第07章晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)和晶體的性質(zhì)2

從晶體學(xué)的發(fā)展可分為古典和現(xiàn)代兩個(gè)階段。古典晶體學(xué)階段，確定了14種空間點(diǎn)陣型式，導(dǎo)出32種宏觀對(duì)稱群，進(jìn)而推導(dǎo)出230個(gè)空間群。1905年德國人Roentgen發(fā)現(xiàn)了X射線。1912年，M.Laue等實(shí)現(xiàn)了X射線在晶體中的衍射，開創(chuàng)了現(xiàn)代晶體學(xué)階段。從1912年至30年代，Laue、Bragg，Pauling等對(duì)無機(jī)化學(xué)物的晶體結(jié)構(gòu)做了大量的測(cè)定工作，獲得了NaCl型、ZnS型、CsCl型、螢石（CaF2）、黃鐵礦、方解石、尖晶石等典型晶體的精確結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，離子晶體結(jié)構(gòu)理論得到發(fā)展，Goldschmidt、Pauling各自總結(jié)了一套離子半徑。

7.6晶體的衍射1TheNobelPrizeinPhysics1901"fortheirtheories,developedindependently,concerningthecourseofchemicalreactions"WilhelmConradRoentgen

GermanyMunichUniversity

Munich,Germany1845-19232國際上已建立了五大晶體學(xué)數(shù)據(jù)庫（1）劍橋結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)庫（TheCambridgestructuralDatabase,CSD）（英國）；（2）蛋白質(zhì)數(shù)據(jù)庫（TheProteinDataBcmkPDB）（美國）；（3）無機(jī)晶體結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)庫（TheInorganicCrystalStructureDatabaseICSD）(德國)；（4）NRCC金屬晶體學(xué)數(shù)據(jù)文件庫（加拿大）；（5）粉末衍射文件數(shù)據(jù)庫（JCPDS-ICDD）（美國）。3X射線的產(chǎn)生用于晶體結(jié)構(gòu)測(cè)定的X射線波長(zhǎng)約50－250pm，與晶體內(nèi)原子間距大致相當(dāng)。這種X射線，通常在真空度約10-4Pa的X射線管內(nèi)，由高壓加速的電子沖擊陽極金屬靶產(chǎn)生，常用的靶材有Cu靶，Mo靶和Fe靶。

以Cu靶為例，當(dāng)電壓達(dá)35-40kV時(shí)，X光管內(nèi)加速電子將Cu原子最內(nèi)層的1s電子轟擊出來，次內(nèi)層2s、2p電子補(bǔ)入內(nèi)層，2s、2p電子能級(jí)與1s能級(jí)間隔是固定的，發(fā)射的X射線有某一固定波長(zhǎng)，故稱為特征射線，如CuKα射線為X=1.54?，CuKγ射線γ=0.70?，F(xiàn)eKγ射線為γ=1.9373?。4晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)使晶體對(duì)X射線、中子流和電子流等產(chǎn)生衍射。其中X射線法最重要，已測(cè)定了二十多萬種晶體的結(jié)構(gòu)，是物質(zhì)空間結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的主要來源。X射線與可見光一樣，有直進(jìn)性、折射率小、穿透力強(qiáng)。當(dāng)它射到晶體上，大部分透過，小部分被散射，而光學(xué)的反射、折射極小，可忽略不計(jì)。5

晶體的X射線衍射包括兩個(gè)要素：(1)衍射方向:與晶胞參數(shù)關(guān)聯(lián)(由晶胞間散射的X射線所決定)

(2)衍射強(qiáng)度:與點(diǎn)陣型式及晶胞內(nèi)原子分布關(guān)聯(lián)(由晶胞內(nèi)原子間散射的x射線所決定)

67.6.1衍射方向晶體衍射方向是晶體在入射X射線照射下產(chǎn)生的衍射X射線偏離入射線的角度.由晶胞間（周期性相聯(lián)系）散射的X射線的干涉所決定,依據(jù)的理論方程有兩個(gè)：Laue(勞埃)方程：Bragg(布拉格)方程：71.Laue方程直線點(diǎn)陣Laue方程的推導(dǎo)圖7.6.1Laue方程的推導(dǎo)要在s方向觀察到衍射,兩列次生X射線應(yīng)相互疊加,其波程差必須是波長(zhǎng)的整數(shù)倍h稱為衍射指標(biāo)這就是直線點(diǎn)陣產(chǎn)生衍射的條件。

8直線點(diǎn)陣的衍射

9以直線點(diǎn)陣為出發(fā)點(diǎn)，是聯(lián)系點(diǎn)陣單位的3個(gè)基本矢量a,b,c以及X射線的入射和衍射的單位矢量s0和s的方程，其數(shù)學(xué)形式為：a·(s-s0)=hλa(cosα-cosα0)=hλ

b·(s-s0)=kλb(cosβ-cosβ0)=kλc·(s-s0)=lλc(cosγ-cosγ0)=lλh，k，l＝0，±1，±2，……

式中λ為波長(zhǎng)，h,k,l

均為整數(shù)，hkl

稱為衍射指標(biāo)。10在Laue方程規(guī)定的方向上所有的晶胞之間散射的次生X射線都互相加強(qiáng),即波程差肯定是波長(zhǎng)的整數(shù)倍

h,k,l稱為衍射指標(biāo),表示為hkl或(hkl).并不一定互質(zhì),這是與晶面指標(biāo)的區(qū)別.X射線與晶體作用時(shí),同時(shí)要滿足Laue方程中的三個(gè)方程,且h,k,l的整數(shù)性決定了衍射方程的分裂性,即只有在空間某些方向上出現(xiàn)衍射（也可以這樣理解,兩個(gè)圓錐面為交線,三個(gè)圓錐面只能是交點(diǎn)）112.Bragg方程Laue方程將空間點(diǎn)陣看成是由三組不平行不共面的直線點(diǎn)陣組成.而Bragg方程將空間點(diǎn)陣看成是由一組相互平行的平面所組成.圖7.6.2Bragg公式的推引12同一晶面上各點(diǎn)陣點(diǎn)散射的X射線相互加強(qiáng)(圖a);而相鄰晶面散射X射線的波程差(圖b)欲使相鄰晶面產(chǎn)生的X射線相互加強(qiáng)13n稱為衍射級(jí)數(shù)，可取1,2,3,……；θn為衍射角。指標(biāo)為(hkl)的一組晶面，由于它和入射X射線取向不同，光程差不同，可產(chǎn)生n為1,2,3,……，衍射指標(biāo)為hkl,2h2k2l,3h3k3l,…，的一級(jí),二級(jí),三級(jí),…,衍射。例如晶面指標(biāo)為(110)這組面，在不同衍射角上可能出現(xiàn)衍射指標(biāo)為110,220,330,…的衍射線。14由于|sinθn|≤1，使得nλ≤2d(hkl)，所以n是數(shù)目有限的整數(shù)，n大者θn也大。(hkl)這組晶面的n級(jí)衍射，可視為與(hkl)平行但相鄰兩面間距為d(hkl)/n一組面的一級(jí)衍射。dnhnknl＝d(hkl)/n,nhnknl仍為整數(shù)，但不一定互質(zhì)。通常把不加括號(hào)的這組整數(shù)hkl稱為衍射指標(biāo)。目前，通用的Bragg方程為：15討論a.的制約

對(duì)于給定的體系,為一系列分裂的值即：只有當(dāng)≤2dhkl時(shí)才可觀察到衍射,否則：若過長(zhǎng),則不能觀測(cè)到衍射.sin2hkl(hkl)ndlq=max2hkldl=16b.與光的反射定律的同異并不是任意晶面都能產(chǎn)生反射的(幾何光學(xué)中無此限制),產(chǎn)生衍射的晶面指標(biāo)與衍射指標(biāo)間必須滿足n倍的關(guān)系。dhkl

為以衍射指標(biāo)表示的面距,不一定是真實(shí)的面間距。例如：對(duì)（110）晶面,只能產(chǎn)生的110,220,330,…等衍射,絕不可能觀察到111,210,321等衍射.幾何光學(xué)中,入射線,法線,反射線在同一平面;此處的入射線,反射線,法線也處在同一平面.相同之處：不同之處：17

Laue方程和Bragg方程是等效的。勞埃方程和布拉格方程都是聯(lián)系X射線的入射方向、衍射方向、波長(zhǎng)和點(diǎn)陣常數(shù)的關(guān)系式，前者是基本的關(guān)系式，但后者在形式上更為簡(jiǎn)單，而且提供了由衍射方向計(jì)算晶胞大小的原理，故布拉格方程在X射線結(jié)構(gòu)分析中有廣泛的應(yīng)用。187.6.2衍射強(qiáng)度以上介紹晶體衍射方向，即滿足Laue方程或Bragg方程的方向?qū)l(fā)生衍射，不滿足的則不發(fā)生衍射，這是衍射的一個(gè)要素。衍射的另一個(gè)要素是衍射強(qiáng)度。衍射強(qiáng)弱一方面與衍射方向有關(guān)（即不同的方向有不同的強(qiáng)度），另一方面與晶體晶胞的原子在空間的分布有關(guān)。設(shè)晶胞中有n個(gè)原子，對(duì)衍射指標(biāo)hkl的衍射方向，晶胞中每個(gè)原子對(duì)衍射強(qiáng)度都有自己的貢獻(xiàn)。雖然各個(gè)原子散射的次生X射線的波長(zhǎng)、頻率、時(shí)間周期都相同，但由于衍射產(chǎn)生光程差導(dǎo)致諸波間的周相差。設(shè)第j個(gè)原子的散射因子為fj，第j個(gè)原子的散射波可用下式表示：

19fjexp(iaj)其中aj為周相差定義衍射hkl結(jié)構(gòu)因子

結(jié)構(gòu)因子可由晶胞中各種原子的散射因子（fj）及各原子坐標(biāo)參數(shù)表示為：

衍射hkl的衍射強(qiáng)度I

hkl正比于|Fhkl|2，還與晶體對(duì)X射線的吸收、入射光強(qiáng)、溫度等多種物理因素有關(guān)，考慮這些因素衍射強(qiáng)度可表示為:

I

hkl＝K·|Fhkl|2通過衍射強(qiáng)度數(shù)據(jù)分析，可測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)。20系統(tǒng)消光:

晶體的衍射強(qiáng)度有規(guī)律地、系統(tǒng)地為零的現(xiàn)象稱為系統(tǒng)消光（systematicabsences）。系統(tǒng)消光的出現(xiàn)，是由于某些類型衍射的結(jié)構(gòu)振幅數(shù)值為0，因此衍射的強(qiáng)度為零。系統(tǒng)消光是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)中存在螺旋軸、滑移面和帶心點(diǎn)陣形式等晶體結(jié)構(gòu)的微觀對(duì)稱元素所引起。通過了解晶體的系統(tǒng)消光現(xiàn)象，可以測(cè)定在晶體結(jié)構(gòu)中存在的螺旋軸、滑移面和帶心點(diǎn)陣形式。21某些晶型的系統(tǒng)消光和對(duì)稱性衍射指標(biāo)類型消光條件消光解釋帶心型式和對(duì)稱元素記號(hào)hklh+k+l=奇數(shù)h+k=奇數(shù)h+l=奇數(shù)k+l=奇數(shù)h，k，l奇偶混雜－h(huán)+k+l不為3的倍數(shù)體心點(diǎn)陣C面帶心點(diǎn)陣B面帶心點(diǎn)陣A面帶心點(diǎn)陣面心點(diǎn)陣R心點(diǎn)陣ICBAFR（六方晶胞）0klk=奇數(shù)l=奇數(shù)k+l=奇數(shù)k+l不為4的倍數(shù)(100)滑移面，滑移量b/2c/2(b+c)/2(b+c)/4bcnd00ll=奇數(shù)l不為3的倍數(shù)l不為4的倍數(shù)l不為6的倍數(shù)[100]螺旋軸，平移量

c/2c/3c/4c/621，42，6331，32，62，6441，4361，65227.6.3單晶衍射法單晶:

基本由同一空間點(diǎn)陣所貫穿形成的晶塊.多晶:

由許多很小的單晶體按不同取向聚集而成的晶塊.微晶:

只有幾百個(gè)或幾千個(gè)晶胞并置而成的微小晶粒(粉末).237.6.3單晶衍射法單晶衍射用的晶體一般為直徑0.1～1mm的完整晶粒。當(dāng)選好晶體后用膠液粘在玻璃毛頂端，安置在測(cè)角頭上，收集衍射強(qiáng)度數(shù)據(jù)。測(cè)定晶胞參數(shù)及各個(gè)衍射的相對(duì)強(qiáng)度數(shù)據(jù)后，需將強(qiáng)度數(shù)據(jù)統(tǒng)一到一個(gè)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)上，對(duì)一系列影響強(qiáng)度的幾何因素、物理因素加以修正，求得K值，從強(qiáng)度數(shù)據(jù)得到｜Fhkl｜值。結(jié)構(gòu)振幅和結(jié)構(gòu)因子的關(guān)系為式中αhkl

稱為衍射hkl的相角。相角αhkl

的物理意義是指某一晶體在X射線照射下，晶胞中全部原子產(chǎn)生衍射hkl的光束的周相，與處在晶胞原點(diǎn)的電子在該方向上散射光的周相，兩者之間的差值。24X射線衍射儀包括測(cè)角儀、X射線檢測(cè)器和計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)三部分，通過計(jì)算機(jī)調(diào)整晶體坐標(biāo)軸和入射X射線的相對(duì)取向以及X射線檢測(cè)器的位置，記錄下每一衍射hkl符合衍射條件的衍射線的位置和強(qiáng)度。通用的單晶衍射儀為四圓衍射儀，每個(gè)圓都有一個(gè)獨(dú)立的馬達(dá)帶動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)，由計(jì)算機(jī)控制，調(diào)節(jié)晶體定位取向，使各個(gè)hkl滿足衍射條件產(chǎn)生衍射，并記錄它的強(qiáng)度。257.6.4多晶衍射法（也稱多晶粉末衍射法）多晶粉末;使用特征X射線;測(cè)定時(shí)使晶體保持轉(zhuǎn)動(dòng);2x2x2(a)(b)單晶(a)和多晶(b)產(chǎn)生衍射情況426依據(jù)的基本方程為Bragg方程1.原理及粉末圖

hkl是一些分立的值,hkl值的求取常用兩種方法：

攝譜法和照相法。27照相法：28衍射儀：現(xiàn)在，多晶衍射儀已基本取代了粉末照相法。衍射儀中，測(cè)角儀和X射線探測(cè)器替代了粉末照相機(jī)和感光膠片。2930多晶衍射儀法是利用計(jì)數(shù)管和一套計(jì)數(shù)放大測(cè)量系統(tǒng)，把接收到的衍射光轉(zhuǎn)換成一個(gè)大小與衍射光強(qiáng)成正比的信號(hào)記錄下來,。樣品放在衍射儀圓中心,計(jì)數(shù)管始終對(duì)準(zhǔn)中心,繞中心旋轉(zhuǎn)。樣品每轉(zhuǎn)θ，計(jì)數(shù)管轉(zhuǎn)2θ，記錄儀同步轉(zhuǎn)動(dòng)，逐一地把各衍射線的強(qiáng)度記錄下來，并計(jì)算晶面間距d值。多晶衍射所得的基本數(shù)據(jù)是“d－I”（衍射面間距和衍射強(qiáng)度）。利用著數(shù)據(jù)可進(jìn)行物相分析；將各個(gè)衍射指標(biāo)化，可求得晶胞參數(shù)；根據(jù)系統(tǒng)消光可得點(diǎn)陣形式。311.衍射峰的位置與強(qiáng)度――物相的定性和定量分析X射線的衍射峰位置(衍射方向)是由晶體的單胞參數(shù)決定的，其衍射強(qiáng)度則由晶胞中原子種類和位置決定的；因此X射線衍射的一組峰(包括其位置與強(qiáng)度)反映了晶體中原子種類及其排列方式的信息，即物相的信息。32與紅外光譜、拉曼光譜中某一譜峰對(duì)應(yīng)某一化學(xué)基團(tuán)等不同，X射線衍射的一組峰才對(duì)應(yīng)某一物相，反之亦然，某物相的存在一定要有一組衍射峰與之相對(duì)應(yīng)。X射線衍射分析不是單一的元素分析，它可區(qū)分同一化學(xué)組成的不同物相，能區(qū)分是混合物還是固溶體等。X射線的物相分析一般是根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的"d－I"數(shù)據(jù)、化學(xué)組成、樣品來源等和標(biāo)準(zhǔn)多晶衍射數(shù)據(jù)互相對(duì)比、進(jìn)行鑒定，若樣品衍射圖中含有某物相標(biāo)準(zhǔn)圖，即可斷定樣品中含有該物相。最重要的標(biāo)準(zhǔn)多晶衍射數(shù)據(jù)庫是JointCommitteeonPowderDiffractionStandards(JCPDS)編的《粉末衍射卡片集》(PDF)。3334另外，混合物中某物相的衍射強(qiáng)度與該物相在試樣中的重量百分?jǐn)?shù)成正比、與試樣的平均質(zhì)量吸收系數(shù)成反比，試樣中物相的含量可以通過X射線衍射來確定；但是，某些衍射能力較低的物相在含量小于5％時(shí)衍射線就不明顯了，因此X射線物相分析檢測(cè)限一般在5％以上；物相的定量分析有內(nèi)標(biāo)法、外標(biāo)法、K值法、增量法及無標(biāo)定量法等，應(yīng)根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)體系選用合適的分析方法。352.晶體衍射線的指標(biāo)化――簡(jiǎn)單晶體結(jié)構(gòu)的測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)測(cè)定的關(guān)鍵是得到結(jié)構(gòu)因子的值Fhkl。從衍射線強(qiáng)度可以計(jì)算結(jié)構(gòu)振幅|Fhkl|的值，因此，指標(biāo)化成為測(cè)定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵步驟。指標(biāo)化就是將各條衍射線的hkl標(biāo)出。對(duì)于單晶衍射，通過至少4個(gè)不共面的衍射線就可對(duì)衍射線指標(biāo)化。對(duì)于多晶的衍射，衍射數(shù)據(jù)的指標(biāo)化要復(fù)雜一些。但對(duì)晶胞不大的立方、四方、六方和三方晶系的晶體，多晶衍射線的指標(biāo)化一般不難；其它低級(jí)晶系要難一些，若參考同晶晶體的晶胞參數(shù)，也不難指標(biāo)化。

36下面以立方晶系為例說明多晶X射線衍射線的指標(biāo)化。由Bragg方程及立方晶系的晶面間距和晶面指標(biāo)的關(guān)系式，可以導(dǎo)出：

可以看出，立方晶系的sin2θhkl與h2+k2+l2成正比。對(duì)于簡(jiǎn)單點(diǎn)陣P，沒有消光規(guī)律，hkl可以是任意整數(shù)，它可采取100，110，111，200，210，211，220，221，222，300，…等數(shù)值。h2+k2+l2相應(yīng)的值為：1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，…（缺7、15、23等）。37對(duì)于體心點(diǎn)陣I，(h＋k＋l)為奇數(shù)時(shí)消光，衍射線強(qiáng)度為0，觀測(cè)不到衍射線，即100，111，210，221，300等衍射線不出現(xiàn)。對(duì)于面心點(diǎn)陣F，hkl奇偶混雜時(shí)不出現(xiàn)衍射線，即100，210，211，221，300等衍射線不出現(xiàn)?？梢?，在立方晶系的三種點(diǎn)陣型式中，從低角度到高角度的衍射線的sin2θ值按下列比例分布：P：1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,…（缺7、15、23等）

I：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,…（平方和為偶數(shù)，無空缺衍射線）＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…（不缺7、15、23等）

F：3,4,8,11,12,16,19,20,24,…（二密一疏的規(guī)律）38立方晶系衍射線指標(biāo)化39這樣根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的sin2θ的比值就可以決定點(diǎn)陣型式，并且可以確定每條衍射線的指標(biāo)，即所謂指標(biāo)化。指標(biāo)確定后可計(jì)算晶胞周期a，再從密度可以求得晶胞中所含的原子數(shù)。此外還可以根據(jù)粉末衍射線的分布及強(qiáng)度推測(cè)晶胞中的原子位置。一般對(duì)稱性較高的晶體，可用粉末法來測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)。但對(duì)于對(duì)稱性較低的晶體，因?yàn)榉勰┭苌渚€很多，容易發(fā)生重疊，難于分析結(jié)果，所以應(yīng)用不多。40下面以鎢為例，說明用粉末法測(cè)定晶體結(jié)構(gòu)的方法。用Cu靶的Kα射線（波長(zhǎng)λ＝1.541?）通過多晶X射線衍射儀測(cè)得的衍射線的角度2θ為：2。計(jì)算h2+k2+l2的比例為：＝0.1184:0.2370:0.3555:0.4740:…

＝1：2：3：4：5：6：7：8

＝2：4：6：8：10：12：14：16可見，鎢屬于立方體心點(diǎn)陣。然后可以對(duì)每條衍射環(huán)線指標(biāo)化，進(jìn)而計(jì)算晶胞常數(shù)a。413.點(diǎn)陣參數(shù)、晶面間距的變化――固溶化、原子嵌入與外應(yīng)力

點(diǎn)陣參數(shù)（晶胞參數(shù)）是晶體結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要物理參數(shù)。由于晶體中雜質(zhì)的溶入或固溶體中某一元素含量的變化等均能引起點(diǎn)陣參數(shù)的變化。通過精確地測(cè)定點(diǎn)陣參數(shù)，可以探討晶體結(jié)構(gòu)的變化等。測(cè)定點(diǎn)陣參數(shù)，首先要知道衍射峰的所對(duì)應(yīng)的衍射面指數(shù)，然后通過作圖法或最小二乘法等求算。若待測(cè)物質(zhì)是未知物質(zhì)，須首先對(duì)其指標(biāo)化，然后才能計(jì)算點(diǎn)陣參數(shù)。根據(jù)Bragg方程2dsinθ=nλ可以得出，當(dāng)θ接近90°時(shí)，所測(cè)的晶面間距d值的誤差最?。é/Δθ最?。?；因此，要獲得高精度的點(diǎn)陣參數(shù)，應(yīng)盡可能多地測(cè)定高角度的衍射線。423.點(diǎn)陣參數(shù)、晶面間距的變化――固溶化、原子嵌入與外應(yīng)力

準(zhǔn)確的晶胞參數(shù)有各方面的應(yīng)用：(1)根據(jù)準(zhǔn)確的晶胞參數(shù)、化學(xué)式量M和晶體的準(zhǔn)確密度D及晶胞中原子或分子數(shù)Z，測(cè)定Avogadro常數(shù)NA:NA＝ZM/VD(2)測(cè)定熱膨脹系數(shù)：粉末法能測(cè)出各向異性的數(shù)據(jù)；(3)測(cè)定固溶度，用以繪制相圖等。另外，金屬材料等在外力的作用下產(chǎn)生了外應(yīng)力，這種外力也可以改變晶面間距(d值)，這種應(yīng)變叫均勻應(yīng)變。在材料的彈性極限內(nèi)，應(yīng)力的大小與晶面間距的變化成正比。外力消失后這種均勻應(yīng)變?nèi)钥赡軞埩?，稱之為殘余應(yīng)力。通過測(cè)量試樣不同方向上d值的變化，則可求得應(yīng)力的大小。434.X射線衍射峰的寬化及晶粒大小的測(cè)定

從X射線衍射原理可以看出，當(dāng)晶體點(diǎn)陣的周期數(shù)N不是很大時(shí)，X射線衍射峰不再集中在一點(diǎn)上，而具有一定的寬度，且衍射峰的寬度隨著N值的減小而增大。因此，X射線衍射峰的寬度與晶體點(diǎn)陣的周期數(shù)直接相關(guān)，或者說與晶粒的大小相關(guān)。1918年，Scherrer就推導(dǎo)出了衍射峰的寬度與小晶粒尺寸之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式：444.X射線衍射峰的寬化及晶粒大小的測(cè)定

式中，Dhkl晶粒的平均尺寸（準(zhǔn)確的說是垂直于hkl晶面方向的晶粒的平均尺寸）

λ：所采用的X射線的波長(zhǎng)β：由晶粒大