第03章 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)01-轉(zhuǎn)動(dòng)定律

一、剛體(rigid

body)第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)§1剛體、剛體的運(yùn)動(dòng)（2）剛體可以看作是由“一系列”質(zhì)點(diǎn)組成的，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)組或質(zhì)元組。質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)遵守質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性。（1）剛體也是一個(gè)理想化模型。說(shuō)明：（3）剛體的選取具有相對(duì)性，某一物體有些情況下可以描述為剛體，有時(shí)則不能?；颍涸谑芰蜻\(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意兩部分之間的距離和相對(duì)位置保持不變物體。在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。1二、剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的平動(dòng)可以由其質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)描述?；蛘呷我赓|(zhì)元運(yùn)動(dòng)都代表整體運(yùn)動(dòng)。1.平動(dòng)(translation)剛體的運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、滾動(dòng)。ABA’B’B”A”剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同?；?，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體上的任意一條直線(xiàn)在各個(gè)時(shí)刻的位置都相互平行。2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(fixed-axisrotation)：若轉(zhuǎn)軸相對(duì)于給定的參考系在空間固定不動(dòng)，則稱(chēng)剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以描述為：隨某點(diǎn)(基點(diǎn))的平動(dòng)+過(guò)該點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。（如：運(yùn)行的車(chē)輪），2.轉(zhuǎn)動(dòng)(rolation)這條線(xiàn)為轉(zhuǎn)軸。組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(xiàn)做圓周運(yùn)動(dòng)。3轉(zhuǎn)動(dòng)的例子——3.剛體的滾動(dòng)4剛體的一般運(yùn)動(dòng)=質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+5§2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述一、

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述減速加速轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)半徑質(zhì)元（1）研究剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的——轉(zhuǎn)動(dòng)平面、質(zhì)元、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。（3）剛體上所有質(zhì)元都具有相同的角位移、相同的角速度、相同的角加速。（2）各質(zhì)元都繞同轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)。圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。（4）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)。6二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度2.角位移的大小

1.角坐標(biāo)3.角速度的大小約定：沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示。參考軸4.角加速度的大小75.勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為恒量時(shí)，剛體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量。8三、剛體上某一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)9P*O

:力臂剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢。

對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩

一、力矩(momentofforce)§3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律10討論：（1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面的兩個(gè)分量（2）合力矩等于各分力矩的矢量和。其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為O11（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消。O（4）對(duì)于質(zhì)點(diǎn)12二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體而言，設(shè)和分別為作用于質(zhì)元上的外力和內(nèi)力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量。為剛體內(nèi)任意質(zhì)元。根據(jù)牛頓第二定律：自然坐標(biāo)系下的分量式：13法向分量和對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩為零。切向分量式兩端同乘，并考慮到：直至取遍整個(gè)剛體。則對(duì)整個(gè)剛體，有：作用于剛體內(nèi)每一質(zhì)元上的內(nèi)力矩的矢量和為零，即14定義：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(momentofinteria)為作用于剛體內(nèi)每一質(zhì)元上的外力矩的矢量和。則有：即：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比?！?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)規(guī)律。15三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量的微元對(duì)于質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)質(zhì)量線(xiàn)分布的剛體：為質(zhì)量線(xiàn)密度

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：為質(zhì)量面密度

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：為質(zhì)量體密度16解設(shè)棒的線(xiàn)密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元O′O例1一質(zhì)量為、長(zhǎng)為

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。O′O**如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒17平行軸定理質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為CO選講轉(zhuǎn)動(dòng)慣量疊加定理ACzB18ORO例2一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心O

并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)圓盤(pán)面密度為，在盤(pán)上取半徑為，寬為的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置。P圓盤(pán)對(duì)P軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量19竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？20（1）如圖所示,滑輪和繩子的質(zhì)量均不計(jì)，滑輪與繩間的摩擦力以及滑輪與軸間的摩擦力均不計(jì)。且。求重物釋放后，物體的加速度和繩的張力。解以地面為參考系畫(huà)受力圖、選取坐標(biāo)如圖例3阿特伍德機(jī)21解以地面為參考系（2）如圖所示,不計(jì)繩子的質(zhì)量，滑輪的質(zhì)量與半徑分別為M和R，滑輪與繩間只滾不滑，不計(jì)滑輪與軸間的摩擦力。且。求重物釋放后，物體的加速度和繩的張力。例3阿特伍德機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)定律2223ABC（3）如圖所示,不計(jì)繩子的質(zhì)量，滑輪的質(zhì)量與半徑分別為M和R，滑輪與繩間只滾不滑，不計(jì)滑輪與軸間的摩擦力。且。求重物釋放后，物體的加速度和繩的張力。OO取坐標(biāo)如圖24ABC由上述方程組解得：25（4）如圖所示,不計(jì)繩子的質(zhì)量，滑輪的質(zhì)量與半徑分別為M和R，滑輪與繩間只滾不滑，若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為Mf

。求重物釋放后，物體的加速度和繩的張力。ABC26由上述方程組解得：27例4一長(zhǎng)為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)。由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng)。試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線(xiàn)成角時(shí)的角加速度和角速度。解：細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得式中28得：由角加速度的定義：代入初始條件積分：得：29例5一長(zhǎng)質(zhì)量為半徑為厚