第十四講大數(shù)定律和中心極限定理

羅馬圣彼德廣場(chǎng)一、方差的定義（P78）定義(P79):方差及協(xié)方差(1)D(c)=0二、方差的性質(zhì)(P80)三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1、協(xié)方差

定義(P82)：

Yy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................Xx1x2xi若二元離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列如下：

若二元隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：2、相關(guān)系數(shù)(P83)定義(P84)：3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（P85）

協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)要求：

（1）明確方差的概念和含義。

（2）學(xué)會(huì)方差的計(jì)算，掌握方差的性質(zhì)及其運(yùn)用。

（3）學(xué)會(huì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的計(jì)算。

在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率總是穩(wěn)定在某一確定的常數(shù)附近，稱這一常數(shù)為事件A發(fā)生的概率。如果試驗(yàn)次數(shù)不多，事件A發(fā)生的頻率與事件A發(fā)生的概率可能相差很大，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近事件A發(fā)生的概率幾乎是必然的。

這就是說：無論個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果如何，或者它們?cè)谶M(jìn)行過程中的個(gè)別特征如何，大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果實(shí)際與每一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的特征無關(guān)，并且?guī)缀醪辉偈请S機(jī)的了。

大數(shù)定律以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了這種規(guī)律性。第十四講大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律(P93)依概率收斂（P93定義5.1）切比雪夫(Chebyshev)不等式(P93)

例2：設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚同時(shí)開燈數(shù)在6800與7200之間的概率。計(jì)算量太大了幾個(gè)常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律(P94定理5.2)

切比雪夫大數(shù)定律說明(記在P94)：在定理?xiàng)l件下，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量的離散程度很小的。經(jīng)過算術(shù)平均以后得到的隨機(jī)變量將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近，它與數(shù)學(xué)期望之差依概率收斂于0。2.貝努里大數(shù)定律(P95定理5.3)

貝努里大數(shù)定律說明：當(dāng)試驗(yàn)在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行很多次時(shí)，隨機(jī)事件的頻率在它的概率附近擺動(dòng)，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可用頻率近似代替概率。如果事件A的概率很小，則事件A的頻率也是很小的，即事件A很少發(fā)生。實(shí)際中概率很小的事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，因此人們常常忽略了那些概率很小的事件發(fā)生的可能性。這個(gè)原理叫作小概率事件的實(shí)際不可能性原理（簡(jiǎn)稱小概率原理）。至于“小概率”小到何程度才能看作實(shí)際上不可能發(fā)生，則視具體問題而定。反之：如果隨機(jī)事件的概率很接近于1，則可以認(rèn)為在個(gè)別試驗(yàn)中這事件幾乎一定發(fā)生。3.辛欽大數(shù)定律(P95定理5.4)

辛欽大數(shù)定律說明(記在P96)：對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行n次觀察，則所有觀察結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于它的期望值。二、中心極限定理（P96）

正態(tài)分布在隨機(jī)變量的各種分布中，占有特別重要的地位。在某些條件下，即使原來不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立隨機(jī)變量，它們的和的分布，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無限增加時(shí)，也是趨于正態(tài)分布的。概率論中，把研究在什么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和分布以正態(tài)分布為極限這一類定理稱為中心極限定理。

一般說來，如果某一項(xiàng)偶然因素對(duì)總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項(xiàng)起特別突出的作用，那么就可以斷定描述這些大量獨(dú)立的偶然因素的總和的隨機(jī)變量是近似地服從正態(tài)分布的。1.李雅普諾夫定理（P96定理5.5是其特殊情況）：

說明(記在P97)：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,若每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)這些隨機(jī)變量的和變量影響不大,則其和變量服從正態(tài)分布例3：一個(gè)螺絲釘重量是一個(gè)隨機(jī)變量，期望值是10克，標(biāo)準(zhǔn)差是1克。求一盒（100個(gè)）同型號(hào)螺絲的重量超過

1020克的概率。例4.將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于

500的概率是多少？2.拉普拉斯定理(Laplace)（P97定理5.6）

說明(記在P98)：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí),n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X這一隨機(jī)變量落入某范圍的概率可用正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算

例5：設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立，則夜晚同時(shí)開燈數(shù)在6800與7200之間的概率。例6：在一家保險(xiǎn)公司里有100000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付128元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.06%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得10萬元，問：保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？本次課要求：（1