第四章質(zhì)點組動力學1

第四章質(zhì)點組動力學§4.1質(zhì)點組§4.2動量定理與動量守恒律§4.3動量矩定理與動量矩守恒律§4.4動能定理與機械能守恒律§4.5兩體問題本章主要學習內(nèi)容

前一章研究了單個質(zhì)點的運動問題，本章進一步研究一群質(zhì)點的集合體。把有多個相互聯(lián)系著的質(zhì)點組成的系統(tǒng)叫做質(zhì)點組。質(zhì)點組動力學的研究方法如果按質(zhì)點動力學的方法列寫每個質(zhì)點的運動微分方程式，則方程數(shù)太多出現(xiàn)未知的內(nèi)力減少描述質(zhì)系運動的未知量數(shù)目

不研究每個質(zhì)點，而將質(zhì)系作為一個整體，研究表征質(zhì)系動力學的物理量（動量、動能等）的變化§4.1質(zhì)點組一、質(zhì)點組的內(nèi)力和外力1、內(nèi)力（internalforce）質(zhì)點組內(nèi)部各質(zhì)點之間的相互作用力（滿足牛頓第三定律）。j對i的作用力內(nèi)力的性質(zhì)1：所有內(nèi)力的矢量和等于零。內(nèi)力的性質(zhì)2：所有內(nèi)力對任一點的矩（或對任一軸的矩）的矢量和等于零。內(nèi)力§4.1質(zhì)點組2、外力（externalforce）質(zhì)點組以外的物體對質(zhì)點組內(nèi)任一質(zhì)點的作用力?！?.1質(zhì)點組在力學中，如果一個質(zhì)點組不受任何外力作用，則叫做孤立系或閉合系。3、孤立系（閉合系）§4.1質(zhì)點組二、質(zhì)心（centerofmass）1、引入質(zhì)心的目的（簡化問題的處理）2、質(zhì)心位置矢量的定義：質(zhì)心的位矢是質(zhì)點組中各質(zhì)點的位置以其質(zhì)量為權重的平均矢量。它可以代表質(zhì)點組的整體位置?！?.1質(zhì)點組3、質(zhì)心滿足疊加原理：質(zhì)心位矢的分量形式為：§4.1質(zhì)點組4、對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，上述公式中的求和號應改為積分：(線，面，體)§4.1質(zhì)點組3、質(zhì)心的位矢與所選參考系有關。注意：2、質(zhì)心與重心不一樣。只有當物體的線度遠小于地球的線度且各點重力加速度相同二者才重合。1、對質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體來講，質(zhì)心和幾何中心重合。例題如圖所示，自半徑為a的球上，用一與球心相距為b的平面，切出一球形帽，求球帽的質(zhì)心。az§4.2動量定理與動量守恒律一、質(zhì)點組動量定理將n個質(zhì)點的運動微分方程加起來應用牛頓第二定律，第i個質(zhì)點運動微分方程為外力矢量和內(nèi)力矢量和根據(jù)牛頓第三定律已知合內(nèi)力為0，于是對此式左邊可進一步改寫為質(zhì)點組的動量§4.2動量定理與動量守恒律其中故：質(zhì)點組動量定理或諸外力作用在質(zhì)點組上的元沖量此形式與單個質(zhì)點的動量定理相似?！?.2動量定理與動量守恒律分量形式：§4.2動量定理與動量守恒律質(zhì)點組動量=質(zhì)心動量）

二、質(zhì)心運動定理§4.2動量定理與動量守恒律質(zhì)心運動定理物理意義質(zhì)心的運動，猶如這樣一個質(zhì)點的運動，這個質(zhì)點的質(zhì)量等于整個質(zhì)點組的質(zhì)量，作用在此質(zhì)點上的力等于作用在質(zhì)點組上所有外力的矢量和。（質(zhì)點組動力學第一基本定理）§4.2動量定理與動量守恒律三、動量守恒律質(zhì)點組不受外力或合外力為0時，由動量定理可得:故而因此質(zhì)點組動量守恒律（質(zhì)心作慣性運動）§4.2動量定理與動量守恒律或即動量守恒律還適于各外力在某一軸上投影之和為零的情形?！?.2動量定理與動量守恒律注意：1、動量守恒定律只適用于慣性系。定律中的速度應是對同一慣性系的速度，動量和應是同一時刻的動量之和。2、系統(tǒng)動量守恒，但每個質(zhì)點的動量可能變化。3、在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程中，往往可忽略外力（外力與內(nèi)力相比小很多）——近似守恒條件。4、動量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方向為零。）——部分守恒條件5、動量守恒定律在微觀高速范圍仍適用。是比牛頓定律更普遍的最基本的定律

例一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身和炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖。如炮身與地面成一角度α，炮彈相對炮身的速度為V，試求炮彈離開炮身時對地面的速度v及炮車反沖的速度U。解：本題沿水平方向（設為x方向）無外力作用，因為火藥爆炸力是內(nèi)力，故沿x方向動量守恒，即UVαxy（1）（用絕對速度，不能用相對速度）§4.2動量定理與動量守恒律又由相對運動關系，知：（2）UVαxy由（1）及（2）得：§4.2動量定理與動量守恒律§4.2動量定理與動量守恒律§4.3動量矩定理和動量矩守恒定律

(1)對固定點o的動量矩設有n個質(zhì)點所組成的質(zhì)點組，對第i個質(zhì)點而言有：則對n個質(zhì)點的運動微分方程相加并從左面矢乘又質(zhì)點組的動量矩定律為：或其分量式為：（2）動量矩守恒定律如果所有作用在質(zhì)點組上的外力對某一點O的合力矩為零，則：如果所有作用在質(zhì)點組上的外力對某一點O的合力矩雖然不為零，但對通過原點O的某一坐標軸的力矩為零，則：（3）質(zhì)點組相對質(zhì)心的動量矩定理作用在第i個質(zhì)點上外力的合力作用在第i個質(zhì)點上內(nèi)力的合力第i個質(zhì)點的牽連慣性力質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩L’諸外力對質(zhì)心C的力矩之和質(zhì)點組對質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點組對質(zhì)心C的動量矩對時間的微商等于所有外力矩對質(zhì)心C的力矩之和，此時各質(zhì)點的慣性力矩相互抵消為零！討論：1）質(zhì)心雖然是動點，但對質(zhì)心可以和固定點一樣寫出其動量矩定理2）若外力對質(zhì)心的力矩的矢量和為零，則對質(zhì)心的動量矩必然守恒隨堂小議（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略小議鏈接1（同高爬）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不對。小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱觅|(zhì)點系角動量定理進行具體分析討論。力矩為例：在具有水平軸的滑輪上懸有一根繩子，繩子的兩端距通過該軸水平面的距離為r。兩個質(zhì)量分別為m和m’的人抓著繩子的兩端，他們同時開始以勻加速度向上爬并同時到達滑輪軸所在的水平面。假設滑輪的質(zhì)量可忽略，且所有的阻力也都忽略不計，問需多久時間，兩人可以同時到達？解：令滑輪的半徑為r，A爬繩的速度為v，B的速度為，則他們對通過滑輪中心的水平軸的動量矩為由動量矩定理，得或若t為共同到達時間，則解得§4.4動能定理與機械能守恒律一、質(zhì)點組的動能定理由質(zhì)點的動能定理（微分形式）應用到質(zhì)點組中的任一質(zhì)點上對i求和，得質(zhì)點組的動能定理§4.4動能定理與機械能守恒律（質(zhì)點組動力學第三基本定理）在動量定理和動量矩定理中，內(nèi)力的影響均被抵消；但在動能定理中，除非在特殊情況下（如剛體），內(nèi)力的影響通常不能被抵消。注意注意：內(nèi)力的功一般不為零。12對質(zhì)點組而言，內(nèi)力作功之和一般并不等于0，故若只有外力是保守力而內(nèi)力并不是保守力時，則質(zhì)點組的機械能不守恒。其中E為總能量，T為質(zhì)點組動能，V為質(zhì)點組勢能（它包括內(nèi)力的勢能和外力的勢能）。二、機械能守恒律只有作用在質(zhì)點組上的所有外力及內(nèi)力都是保守力（或其中只有保守力做功）時，機械能才守恒：§4.4動能定理與機械能守恒律將質(zhì)點的絕對運動分解成質(zhì)點相對質(zhì)心的相對運動和質(zhì)心相對絕對原點的牽連運動，可得其中m為質(zhì)點組總質(zhì)量。三、柯尼希定理§4.4動能定理與機械能守恒律質(zhì)心的動能各質(zhì)點對質(zhì)心的動能例題.一半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，直立在水平面上向前滾動而不滑動，若圓心的速度為，求圓盤的動能解：由柯尼希定理圓盤相對于其質(zhì)心軸作定軸轉動cP圓盤作純滾動的條件：四、對質(zhì)心的動能定理§4.4動能定理與機械能守恒律由用相對于質(zhì)心系的位移點乘兩邊，并對i求和而因此，可得即：質(zhì)點組對質(zhì)心動能的微分，等于質(zhì)點組相對于質(zhì)心系位移時內(nèi)力及外力所作元功之和。與相對于慣性系的質(zhì)點組動能定理形式相同！此時，質(zhì)心雖然是動點，但慣性力做功之和為零！與動量矩定理相似！§4.4動能定理與機械能守恒律例

質(zhì)量為m1及m2的兩自由質(zhì)點互相以力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離平方成反比，比例常數(shù)為k。開始時，兩質(zhì)點皆處于靜止狀態(tài)，其間距離為a。試求兩質(zhì)點的距離為a/2時兩質(zhì)點的速度。解無外力，動量守恒萬有引力為保守力，機械能守恒解得用動能定理積分能得同樣結果小結質(zhì)點組的三個動力學基本定理（靜系）動量定理動量矩定理動能定理或或質(zhì)點組的三個動力學基本定理（C系）動量定理動量矩定理動能定理或質(zhì)點組的三個守恒律動量動量矩機械能作用在質(zhì)點組上的所有外力及內(nèi)力都是保守力§4.5兩體問題一、（P,S）系統(tǒng)的運動特點對太陽:對行星：①+②式，得而質(zhì)心：因此，§4.5兩體問題討論①質(zhì)心不受力，作慣性運動。(萬有引力是內(nèi)力，質(zhì)點組動量、能量守恒）②太陽、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線運動。證明：令行星對C的運動學方程為：§4.5兩體問題同理，太陽對C的運動學方程為：力與距離平方成反比，故太陽、行星均繞（P,S）系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運動。§4.5兩體問題③地球對太陽的相對運動方程（2）－（1）式，得定義：折合質(zhì)量則§4.5兩體問題（可看作一個質(zhì)量為μ的物體受太陽（不動）引力情況）§4.5兩體問題④兩體問題：不考慮行星間的相互吸引。多體問題：天體力學、量子力學中經(jīng)常用到，用微擾法（攝動法）求解。小結一.基本要求1.概念質(zhì)點組；質(zhì)心；內(nèi)力、外力及其性質(zhì)；2.掌握質(zhì)點組的動量定理，動量矩定理，動能定理。(慣性系，質(zhì)心系)3.運用三個基本定理及守恒律和質(zhì)心運動定理求解質(zhì)點組動力學問題。4.兩體問題。一、