初中數學人教版八年級下冊第十七章勾股定理1勾股定理 全國一等獎

勾股定理一、選擇題（共10小題）1．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A．5 B．6 C．7 D．252．將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（）A．140° B．160° C．170° D．150°3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，則BC的長為（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+14．如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數是（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數是（）A．120° B．90° C．60° D．30°6．如圖，矩形紙片ABCD中，點E是AD的中點，且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過點C．則矩形的一邊AB的長度為（）A．1 B． C． D．27．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE是BC的垂直平分線，點E是垂足．已知DC=8，AD=4，則圖中長為4的線段有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條8．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P是BC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則PD+PE的長是（）A． B．或3.8 C． D．59．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為（）A．2 B． C．2 D．10．在邊長為正整數的△ABC中，AB=AC，且AB邊上的中線CD將△ABC的周長分為1：2的兩部分，則△ABC面積的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（共15小題）11．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為．12．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為cm2．13．如圖，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為．14．正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點．若△PBE是等腰三角形，則腰長為．15．如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF=4．設AB=x，AD=y，則x2+（y﹣4）2的值為．16．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于．17．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是cm．18．已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為．19．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，則△ABC的周長等于cm．20．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，連接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，則AB=cm．21．如圖，點D在△ABC的邊BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，則線段AC的長為．22．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，則AD的長為．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是．24．如圖，直徑為10的⊙A經過點C（0，6）和點O（0，0），與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右側圓弧上一點，則cos∠OBC的值為．25．如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點E，交AD于點F．若BC=2，則EF的長為．三、解答題26．如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的長；（2）在△ABC中，求BC邊上高的長．27．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，連接BD．請畫出圖形，并直接寫出△BCD的面積．28．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．29．如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：sin2A1+sin2B1=；sin2A2+sin2B2=；sin2A3+sin2B3（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．30．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若=，求cos∠ABC的值．

勾股定理參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題）1．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A．5 B．6 C．7 D．25【考點】勾股定理．【專題】網格型．【分析】建立格點三角形，利用勾股定理求解AB的長度即可．【解答】解：如圖所示：AB==5．故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關鍵是掌握格點三角形中勾股定理的應用．2．將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD=20°，則∠BOC的大小為（）A．140° B．160° C．170° D．150°【考點】直角三角形的性質．【分析】利用直角三角形的性質以及互余的關系，進而得出∠COA的度數，即可得出答案．【解答】解：∵將一副直角三角尺如圖放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故選：B．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質，得出∠COA的度數是解題關鍵．3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，點D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，則BC的長為（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【分析】根據∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判斷出DB=DA，根據勾股定理求出DC的長，從而求出BC的長．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1；∴BC=+1．故選D．【點評】本題主要考查了勾股定理，同時涉及三角形外角的性質，二者結合，是一道好題．4．如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【考點】直角三角形的性質．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據直角三角形兩銳角互余解答．【解答】解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故選：C．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵．5．在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數是（）A．120° B．90° C．60° D．30°【考點】直角三角形的性質．【分析】根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解答】解：∵直角三角形中，一個銳角等于60°，∴另一個銳角的度數=90°﹣60°=30°．故選：D．【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質是解題的關鍵．6．如圖，矩形紙片ABCD中，點E是AD的中點，且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過點C．則矩形的一邊AB的長度為（）A．1 B． C． D．2【考點】勾股定理；線段垂直平分線的性質；矩形的性質．【分析】本題要依靠輔助線的幫助，連接CE，首先利用線段垂直平分線的性質證明BC=EC．求出EC后根據勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，連接EC．∵FC垂直平分BE，∴BC=EC（線段垂直平分線的性質）又∵點E是AD的中點，AE=1，AD=BC，故EC=2，利用勾股定理可得AB=CD==．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質以及矩形的性質，本題的關鍵是要畫出輔助線，證明BC=EC后易求解．本題難度中等．7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE是BC的垂直平分線，點E是垂足．已知DC=8，AD=4，則圖中長為4的線段有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【考點】勾股定理；角平分線的性質；含30度角的直角三角形．【分析】利用線段垂直平分線的性質得出BE=EC，再利用全等三角形的判定與性質得出AB=BE，進而得出答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE是BC的垂直平分線，點E是垂足，∴AD=DE=4，BE=EC，∵DC=8，AD=4，∴BE=EC=4，在△ABD和△EBD中，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AB=BE=4，∴圖中長為4的線段有3條．故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理以及角平分線的性質以及全等三角形的判定與性質，正確得出BE=AB是解題關鍵．8．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P是BC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則PD+PE的長是（）A． B．或3.8 C． D．5【考點】勾股定理；等腰三角形的性質．【專題】動點型．【分析】過A點作AF⊥BC于F，連結AP，根據等腰三角形三線合一的性質和勾股定理可得AF的長，由圖形得SABC=SABP+SACP，代入數值，解答出即可．【解答】解：過A點作AF⊥BC于F，連結AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=．故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質，解答時注意，將一個三角形的面積轉化成兩個三角形的面積和；體現了轉化思想．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為（）A．2 B． C．2 D．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線的性質可得DG=AG，根據等腰三角形的性質可得∠GAD=∠GDA，根據三角形外角的性質可得∠CGD=2∠GAD，再根據平行線的性質和等量關系可得∠ACD=∠CGD，根據等腰三角形的性質可得CD=DG，再根據勾股定理即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵點G為AF的中點，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故選：C．【點評】綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質和直角三角形斜邊上的中線，解題的關鍵是證明CD=DG=3．10．在邊長為正整數的△ABC中，AB=AC，且AB邊上的中線CD將△ABC的周長分為1：2的兩部分，則△ABC面積的最小值為（）A． B． C． D．【考點】勾股定理；三角形的面積；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．【分析】設這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，再根據題意列出關于x、n、y的方程組，用n表示出x、y的值，由三角形的三邊關系舍去不符合條件的x、y的值，由n是正整數求出△ABC面積的最小值即可．【解答】解：設這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，得或，解得或，∵2×＜（此時不能構成三角形，舍去）∴取，其中n是3的倍數∴三角形的面積S△=××=n2，對于S△=n2=n2，當n＞0時，S△隨著n的增大而增大，故當n=3時，S△=取最小．故選：C．【點評】本題考查的是三角形的面積及三角形的三邊關系，根據題意列出關于x、n、y的方程組是解答此題的關鍵．二、填空題（共15小題）11．（2015?南昌）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為2或2或2．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】利用分類討論，當∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論．【解答】解：當∠APB=90°時（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB?sin60°=4×=2；當∠ABP=90°時（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=2，故答案為：2或2或2．【點評】本題主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數形結合是解答此題的關鍵．12．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積為126或66cm2【考點】勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】此題分兩種情況：∠B為銳角或∠B為鈍角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的長，利用三角形的面積公式得結果．【解答】解：當∠B為銳角時（如圖1），在Rt△ABD中，BD===5cm，在Rt△ADC中，CD===16cm，∴BC=21，∴S△ABC==×21×12=126cm2；當∠B為鈍角時（如圖2），在Rt△ABD中，BD===5cm，在Rt△ADC中，CD===16cm，∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，∴S△ABC==×11×12=66cm2，故答案為：126或66．【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關鍵．13．如圖，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為8cm2或2cm2或2cm2．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性質．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分三種情況進行討論：（1）△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解．【解答】解：分三種情況計算：（1）當AE=AF=4時，如圖：∴S△AEF=AE?AF=×4×4=8（cm2）；（2）當AE=EF=4時，如圖：則BE=5﹣4=1，BF===，∴S△AEF=?AE?BF=×4×=2（cm2）；（3）當AE=EF=4時，如圖：則DE=7﹣4=3，DF===，∴S△AEF=AE?DF=×4×=2（cm2）；故答案為：8或2或2．【點評】本題主要考查矩形的角是直角的性質和勾股定理的運用，要根據三角形的腰長的不確定分情況討論，有一定的難度．14．正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點．若△PBE是等腰三角形，則腰長為2，或，或．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性質．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】分情況討論：（1）當PB為腰時，若P為頂點，則E點和C點重合，求出PB長度即可；若B為頂點，則E點為CD中點；（2）當PB為底時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；①由題意得出BM=BP=，證明△BME∽△BAP，得出比例式，即可求出BE；②設CE=x，則DE=4﹣x，根據勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．【解答】解：分情況討論：（1）當PB為腰時，若P為頂點，則E點與C點重合，如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，∵P是AD的中點，∴AP=DP=2，根據勾股定理得：BP===2；若B為頂點，則根據PB=BE′得，E′為CD中點，此時腰長PB=2；（2）當PB為底邊時，E在BP的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點E；①當E在AB上時，如圖2所示：則BM=BP=，∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，∴△BME∽△BAP，∴，即，∴BE=；②當E在CD上時，如圖3所示：設CE=x，則DE=4﹣x，根據勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，∴42+x2=22+（4﹣x）2，解得：x=，∴CE=，∴BE===；綜上所述：腰長為：2，或，或；故答案為：2，或，或．【點評】本題考查了正方形的性質、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．15．（2015?蘇州）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF=4．設AB=x，AD=y，則x2+（y﹣4）2的值為16．【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；矩形的性質．【專題】壓軸題．【分析】根據矩形的性質得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：BF=DF=EF=4，則在直角△DCF中，利用勾股定理求得x2+（y﹣4）2=DF2．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．又∵BD⊥DE，點F是BE的中點，DF=4，∴BF=DF=EF=4．∴CF=4﹣BC=4﹣y．∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（4﹣y）2=42=16，∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．故答案是：16．【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線以及矩形的性質．根據“直角△BDE的斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得BF的長度是解題的突破口．16．如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD=6，DE=5，則CD的長等于8．【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【專題】計算題．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可．【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長度是解題的難點．17．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是8c【考點】勾股定理；等腰三角形的性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】利用等腰三角形的“三線合一”的性質得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長度．【解答】解：如圖，AD是BC邊上的高線．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案是：8．【點評】本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理．等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形．18．已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為5或．【考點】勾股定理．【專題】分類討論．【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①3是直角邊，4是斜邊；②3、4均為直角邊；可根據勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長．【解答】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：=；②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：=5；綜上，第三邊的長為：5或．故答案為：5或．【點評】此題主要考查的是勾股定理的應用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解．19．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，則△ABC的周長等于12cm．【考點】勾股定理；三角形的面積；等腰三角形的性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】根據三角形的面積求得=，根據勾股定理求得AB2=BC2+36，依據這兩個式子求出AB、BC的值，即可求得周長．【解答】解：∵AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的高，∴AB?CE=BC?AD，∵AD=6，CE=8，∴=，∴=，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC，∵AB2﹣BD2=AD2，∴AB2=BC2+36，∴=，整理得；BC2=，解得：BC=，∴AB=×BC=×=，∴△ABC的周長=2AB+BC=2×+=12．故答案為：12．【點評】本題考查了三角形的面積以及勾股定理的應用，找出AB與BC的數量關系是本題的關鍵．20．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，連接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，則AB=8c【考點】勾股定理；直角梯形．【專題】計算題．【分析】首先過點D作DE⊥AB于點E，易得四邊形BCDE是矩形，則可由勾股定理求得AE的長，易得△ACD是等腰三角形，則可求得CD與BE的長，繼而求得答案．【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴四邊形BCDE是矩形，∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，∴AE==3（cm），∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=5cm，∴BE=5cm，∴AB=AE+BE=8cm．故答案為：8．【點評】此題考查了梯形的性質、等腰三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．21．如圖，點D在△ABC的邊BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，則線段AC的長為4．【考點】勾股定理；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】作∠DAE=∠BAD交BC于E，作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根據三角函數設DF=4x，則AF=7x，在Rt△ADF中，根據勾股定理得到DF=4，AF=7，設EF=y，則CE=7+y，則DE=6﹣y，在Rt△DEF中，根據勾股定理得到DE=，AE=，設DG=z，則EG=﹣z，則（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG=12，在Rt△ADG中，據勾股定理得到AG=8，在Rt△ACG中，據勾股定理得到AC=4．【解答】解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．∵∠C+∠BAD=∠DAC，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=EC，∵tan∠BAD=，∴設DF=4x，則AF=7x，在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即（）2=（4x）2+（7x）2，解得x1=﹣1（不合題意舍去），x2=1，∴DF=4，AF=7，設EF=y，則CE=7+y，則DE=6﹣y，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即（6﹣y）2=42+y2，解得y=，∴DE=6﹣y=，AE=，∴設DG=z，則EG=﹣z，則（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，解得z=1，∴CG=12，在Rt△ADG中，AG==8，在Rt△ACG中，AC==4．故答案為：4．【點評】考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質，解直角三角形，解題的關鍵是根據勾股定理得到AG和CG的長．22．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，則AD的長為．【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】先根據勾股定理求出AC的長，再根據DE垂直平分AC得出OA的長，根據相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC===5，∵DE垂直平分AC，垂足為O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=，即=，解得AD=．故答案為：．【點評】本題考查的是勾股定理及相似三角形的判定與性質，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是﹣1．【考點】勾股定理；線段的性質：兩點之間線段最短；等腰直角三角形．【分析】找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P2，在半圓上取P1，連接AP1，EP1，可見，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根據勾股定理求出AE的長，然后減掉半徑即可．【解答】解：找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P2，在半圓上取P1，連接AP1，EP1，可見，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了勾股定理、最短路徑問題，利用兩點之間線段最短是解題的關鍵．24．如圖，直徑為10的⊙A經過點C（0，6）和點O（0，0），與x軸的正半軸交于點D，B是y軸右側圓弧上一點，則cos∠OBC的值為．【考點】勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數的定義．【分析】連接CD，易得CD是直徑，在直角△OCD中運用勾股定理求出OD的長，得出cos∠ODC的值，又由圓周角定理，即可求得cos∠OBC的值．【解答】解：連接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直徑，即CD=10，∵點C（0，6），∴OC=6，∴OD==8，∴cos∠ODC===，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=．故答案為：．【點評】此題考查了圓周角定理，勾股定理以及三角函數的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握轉化思想的應用．25．如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點E，交AD于點F．若BC=2，則EF的長為﹣1．【考點】勾股定理；三角形內角和定理；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；平行線分線段成比例．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】過F點作FG∥BC．根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根據三角函數可得AF=CF=2，DF=，根據平行線分線段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4﹣2，再根據平行線分線段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=﹣1．【解答】解：過F點作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，在Rt△CDF中，AF=CF==2，DF=CD?tan60°=，∵FG∥BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），解得GF=4﹣2，∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．故答案為：﹣1．【點評】綜合考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理可得，三角函數，平行線分線段成比例，以及方程思想，本題的難點是作出輔助線，尋找解題的途徑．三、解答題26．如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的長；（2）在△ABC中，求BC邊上高的長．【考點】勾股定理；三角形中位線定理．【分析】（1）直接利用勾股定理得出BD的長即可；（2）利用平行線分線段成比例定理得出BD=AE，進而求出即可．【解答】解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5，∴BD==3；（2）延長CB，過點A作AE⊥CB延長線于點E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D為AC邊的中點，∴BD=AE，∴AE=6，即BC邊上高的長為6．【點評】此題主要考查了勾股定理以及平行線分線段成比例定理，得出BD=AE是解題關鍵．27．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，連接BD．請畫出圖形，并直接寫出△BCD的面積．【考點】勾股定理；等腰三角形的性質；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】根據題意畫出圖形，進而利用勾股定理以及銳角三角函數關系求出BC的長，進而求出答案．【解答】解：如圖所示：過點D作DE⊥BC延長線于點E，∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC為一邊作等邊△ACD，∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，∴DB=4，則DE=EC=2，BE=BDcos30°=2，則BC=BE﹣EC=2﹣2，則△BCD的面積為：×2（2﹣2）=4﹣4．如圖所示：過點D作DE⊥BC延長線于點E，∵∠BAC=30°，△ACD是等邊三角形，∴∠DAB=30°，∴AB垂直平分DC，∴∠DBA=∠ABC=75°，BD=BC，∴∠DBE=30°，∴DE=BD，∴由（1）得：△BCD的面積為：×（2﹣2）（2﹣2）=8﹣4．【點評】此題主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性質和銳角三角函數關系等知識，得出BC的長是解題關鍵．28．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【分析】（1）在四邊形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，求得AE，利用銳角三角函數得BE，得AB；（2）設DE=x，利用（1）的某些結論，特殊角的三角函數和勾股定理，表示AB，CD，得結果．【解答】解：（1）過D點作DE⊥AB，過點B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE與△BCF為等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）設DE=x，則AE=x，