第六章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

第六章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布本章框架結(jié)構(gòu)一、統(tǒng)計(jì)量二、關(guān)于分布的幾個(gè)概念三、幾種常見(jiàn)的分布四、總體分布、樣本分布和抽樣分布五、常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布一、統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量是用來(lái)描述樣本特征的概括性數(shù)字度量。它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的一個(gè)量，由于抽樣是隨機(jī)的，因此統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它不依賴(lài)于任何未知參數(shù)。（第一章）設(shè)X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)，不依賴(lài)于任何未知參數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計(jì)量

【例】設(shè)是從總體X中抽取一個(gè)樣本，下面哪一個(gè)不是統(tǒng)計(jì)量（）次序統(tǒng)計(jì)量定義：設(shè)X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，X稱(chēng)為第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，它是樣本(X1,X2,…,Xn

)滿(mǎn)足如下條件的函數(shù)：每當(dāng)樣本得到一組觀(guān)值時(shí)，

其由小到大的排序中，

第i個(gè)值就作為次序統(tǒng)計(jì)量X（i）的觀(guān)測(cè)值，而X（1），X（2），…，X（n）稱(chēng)為次序統(tǒng)計(jì)量中位數(shù)、分位數(shù)、四分位數(shù)等都是次序統(tǒng)計(jì)量【例】下列不是次序統(tǒng)計(jì)量的是（）A.中位數(shù)B.均值C.四分位數(shù)D.極差二、抽樣分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱(chēng)為該統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量結(jié)果來(lái)自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長(zhǎng)遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù)抽樣分布的形成過(guò)程總體樣本計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比例、方差統(tǒng)計(jì)量的漸近分布樣本均值漸近正態(tài)分布。假設(shè)樣本

X=X1,X2,…,Xn

隨機(jī)地抽取具有均值和方差的總體，則當(dāng)

時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量漸近的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.三、由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布1、分布2、t分布3、F分布3、分布(distribution)（1）由阿貝(Abbe)于1863年首先給出，后來(lái)由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來(lái)。（2）定義：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則他們的平方和服從自由度為n的分布。（3）圖象：（如圖）（4）性質(zhì)和特點(diǎn)分布的變量值始終為正；分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對(duì)稱(chēng)的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱(chēng)；常用于方差的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，以及列聯(lián)分析中。期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)；可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的2分布隨機(jī)變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為n1+n2的2分布；當(dāng)自由度增加到足夠大時(shí)，2分布的概率密度曲線(xiàn)趨于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，2分布的極限分布是正態(tài)分布。(5)分位數(shù)：設(shè)，若對(duì)于：0<<1，

存在滿(mǎn)足

X

~2(n)則稱(chēng)為2(n)分布的上分位點(diǎn)

（6）實(shí)際應(yīng)用：與分布有關(guān)的抽樣分布：設(shè)，則，令，則X服從自由度為1的2分布，即。當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則：4、t分布(tdistribution)（1）也稱(chēng)學(xué)生氏分布，是威廉·戈塞爾（W．S．Gosset）于1908年在一篇以“學(xué)生”為筆名的論文中首次提出的。（2）定義：設(shè)隨機(jī)變量，，且與獨(dú)立，則，其分布稱(chēng)為t分布，記為t(n)，其中n為其自由度。（3）圖象：（如右圖）（4）性質(zhì)和特點(diǎn)：①當(dāng)時(shí)，t分布的數(shù)學(xué)期望；當(dāng)時(shí)，t分布的方差。②自由度為1的t分布稱(chēng)為柯西分布。③隨著自由度n的增加，t分布的密度函數(shù)愈來(lái)愈接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。實(shí)際中，當(dāng)時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就非常接近。④t分布的提出對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)中小樣本理論和應(yīng)用有著重要的促進(jìn)作用。t分布圖示xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z分位點(diǎn)

設(shè)t～t(n),若對(duì):0<<1,存在t(n)>0,滿(mǎn)足P{t>t(n)}=，則稱(chēng)t(n)為t(n)的上分位點(diǎn)。

注:（5）實(shí)際應(yīng)用：與t分布有關(guān)的抽樣分布：①設(shè)來(lái)自正態(tài)分布的一個(gè)樣本，，，則稱(chēng)為服從自由度為的t分布。5、F分布(Fdistribution)（1）由統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一個(gè)字母來(lái)命名；（2）定義：設(shè)若U為服從自由度為m的2分布，即U~2(m)，V為服從自由度為n的2分布，即V~2(n),且U和V相互獨(dú)立，則，稱(chēng)F為服從自由度m和n的F分布， 記為。（3）圖象：（如右圖）（4）性質(zhì)和特點(diǎn)：①F分布的數(shù)學(xué)期望；方差；②F分布的p分位數(shù)：；③F分布與t分布的關(guān)系：如果隨機(jī)變量服從分布，則服從的F分布，則：④F分布的應(yīng)用廣泛，如在方差分析、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)中都有重要地位。二、總體分布、樣本分布和抽樣分布1、總體分布(populationdistribution)①定義：總體中各元素的觀(guān)察值所形成的分布；②特點(diǎn)：分布通常是未知的；可以假定它服從某種分布。2、樣本分布(sampledistribution)①定義：也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)分布，是一個(gè)樣本中各觀(guān)察值的分布；②特點(diǎn)：當(dāng)樣本容量n逐漸增大時(shí)，樣本分布逐漸接近總體的分布。3、抽樣分布(samplingdistribution)①定義：樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布；②特點(diǎn)：A、是一種理論概率分布；B、隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量；如：樣本均值,樣本比例，樣本方差等；C、結(jié)果來(lái)自容量相同的所有可能樣本；D、為我們提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長(zhǎng)遠(yuǎn)穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù)。三、常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布1、樣本均值的抽樣分布2、樣本比例的抽樣分布3、樣本方差的抽樣分布1、樣本均值的抽樣分布1)當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，樣本均值的抽樣分布仍為正態(tài)分布，服從均值為，方差為的正態(tài)分布，即：。【證明P143】2)當(dāng)總體不是正態(tài)分布時(shí)，當(dāng)樣本量n比較大，且總體的方差有限時(shí)，樣本均值仍近似服從正態(tài)分布，即：?！疽?jiàn)“中心極限定理”】=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n的樣本的均值

也服從正態(tài)分布，

的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即中心極限定理當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布推論：從均值為，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體x

的分布趨于正態(tài)分布的過(guò)程

【注意】大樣本，小樣本之間的區(qū)別并不是以樣本容量大小來(lái)區(qū)別的。小樣本問(wèn)題：在樣本容量固定的條件下所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷、問(wèn)題分析，不管樣本容量有多大，都成為小樣本問(wèn)題。大樣本問(wèn)題：在樣本容量的條件下進(jìn)行的推斷、問(wèn)題分析則成為大樣本問(wèn)題。

因此：一般地，統(tǒng)計(jì)學(xué)中將稱(chēng)為大樣本，為小樣本的說(shuō)法只是一種經(jīng)驗(yàn)的說(shuō)法。例題：P144，例6.46.5解:設(shè)隨機(jī)變量X表示從該批發(fā)動(dòng)力中任取一件發(fā)動(dòng)機(jī)的功率值.Xi表示抽取的第i臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率值(i=1,2…100).則顯然X1…X100獨(dú)立同分布,且與總體X具有相同的分布,且故由中心極限定理知【例】已知一批發(fā)動(dòng)機(jī)的平均功率為220馬力,標(biāo)準(zhǔn)差為15馬力.一位購(gòu)買(mǎi)商隨機(jī)抽取100臺(tái).試問(wèn)樣本均值低于217馬力的概率為多少?從而例1練習(xí)：1、從一個(gè)均值μ=10、標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.6的總體中隨機(jī)選取容量為n=36的樣本，假定總體不是很偏（1）計(jì)算樣本均值小于9.9的近似概率（2）計(jì)算樣本均值超過(guò)9.9的近似概率（3）計(jì)算樣本均值在總體均值μ=10附近0.1范圍內(nèi)的近似概率2、某汽車(chē)電瓶商聲稱(chēng)其產(chǎn)品具有均值為60個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差為6個(gè)月的壽命分布，為了判斷該說(shuō)法是否準(zhǔn)確，隨機(jī)抽取了50個(gè)該廠(chǎng)生產(chǎn)的電瓶進(jìn)行壽命試驗(yàn)（1）假定廠(chǎng)商聲稱(chēng)正確，描述50個(gè)樣本電瓶平均壽命的抽樣分布？（2）假定廠(chǎng)商聲稱(chēng)正確，則50個(gè)樣品組成的樣本的平均壽命不超過(guò)57個(gè)月的概率為多少？例22、樣本比例的抽樣分布 設(shè)總體單位數(shù)，具有某種標(biāo)志為1，不具有的某種標(biāo)志為0，總體的單位數(shù)分別為和，樣本的單位數(shù)分別