第八章無窮級數(shù)課題二十九級數(shù)的概念和斂散性

【重、難點】重點：級數(shù)的相關(guān)概念，由數(shù)列知識引出。難點：正確判斷級數(shù)的斂散性，由實例講解方法。【授課時數(shù)】總時數(shù)：4學(xué)時.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知道級數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)；2、會用比較審斂法和比值審斂法判斷正項級數(shù)的斂散性；3、會判斷交錯級數(shù)和一般級數(shù)的斂散性。1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問題的提出1.級數(shù)的定義一般項3.級數(shù)的分類2.級數(shù)的部分和記作二、級數(shù)的概念

上述數(shù)列中,(1)、(2)是數(shù)項級數(shù)，(3)、(4)是函數(shù)項級數(shù).4.級數(shù)的收斂與發(fā)散解[例1]判別級數(shù)的斂散性.解[例2]判別無窮級數(shù)的斂散性.解[例3]討論等比級數(shù)

的斂散性.

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上知,等比級數(shù)（幾何級數(shù)）注意：(可以用(2)來快速判斷級數(shù)的發(fā)散.)三、基本性質(zhì)結(jié)論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性不變.1.定義:級數(shù)稱為正項級數(shù).2.比較審斂法四、正項級數(shù)及其審斂法使用比較審斂法常用的三個結(jié)論:解[例4]判斷下列級數(shù)的斂散性:解[例4]判斷下列級數(shù)的斂散性:小結(jié)1.級數(shù)的概念2.級數(shù)的部分和3.級數(shù)的收斂與發(fā)散4.級數(shù)的基本性質(zhì)5.正項級數(shù)的概念6.正項級數(shù)的比較審斂法練習(xí)題3.比較審斂法的極限形式設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散.4.極限審斂法：解∴原級數(shù)發(fā)散.

[例5]判斷下列級數(shù)的斂散性:∴原級數(shù)收斂.

[例5]判斷下列級數(shù)的斂散性:解5.比值審斂法(達(dá)朗貝爾D’Alembert判別法)：比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).兩點注意:解[例6]判斷下列級數(shù)的斂散性:解[例6]判斷下列級數(shù)的斂散性:(比值審斂法失效,改用比較審斂法)[例6]判斷下列級數(shù)的斂散性:解[例6]判斷下列級數(shù)的斂散性:解故該級數(shù)收斂.6.根值審斂法(柯西判別法)：定義:正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).五、交錯級數(shù)及其審斂法解故原級數(shù)收斂.[例7]判斷下列級數(shù)的斂散性:解故原級數(shù)收斂.[例7]判斷下列級數(shù)的斂散性:定義1:正、負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)六、絕對收斂與條件收斂解故由定理知原級數(shù)絕對收斂，即原級數(shù)收斂.[例8]判斷下列級數(shù)的斂散性:解故由定理知原級數(shù)絕對收斂，即原級數(shù)收斂.[例8]判斷下列級數(shù)的斂散性:解級數(shù)，故原級數(shù)條件收斂.[例8]判斷下列級數(shù)的斂散性:正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.比較法5.比值法6.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);小結(jié)思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.練習(xí)題發(fā)散收斂通過本課題學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該達(dá)到：1．會用比較審斂法和比值審斂