,與平面ABCD垂直的平面的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.(2013·成都高一檢測)自二面角內任意一點分別向兩個面引垂線,則兩垂線的夾角與二面角的平面角的關系是()A.相等B.互補C.相等或互補D.無法確定3.已知a?α,b?β,c?β,a⊥b,a⊥c,則()A.α⊥βB.α與β相交C.α∥βD.以上都有可能4.正方體A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A.B.C.D.5.(2013·慈溪高一檢測)已知α,β是平面,m,n是直線,給出下列表述：①若m⊥α,m?β,則α⊥β;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α且n∥β.其中表述正確的個數(shù)是()A.1B.2C二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·福州高一檢測)已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有四個命題：①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是.(把所有正確命題的序號都填上)7.如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點,F為線段EC(端點除外)上一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB,K為垂足.設AK=t,則t的取值范圍是.8.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,則BF=.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖所示,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉得到,且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB上任意一點.求證：平面COD⊥平面AOB.10.(2013·遼寧高考)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上的點.(1)求證：平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.11.(能力挑戰(zhàn)題)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,E是側棱PC上的動點.(1)求四棱錐P-ABCD的體積.(2)是否不論點E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結論.(3)若點E為PC的中點,作出二面角D-AE-B的平面角.答案解析1.【解析】選D.由正方體的性質知側棱與底面垂直,知過側棱的平面都垂直于底面ABCD,因此正方體ABCD-A′B′C′D′的6個面中,與平面ABCD垂直的平面的個數(shù)為4.2.【解析】選B.如圖,A為二面角內任意一點,BD,CD為AB,AC所在平面與α,β的交線,則∠BDC為二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.【舉一反三】若本題把自二面角“內”改為“外”,結果怎樣?【解析】相等.當點在二面角外時,依據(jù)等角定理,所成的角和二面角的平面角相等.3.【解析】選D.b,c不一定相交,故α與β所有關系都有可能.4.【解析】選C.設正方體的棱長為1,AC,BD交于O,連接A1O,因為BD⊥AC,BD⊥AA1,所以BD⊥平面AA1O,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA為二面角的平面角.tan∠A1OA=,所以選C.5.【解析】選B.①是平面與平面垂直的判定定理,所以①正確;②中,m,n不一定是相交直線,不符合兩個平面平行的判定定理,所以②不正確;③中,還可能n∥α,所以③不正確;④中,由于n∥m,n?α,mα,則n∥α,同理n∥β,所以④正確.6.【解析】①因為l⊥α,α∥β,mβ,所以l⊥β?l⊥m.所以①正確.②設α∩β=d,mβ,且m∥d時,l⊥m.故命題②錯.③因為l∥m,l⊥α,所以m⊥α.又mβ,所以α⊥β.故③正確.④由②知不正確.答案：①③7.【解析】如圖,過D作DG⊥AF,垂足為G,連接GK,因為平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,所以DK⊥平面ABC,因為AF平面ABC,所以DK⊥AF.所以AF⊥平面DKG,所以AF⊥GK.容易得到,當F接近E點時,K接近AB的中點,當F接近C點時,K接近AB的四等分點.所以t的取值范圍是(,1).答案：(,1)8.【解析】因為AB⊥平面BC1,C1F平面BC1,CF平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,所以∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.答案：19.【證明】由題意,CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因為二面角B-AO-C是直二面角.所以CO⊥BO.又因為AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.又CO平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.【方法錦囊】利用平面與平面垂直的判定定理的關鍵點(1)相互轉化思想：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直,進一步轉化為處理線線垂直問題.(2)證明平面與平面垂直,只要在一個平面內找到兩條相交直線和另一個平面內的直線垂直即可.10.【解析】(1)由AB是圓的直徑,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因為BC平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)過C作CM⊥AB于M,因為PA⊥平面ABC,CM平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.所以CM⊥PB.過M作MN⊥PB于N,連接NC,所以PB⊥平面CMN,所以CN⊥PB.所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.因為Rt△BNM∽Rt△BAP,所以,故MN=.又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值為.11.【解題指南】(1)利用三視圖與直觀圖之間的轉化確定相應線段長度.(2)作輔助線,利用線面垂直證明線線垂直.(3)作輔助線,找到并證明二面角的平面角.【解析】(1)由三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.所以VP-ABCD=S正方形ABCD·PC=×12×2=,即四棱錐P-ABCD的體積為.(2)不論點E在何位置,都有BD⊥AE.證明如下：連接AC,因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因為PC⊥底面ABCD,且BD平面ABCD,所以BD⊥PC.又因為AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC.因為不論點E在何位置,都有AE平面PAC.所以不論點E在何位置,都有BD⊥AE.(3)在平面DAE內過點D作DF⊥AE于F,連接BF.因為AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,所以Rt△ADE≌Rt△A