第四章電磁波的傳播

麥克斯韋方程組第四章電磁波的傳播電荷片傳播的場場移動的邊界設：電荷片是有由兩片符號相反電荷密度相同無限大平面構成的，其中一片向上以u的速度運動，另一片靜止（抵消靜電場的作用）.相當于一個面電流α.電荷片測視圖安培定律法拉第電磁感應定律①電荷片俯視圖真空中：積分形式①②得到得到一個可以脫離源在空中傳播的電磁波.傳播速度取決于與參照系無關的空間性質.如果在T時間之后電荷片停止運動脈沖如果電流源正弦振蕩§1平面電磁波1.電磁波動方程在自由空間中，（=0,J=0情形）真空情形:D=0E,B=0H得到同樣，可得磁場B的偏微分方程令波動方程，c是電磁波在真空中的傳播速度．介質中，一般情況下和是的函數(shù)（色散），D(t)=E(t)不成立．因此在介質內，不能推出E和B的波動方程.2．時諧電磁波在一般情況下，即使電磁波不是單色波，它也可以用傅里葉分析的方法分解為不同頻率的正弦波的疊加．時諧電磁波（單色波）：以一定頻率作正弦振蕩的波.設角頻率為的電磁波，用復數(shù)形式表為E(x)表示抽出時間因子e-it以后的電場強度．在一定頻率下，有D=0E,B=0H，得注意：這組方程不是獨立的．①④:②③：?、偈叫炔⒂芒谑降靡驗椤ツ坊羝澐匠探獬鯡后，磁場B可由第一式求出，亥姆霍茲方程的解E(x)代表電磁波場強在空間中的分布情況，每一種可能的形式稱為一種波模概括起來類似地3．平面電磁波按照激發(fā)和傳播條件的不同，電磁波有各種不同形式．例如從廣播天線發(fā)射出的球面波，沿傳輸線或波導走向傳播的狹窄光束等，其場強都是亥姆霍茲方程的解．最基本的形式：存在于全空間中的平面波.E和B僅與x，t有關，與y，z無關.亥姆霍茲方程化為一維的常微分方程：解為：場強的全表示式：因此，只要E0與x軸垂直，代表一種可能的模式．以上為了運算方便采用了復數(shù)形式，對于實際存在的場強應理解為只取實數(shù)部分，即由條件E=0得，即要求——電場的振幅——波動的相位因子相位因子cos(kx-t)的意義t=0時，相位因子是coskx，x＝0的平面處于波峰．在另一時刻t，相因子變?yōu)閏os(kx-t)波峰移至kx-t處，即移至x=t/k的平面上.——沿x軸方向傳播的平面波相速度：k為波矢量，其量值k（）稱為園波數(shù).在一般坐標系下，電磁波場強：——矢量k方向傳播的平面波——2弧度相位差的波長數(shù)必須加上條件E=0才得到電磁波解．沿電磁波傳播方向相位差2的距離為x=2/k，因此x是電磁波的波長——橫波時間周期T頻率f=1/T園頻率完成一次振動需要的時間一個單位時間內完成振動數(shù)量一個單位時間內完成振動相位（弧度）空間波長λ波數(shù)園波數(shù)完成一次波動需要的長度一個單位長度內完成振動數(shù)量一個單位長度內完成波動相位（弧度）波動幾個物理量名詞比較波動在時間、空間上都體現(xiàn)為周期變化.平面電磁波的特性：電磁波為橫波,E和B都與傳播方向垂直；

E和B互相垂直，EB沿波矢k方向；

E和B同相，振幅比為v．4．電磁波的能量和能流能量密度：平面電磁波因此能流密度v為相速注意：由于能量密度和能流密度是場強的二次式，不能把場強的復數(shù)表示直接代入.例如：E的物理有意義部分為a：若直接代入：減少了b2計算和S的瞬時值時，應把實數(shù)表示代入設f(t)和g(t)有復數(shù)表示和S都是隨時間迅速脈動的量，實際上我們只需用到它們的時間平均值．是f(t)和g(t)的相位差二次式求平均值的一般公式f*表示f的復共軛，Re表示實數(shù)部分．由此，能量密度和能流密度的平均值為§4.2單色平面電磁波在介質界面上的反射和折射ReflectionandRefractionofMonochromaticPlaneElectromagneticWaveatInterfaceofMedium內容：用Maxwell電磁理論來分析在介質的分界面上，電磁波將發(fā)生的反射和折射規(guī)律。包含六要素：和偏振平面電磁波：運動學規(guī)律:

入射角、反射角和折射角的關系；動力學規(guī)律:（菲涅爾公式）能量和能流的重新分配：振幅比；相位及偏振的變化：相對相位的變化.電磁波與分界面的分子發(fā)生相互作用后，作用的后果按性質可分成兩個方面：1、反射和折射定律（即相位關系）介質的分界面上研究電磁波反射和折射問題的基礎是電磁場在兩個不同介質界面上的邊值關系。④①②③①→④：根據(jù)②→③：根據(jù)因此，介質界面的邊值關系只取下列兩式：——切向連續(xù)性即反射和折射定律①②由可得磁場矢量為：入射波反射波折射波入射波反射波折射波在z=0的平面，所有的點必須滿足邊界條件波矢量方向之間的關系邊界條件要使該式成立，只有①②由①式，因為x、y、t都是獨立變量，必然有因此討論：由于，說明反射波、折射波的頻率與入射波的頻率相同?？梢缘玫?個結果根據(jù)，假若，則必有因此：，即反射角=入射角。（反射定律）根據(jù)結論：反射波和折射波與入射波在同一平面內，這個面就稱為入射面（入射波矢k與分界面的法線n所組成的平面）根據(jù)則一般介質（除鐵磁質外），故相對折射率即——折射定律2、菲涅耳公式（即振幅關系）菲涅耳公式：在邊值關系條件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅關系。分成兩種情況討論.入射面①即考慮到故有②聯(lián)立①、②兩式得對于一般介質，因此入射面由邊界條件，即在z=0的界面上有：即同理由的關系,把上式中的磁場換為電場。從而得到：解得對于一般介質，振幅關系就是光學中的菲涅耳公式，當時，菲涅耳是利用光的“以太”理論推導出來的。洛倫茨（22歲）在博士論文中用麥克斯韋推導出菲涅耳公式。因此，這也有力地證示了光是電磁波的理論學說.菲涅耳公式利用菲涅耳公式討論偏振半波損失反射系數(shù)、透射系數(shù)菲涅耳公式討論：垂直偏振：當時，，即反射波中沒有電場平行入射面的部分，這時的反射波是完全的線偏振波.根據(jù)令此時的——Brewster’sangle一個任意偏振的波，可以分為平行和垂直入射面的兩個入射波。平面波以布儒斯特角入射時，反射波只有垂直入射面偏振的波，反射波和折射波傳播方向互相垂直。半波損失：當平面波從光疏介質入射到光密介質時（即n21>1）。根據(jù)折射定律可知：與入射波的相應分量反向反射波與入射波位相相差π，——半波損失。當平面波從光密介質入射到光疏介質時反射波與入射波同位相，即沒有半波損失.電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù)。

反射系數(shù)（R）：反射波平均能流與入射波平均能流在法線方向的分量之比

透射系數(shù)（T）：折射波平均能流與入射波平均能流在法線方向的分量之比。入射波的能流平均值：入射面反射波的能流平均值：折射波的能流平均值：從而得到：同理符合能量守恒定律3、全反射若，則，因此即電磁波從介質1入射時，折射角θ〃>入射角θ。當時，則。——全反射臨界角如果再增大入射角，使得，這時不能定義實數(shù)的折射角，因而將出現(xiàn)不同于一般反射折射的物理現(xiàn)象.假設在這種情形下兩介質中的電場形式仍然為邊值關系（z=0）依舊成立，仍可得到在，情形下有.令因此y軸垂直與入射面時，=0——虛數(shù)故折射波的傳播因子為：其中即折射波的電場為：上式仍然是亥姆霍茲方程的解，因此代表在介質2中傳播的一種可能波模．因為當z-時E''

，上式所表示的波不能在全空間中存在。但是這里所研究的折射波只存在于z＞0的半空間中，因此，上式是一種可能的解．折射波將沿z方向衰減，沿x方向傳播。因此，全反射時，介質2中的電磁波并不為零，如果介質2的電磁波完全為零的話，那么就不滿足邊值關系?？梢婋妶霾粌H沿著界面方向傳播，而且被限制在表面附近的一個區(qū)域內，所以稱全反射時的折射波為表面波。xz沿x軸方向傳播的電磁波，沿z軸方向指數(shù)衰減。因此，這種電磁波只存在于界面附近一薄層內，厚度～．透入第二介質中的薄層厚度與波長同數(shù)量級。折射波磁場強度折射波電場強度考慮入射面：——與同相——與有900的相位差折射波平均能流密度由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿z軸方向透入第二介質的平均能流密度為零．虛數(shù)以上推出的有關反射和折射的公式在sin＞n21情形下形式上仍然成立。只要作對應當入射面時：比較上式，可得歐拉公式表示在全反射時，入射波和反射波振幅相同，兩者存在相位差，因此反射波與入射波的瞬時能流值是不同的。只是Sz''的平均值為零，其瞬時值不為零。可見，在全反射中第二介質是起作用的。在半周內，電磁能量透入第二介質，在界面附近薄層內儲存起來，在另一半周內，該能量釋放出來變?yōu)榉瓷洳芰?。當入射面時：其中比較，可見，并與入射角有關，如果入射波是線編振波，但其振動方向與入射面成一定夾角，則反射波的兩個分量將有一個位相差，因而是一個橢園偏振波，即一個線偏振波入射在介質界面上經(jīng)過反射成了一個橢園偏振波?！?.3有導體存在時電磁波的傳播ElectromagneticWavePropagationinConductionMedium內容：導電介質中電磁波的傳播。

由于導體內有自由電荷存在，在電磁波的電場作用下，自由電荷運動形成傳導電流，而傳導電流要產(chǎn)生焦耳熱，使電磁波能量有損耗。因此，在導體內部的電磁場（波）是一種衰減波，在傳播過程中，電磁能量轉化為熱量。1、導體內的自由電荷的分布焦耳定律電荷守恒定律Gauss定理衰減的特征時間為如果散度，有電流流出來，電荷減少電荷密度ρ隨時間指數(shù)衰減因此，只要電磁波的頻率滿足或——良導體條件探討：良導體條件的物理意義良導體：傳導電流位移電流2、導體內的單色平面電磁波導電介質與絕緣體的根本區(qū)別在于導電介質中有自由電荷存在。因而，只要有電磁波存在，總要引起傳導電流j。因此，導體內部：令從形式上看，與均勻介質中的情況相同則有從①式：令同理：運動方程：位移電流的貢獻傳導電流的貢獻——是復數(shù)如果令——復波數(shù)導體當電磁波從真空中入射到導體表面時，以k(0)矢量表示真空中的波矢，k表示導體內的波矢.根據(jù)邊值關系：真空中為實數(shù)，其值為不論正入射還是斜入射，衰減方向垂直于金屬表面因為良導體條件下在導體內部，k也在入射面內k2的實部可忽略結論：對于良導體，α、β幾乎平行，總垂直導體表面3、趨膚效應和穿透深度根據(jù)良導體：假設電磁場形式為：討論：從電磁場可看到，復數(shù)波矢量，包含了兩個部分：實部：——通常意義上的波矢量虛部：——電磁波在導體中的衰減程度波振幅沿傳播方向按指數(shù)衰減，為衰減常數(shù)?！┩干疃纫虼?，對于高頻電磁波，電磁場以及和它相作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應.（S·m-1）f（Hz）

（cm）銅5107500.9銅100M0.710-3海水4.4503.0103不良導體傳導電流位移電流（取1級近似）（取0級近似）衰減很小，穿透深度很大.得到：(S·m-1

)f（Hz）

（m）海水4.410100.091.210-3海水1007.910824良導體不良導體可以發(fā)現(xiàn)：頻率越小，衰減越小。有人提出用10Hz來作為載頻實現(xiàn)海洋通信，但這就要求天線很長，f=10Hz時，λ=30000km。因此現(xiàn)在海洋主要用超聲波（聲納）進行通信磁場相位比電場相位滯后45，在真空和絕緣介質中H和E同相能流O一周期內電磁能不是一直往前流，有T/4時間倒流相速度，可見，在導體中傳播速度由β決定，β稱為相位常數(shù)。一般情況下，所以在導體中波長變短了。波長銅：能量密度磁場遠比電場重要，金屬內電磁波的能量主要是磁場能量．能量密度磁場：在良導體中4、電磁波在導體表面上的反射和折射只討論垂直入射情形．②①邊值關系：入射方為真空，故①②反射系數(shù)理想導體反射系數(shù)接近于1.有①、②得導體內的電流密度其中略去了因子5、導體內功率損耗問題導體內的電場為：導體內單位體積內的平均功耗為：導體表面單位面積的功耗為：定義表面電流密度：因為故得由此可見：所以與平均功率比較，可見——導體表面電阻在高頻情況下：δ0xyzds=dxdy相當于厚度為的薄層的直流電阻單位面積下的導體在高頻電磁波的電阻§4-4諧振腔1、LC振蕩電路提高頻率的途徑：減小L和C.減小C的途徑：增加極板距離d、減少極板面積S.困難：高頻時，具有很小的C的電容不能再使電場和磁場集中分布于內部，向外輻射的損耗增大。減小電感L值的途徑①減小L的匝數(shù)減小匝數(shù)成為一條直線多個L并聯(lián)諧振腔②多個L并聯(lián)2．理想導體邊界條件電磁波在兩不同介質（包括導體）界面上的邊值關系這兩關系滿足后，另外兩個關于法向分量的關系自然能夠滿足?！猲由介質1指向介質2的法線導體表面邊界條件理想導體：邊界條件因為諧振腔不存在自由電荷：·E=0，故在界面有：電場線與界面正交，磁感應線與界面相切例題：證明兩平行無窮大導體平面之間只能傳播一種偏振的橫電磁波（TEM）。解：邊界條件：

Ex=Ez=0,Hy=0x軸方向偏振：平面電磁波(Ex≠0，與導體面相切)不滿足邊界條件，因而不能在導體面間存在。y軸方向偏振：此平面波滿足邊界條件，因此可以在導體板之間傳播。只能傳播一種偏振的TEM平面波設u(x,y,z)為E或H

的任一直角分量，有3、矩形諧振腔內的電磁振蕩亥姆霍茲方程分離變量法,令:解得u(x,y,z)的駐波解例如考慮Ex邊界條件再考慮x=L1，y=L2，z=L3面上的邊界條件m，n，p分別代表沿矩形三邊所含的半波數(shù)目。對Ey和Ez亦可作類似考慮由方程·E=0，應滿足關系因此A1,A2和A3中只有兩個是獨立的。代表腔內的一種諧振波模，或稱為腔內電磁場的一種本征振蕩。對每一組（m,n,p）值，有兩個獨立偏振波模。諧振頻率若m，n，p中有兩個為零，則場強E=0若L1＞L2＞L3，最低頻率的諧振波模為（1,1,0），其諧振頻率為波長為此波長與諧振腔的線度同一數(shù)量級。在微波技術中通常用諧振腔的最低波模來產(chǎn)生特定頻率的電磁振蕩。問題提法1：如何連接兩個電磁元器件？低頻時，由導線完成；高頻時，輻射增加。問題提法2：當波被限制在一維或二維空間時，會發(fā)生什么現(xiàn)象？§4.5電磁波在波導中的傳播1、矩形波導中的電磁波abxyz討論矩形波導，波導中沒有自由電荷和傳導電流，即哪種波才能存在？猜測：波只能沿z軸傳播；界面上，E不能有切線分量，并且不存在自由電荷.邊界條件設：電場E的任意分量為考慮Ex分量，考慮Ey分量，考慮Ez分量，由另外邊條件：Ey的示意圖（y方向簡略為均勻）

兩種不同介質界面上的邊值關系：設導體是理想導體，電磁波穿透深度為0，導體內電磁場自然滿足嚴格數(shù)學求解對于電場E：abxyz因此邊界條件為波導中電磁波滿足的微分方程和邊界條件：因為波導中電磁波是沿管的軸向，即沿z軸方向傳播，因而電場強度為：代入亥姆霍茲方程，得到：設u(x,y)為電磁場的任一直角分量，它滿足上式用分離變量法解這個微分方程：要使上式成立，必須要求左邊每一項等于常數(shù)，而且要求：從而有：振動方程A、B、C、D、kx、ky為待定常數(shù)。因此電場E的任意分量為與上面討論一致，可以得到E的解得出后，磁場H為：m，n的物理意義：m代表沿波導管x邊所對應的半波數(shù)目，

同理，n代表沿波導管y邊對應的半波數(shù)目.設波矢與a邊的夾角為在波導中，因為無自由電荷，即即A1,A2,A3只有兩個是獨立的對一定的(m,n),如果選一種波模（波的模式）具有Ez＝0，則該波模的A1/A2=ky/kx就完全確定.因而，另一種波模必須有Ez0。結論：對Ez=0的波模，Hz

0設：對Ez＝0的波模根據(jù)波導中電磁波的特點：電場和磁場不能同時為橫波.波模為Ez=0()的波稱為橫電波（TEW）波模為Hz=0()的波稱為橫磁波（TMW）3、討論波導中E和H沿傳播方向的分量不能同時為零，這是否與電磁波的橫波性相矛盾？原因：因為波導的軸線方向并不是波的真正傳播方向，波導中的電磁波是在管壁上多次反射中曲折的前進.z波模：在波導管的橫截面上，場的分布取決于m和n。不同的m和n的組合對應不同的場結構，一組（m,n）組成一個模式，TM波記為TMmn，TE波記為TEmn。截止頻率：對于一定尺寸的矩形波導，如果選定某一模式TEmn或TMmn（m,n也確定），則從kz為：存在一個ω的臨界值，使得kz為實數(shù).根據(jù)傳播因子因子，kz為虛數(shù)時，電場沿z軸衰減，因而不能在波導中傳播.截止頻率：能夠在波導中傳播的波的最低頻率.對于（m,n）型波的截止角頻率為截止波長(cut-offwavelength)為：——最大波長在波導內能夠通過的最大波長為2a。由于波導的幾何尺寸不能做得過大，用波導來傳輸較長的無線電波是不實際的。在厘米波段，波導的應用最廣。相速度與群速度群速度（ug

）：波的包絡上具有某種特