初中數(shù)學浙教版九年級上冊第4章　相似三角形4．4　兩個三角形相似的判定 精品

兩個三角形相似的判定(一)1．如圖，在△ABC中，DE∥BC.若eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，DE＝4，則BC＝(D)(第1題)A.9B.10C.11D.122．有一個角相等的兩個等腰三角形(C)A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.一定全等3．如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點，AE交BD于點F.如果eq\f(EC,BE)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(BF,FD)的值為(B)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,3)(第3題)(第4題)4．如圖，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，則BC的長為(C)A.eq\f(15,4)B.7C.eq\f(15,2)D.eq\f(24,5)5．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是BC上一點，直線DF與AB的延長線交于點E，作BP∥DF，與AD交于點P，請從圖中找出一組相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5題)6．如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2eq\r(2)，AB＝3，則BD＝__eq\f(8,3)__．(第6題)7．如圖，在△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為4__eq\r(2)．(第7題)8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于點E，D是BC的中點，連結(jié)AD與BE交于點F.求證：△AFE∽△BCE.(第8題)【解】∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延長線交于點E，顯然△EAB∽△ECD，在不添輔助線的情況下，請你再找出一對相似三角形，并加以證明．(第9題)【解】結(jié)論：△AEC∽△ACD.證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠ADC.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△ACD.10．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，EF交AC于點G，則AG∶GC的值為(B)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3(第10題)【解】如解圖，連結(jié)BD，交AC于點O.(第10題解)∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥DB，且EF＝eq\f(1,2)DB，∴△AEF∽△ADB，△AEG∽△ADO，∴eq\f(AG,AO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(EF,DB)＝eq\f(1,2).∴G為AO的中點．∴AG＝GO.又∵OA＝OC，∴AG∶GC＝1∶3.11．已知在?ABCD中，點E在直線AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，連結(jié)CE交BD于點F，則EF∶CF的值是eq\f(2,3)或eq\f(4,3)．【解】當點E在線段AD上時，如解圖①.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF∶CF＝DE∶BC.∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE＝2AE＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)BC，∴DE∶BC＝2∶3，∴EF∶CF＝2∶3.(第11題解)當點E在線段DA的延長線上時，如解圖②.同上可得△EFD∽△CFB，∴EF∶CF＝DE∶BC.∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE＝4AE＝eq\f(4,3)AD＝eq\f(4,3)BC，∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶CF＝4∶3.綜上所述，EF∶CF的值是eq\f(2,3)或eq\f(4,3).12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以2cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以eq\r(3)cm/s的速度向點B勻速運動，設運動時間為t(s)(0≤t≤5)，連結(jié)MN.(1)若BM＝BN，求t的值．(2)若以M，B，N為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值．(3)當t為何值時，四邊形ACNM的面積最??？并求出最小值．(第12題)【解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5eq\r(3).由題意，得BM＝2t，CN＝eq\r(3)t，∴BN＝5eq\r(3)－eq\r(3)t.當BM＝BN時，2t＝5eq\r(3)－eq\r(3)t，解得t＝10eq\r(3)－15.(2)分兩種情況：①當△MBN∽△ABC時，eq\f(MB,AB)＝eq\f(BN,BC)，即eq\f(2t,10)＝eq\f(5\r(3)－\r(3)t,5\r(3))，解得t＝eq\f(5,2).②當△NBM∽△ABC時，eq\f(NB,AB)＝eq\f(BM,BC)，即eq\f(5\r(3)－\r(3)t,10)＝eq\f(2t,5\r(3))，解得t＝eq\f(15,7).綜上所述，當t＝eq\f(5,2)或t＝eq\f(15,7)時，△MBN與△ABC相似．(3)如解圖，過點M作MD⊥BC于點D，則MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，(第12題解)∴eq\f(MD,AC)＝eq\f(BM,BA)，即eq\f(MD,5)＝eq\f(2t,10)，解得MD＝t.設四邊形ACNM的面積為y，則y＝eq\f(1,2)×5×5eq\r(3)－eq\f(1,2)(5eq\r(3)－eq\r(3)t)×t＝eq\f(\r(3),2)t2－eq\f(5\r(3),2)t＋eq\f(25\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75\r(3),8).∴當t＝eq\f(5,2)時，y取得最小值，為eq\f(75\r(3),8)，即當t＝eq\f(5,2)時，四邊形ACNM的面積最小，為eq\f(75\r(3),8)cm2.13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.