安培環(huán)路定理

安培環(huán)路定理開放分類：物理、磁場11-3安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理在穩(wěn)恒磁場中，磁感強(qiáng)度B沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個電流之代數(shù)和的倍。這個結(jié)論稱為安培環(huán)路定理。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式是按照安培環(huán)路定理，環(huán)路所包圍電流之正負(fù)應(yīng)服從右手螺旋法則。如果閉合路徑l包圍著兩個流向相反的電流I1和I2（如左圖所示），這在下式中，按圖中選定的閉合路徑l的繞行方向，B矢量沿此閉合路徑的環(huán)流為如果閉合路徑l包圍的電流等值反向（如右圖所示），或者環(huán)路中并沒有包圍電流，則：安培環(huán)路定理的證明（不完全證明）以長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場為例，證明安培環(huán)路定理的正確性。在長直載流導(dǎo)線的周圍作三個不同位置，且不同形狀的環(huán)路，可以證明對磁場中這三個環(huán)路，安培環(huán)路定理均成立。1、 取對稱環(huán)路包圍電流在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，以載流導(dǎo)線為圓心作一條半徑為r的圓形環(huán)路1，則在這圓周上任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B的大小為其方向與圓周相切.取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r針方向，取線元矢量dl，則B與dl間的夾角，B沿這一環(huán)路l的環(huán)流為式中積分是環(huán)路的周長。于是上式可寫成為從上式看到，B沿此圓形環(huán)路的環(huán)流只與閉合環(huán)路所包圍的電流I有關(guān)，而與環(huán)路的大小、形狀無關(guān)。2、 取任意環(huán)路包圍電流在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，環(huán)繞載流直導(dǎo)線作一條如下圖所示的任意環(huán)路l，取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r針方向。在環(huán)路上任取一段線元dl，載流直導(dǎo)線在線元dl處的磁感強(qiáng)度B大小為B與dl的夾角為，則B對dl的線積分為直導(dǎo)線中心向線元的張角為，則有，所以有可見，B對dl的線積分與到直導(dǎo)線的距離無關(guān)。那么B對整個環(huán)路的環(huán)流值為上述計(jì)算再次說明B的環(huán)流值與環(huán)路的大小、形狀無關(guān)。3、取任意環(huán)路不包圍電流在垂直于長直載流導(dǎo)線的平面內(nèi)，在載流直導(dǎo)線的外側(cè)作一條如下圖所示的任意環(huán)路l，取環(huán)路的繞行方向?yàn)槟鏁r針方向。以載流直導(dǎo)線為圓心向環(huán)路作兩條夾角為的射線，在環(huán)路上截取兩個線元和。和距直導(dǎo)線圓心的距離分別為和，直導(dǎo)線在兩個線元處的磁感強(qiáng)度分別為和。從上圖可以看出，而。利用安培環(huán)路定理的證明之二的結(jié)論可知所以有從載流直導(dǎo)線中心O出發(fā)，可以作許多條射線，將環(huán)路分割成許多成對的線元，磁感強(qiáng)度對每對線元的標(biāo)量積之和，都有上式的結(jié)果，故即環(huán)路不包圍電流時，B的環(huán)流值為零。安培環(huán)路定理反映了磁場的基本規(guī)律。和靜電場的環(huán)路定理相比較，穩(wěn)恒磁場中B的環(huán)流，說明穩(wěn)恒磁場的性質(zhì)和靜電場不同，靜電場是保守場，穩(wěn)恒磁場是非保守場。安培環(huán)路定理的應(yīng)用利用安培環(huán)路定理求磁場的前提條件：如果在某個載流導(dǎo)體的穩(wěn)恒磁場中，可以找到一條閉合環(huán)路1，該環(huán)路上的磁感強(qiáng)度B大小處處相等，B的方向和環(huán)路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環(huán)路定理求磁感強(qiáng)度B的問題，就轉(zhuǎn)化為求環(huán)路長度，以及求環(huán)路所包圍的電流代數(shù)和的問題，即利用安培環(huán)路定理求磁場的適用范圍：在磁場中能否找到上述的環(huán)路，取決于該磁場分布的對稱性，而磁場分布的對稱性又來源于電流分布的對稱性。因此，只有下述幾種電流的磁場，才能夠利用安培環(huán)路定理求解。電流的分布具有無限長軸對稱性電流的分布具有無限大面對稱性各種圓環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)利用安培環(huán)路定理求磁場的基本步驟首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析；根據(jù)磁場的對稱性和特征，選擇適當(dāng)形狀的環(huán)路；利用公式（1）求磁感強(qiáng)度。長直載流螺線管內(nèi)的磁場用磁場疊加原理作對稱性分析:可將長直密繞載流螺線管看作由無窮多個共軸的載流圓環(huán)構(gòu)成，其周圍磁場是各匝圓電流所激發(fā)磁場的疊加結(jié)果。在長直載流螺線管的中部任選一點(diǎn)P，在P點(diǎn)兩側(cè)對稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場分布可知，二者磁場疊加的結(jié)果，磁感強(qiáng)度B的方向與螺線管的軸線方向平行。由于長直螺線管可以看成無限長，因此在P點(diǎn)兩側(cè)可以找到無窮多匝對稱的圓電流，它們在P點(diǎn)的磁場迭加結(jié)果與上圖相似。由于P點(diǎn)是任選的，因此可以推知長直載流螺線管內(nèi)各點(diǎn)磁場的方向均沿軸線方向。磁場分布如下圖所示。從上圖可以看出，在管內(nèi)的中央部分，磁場是均勻的，其方向與軸線平行，并可按右手螺旋法則判定其指向；而在管的中央部分外側(cè)，磁場很微弱，可忽略不計(jì)，即B=0.利用安培環(huán)路定理可以解得螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度為具體解的過程根據(jù)長直載流螺線管中段的磁場分布特征，可以選擇如下圖所示的矩形環(huán)路及繞行方向。則環(huán)路ab段的dl方向與磁場B的方向一致，即；環(huán)路bc段和da段的dl方向與磁場B的方向垂直，即B?d1=0；環(huán)路cd段上的。于是，沿此閉合路徑1，磁感強(qiáng)度B的環(huán)流為：因?yàn)閍b段的磁場是均勻的，可以從積分號中提出，則上式成為:設(shè)螺線管上每單位長度有n匝線圈，通過每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為nI，根據(jù)右手螺旋法則，其方向是正的。按安培環(huán)路定理，有：注意對于繞得不緊的載流螺線管，其磁場的分布就不是如此。對于繞得不緊的均勻載流螺線管，由下圖可以看到，在靠近導(dǎo)線處的磁場和一條長直載流導(dǎo)線附近的磁場很相似，磁感線近似為圍繞導(dǎo)線的一些同心圓。管內(nèi)、外的磁場是不均勻的，僅在螺線管的軸線附近，磁感強(qiáng)度B的方向近乎與軸線平行。均勻密繞螺繞環(huán)的磁場對于如圖所示的均勻密繞螺繞環(huán)，由于整個電流的分布具有中心軸對稱性，因而磁場的分布也應(yīng)具有軸對稱性，因此，利用安培環(huán)路定理可以解得均勻密繞螺繞環(huán)內(nèi)部的磁場分布為具體解的過程將通有電流I的矩形螺繞環(huán)沿直徑切開，其剖面圖如下所示。在環(huán)內(nèi)作一個半徑為r的環(huán)路，繞行方向如圖所示。環(huán)路上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小相等，方向由右手螺旋法可知：與環(huán)路繞行方向一致。磁感強(qiáng)度B沿此環(huán)路的環(huán)流為環(huán)路內(nèi)包圍電流的代數(shù)和為。根據(jù)安培環(huán)路定理，有：對均勻密繞螺繞環(huán)，環(huán)上的線圈繞得很密，則磁場幾乎全部集中于管內(nèi)，在環(huán)的外部空間，磁感強(qiáng)度處處為零，即B=0。如果將長直載流螺線管對接起來，就形成了圓形截面的均勻密繞細(xì)螺繞環(huán)，由安培環(huán)路定理同樣可以解得其內(nèi)部的磁場和長直載流螺線管內(nèi)部的磁場相同，仍為。無限大均勻載流平面的磁場電流的分布具有無限大面對稱性的載流導(dǎo)體，包括無限大均勻載流平面和無限長的大均勻載流平板。對無限大的載流平面產(chǎn)生的磁場，同樣可以進(jìn)行對稱性分析，如上右圖所示，可以將無限大載流平面的磁場看成是由無窮多個平行的長直載流導(dǎo)線的磁場疊加而成。每一對對稱的直導(dǎo)線在P點(diǎn)的磁場疊加的結(jié)果是:垂直于磁場的分量都相互抵消，只剩下平行于磁場的分量，故載流平面產(chǎn)生的磁場，其方向與平面平行，與平面電流成右手螺旋方向。利用安培環(huán)路定理解得磁場的分布。如果無限大載流平面上的電流密度是j，那么它在周圍空間產(chǎn)生的磁場是一個均勻