第6章信道編碼

第6章信道編碼信道編碼是以信息在信道上的正確傳輸為目標(biāo)的編碼，可分為兩個(gè)層次上的問(wèn)題：如何正確接收載有信息的信號(hào)－－線(xiàn)路編碼如何避免少量差錯(cuò)信號(hào)對(duì)信息內(nèi)容的影響－－糾錯(cuò)編碼

描述編碼：用于對(duì)特定數(shù)據(jù)信號(hào)的描述:

不歸零碼（NotReturntoZero，NRZ）約束編碼：用于對(duì)特定信號(hào)特性的約束:HDB3碼擴(kuò)頻編碼：用于擴(kuò)展信號(hào)頻譜為近似白噪聲譜并滿(mǎn)足某些

相關(guān)特性:m序列糾錯(cuò)編碼：用于檢測(cè)與糾正信號(hào)傳輸過(guò)程中因噪聲干擾導(dǎo)

致的差錯(cuò)：循環(huán)碼信道編碼的作用和分類(lèi)消息m信道編碼

編碼信道

信道譯碼

碼字C接收向量R消息^m編碼信道模型編碼信道n-1

當(dāng)碼字C和接受向量R均由二元序列表示，稱(chēng)編碼信道為二元信道。如果對(duì)于任意的n都有：P(r/c)=∏p(ri/ci)則稱(chēng)此二進(jìn)制信道為無(wú)記憶二元信道如果轉(zhuǎn)移概率：p(0/1)=p(1/0)=pb則稱(chēng)此信道為無(wú)記憶二元對(duì)稱(chēng)信道BSC幾個(gè)概念BSC轉(zhuǎn)移概率BSC編碼信道BSC輸入輸出關(guān)系等效為差錯(cuò)圖案：隨機(jī)序列或

第i位上的一個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤：差錯(cuò)圖案e例如:C=[10000],e=[01000],R=?R=(11000)碼元的組成及關(guān)系消息序列m總以k個(gè)碼元為一組傳輸，稱(chēng)k個(gè)碼元的碼組為信息碼組。信道編碼器按一定規(guī)則對(duì)每個(gè)信息碼組附加一些多余的碼元，構(gòu)成長(zhǎng)為n個(gè)碼元的碼組c（信道編碼）。附加的r=n-k個(gè)碼元稱(chēng)為監(jiān)督碼元。檢糾錯(cuò)是根據(jù)信道輸出序列r,判斷r是否可能是發(fā)送的c，或糾正導(dǎo)致r不等于c的錯(cuò)誤。冗余編碼：碼字c的長(zhǎng)度n一定大于消息m的長(zhǎng)度k

糾錯(cuò)編碼編碼碼率R：每個(gè)碼字的序列符號(hào)（或碼元）平均傳送的消息比特?cái)?shù)檢錯(cuò)和糾錯(cuò)目的性質(zhì)偶（或奇）校驗(yàn)方法：實(shí)現(xiàn)檢糾錯(cuò)目的的一個(gè)基本方法。

一個(gè)偶校驗(yàn)位P是對(duì)消息m使得如下校驗(yàn)方程成立的二進(jìn)制符號(hào)，即一個(gè)偶校驗(yàn)碼碼字

校驗(yàn)方程為1表明一定有奇數(shù)個(gè)差錯(cuò)，校驗(yàn)方程為0表明可能有偶數(shù)個(gè)差錯(cuò)。

檢錯(cuò)和糾錯(cuò)方法重復(fù)消息位：實(shí)現(xiàn)檢糾錯(cuò)目的第二個(gè)基本方法

一個(gè)n重復(fù)碼是一個(gè)碼率R為1/n的碼，僅有兩個(gè)碼字C0和C1，傳送1比特（k=1）消息。n重復(fù)碼可以檢測(cè)出任意小于n個(gè)差錯(cuò)的錯(cuò)誤圖案，糾正任意小于n/2個(gè)差錯(cuò)的錯(cuò)誤圖案。等重碼或定比碼：實(shí)現(xiàn)檢糾錯(cuò)的第三個(gè)方法。

設(shè)計(jì)碼字重量(碼字中非0元素個(gè)數(shù))w(c)恒為常數(shù)，即

5中取3等重碼

1234567890010111100110110110100011110101111000111010011011015中取3等重碼可以檢測(cè)出全部奇數(shù)位差錯(cuò)，對(duì)某些碼字的傳輸則可以檢測(cè)出部分偶數(shù)位差錯(cuò)。糾錯(cuò)碼的應(yīng)用方式：前向糾錯(cuò)方式（FEC），自動(dòng)請(qǐng)求重發(fā)（ARQ）方式，混合糾錯(cuò)（HEC）方式以及信息反饋（IRQ方式）FEC與ARQ糾錯(cuò)應(yīng)用方式

檢錯(cuò)和糾錯(cuò)方式

常用漢明距離來(lái)描述檢糾差錯(cuò)的數(shù)目，對(duì)于兩n長(zhǎng)向量u，v漢明距離為：

最小漢明距離dmin（最小碼距d）：任意兩碼字之間的漢明距離的最小值。檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力定理:

對(duì)一個(gè)最小距離為dmin糾錯(cuò)碼，如下三個(gè)結(jié)論僅有其中任意一個(gè)結(jié)論成立，

（1）

可以檢測(cè)出任意小于等于個(gè)差錯(cuò)；

（2）

可以糾正任意小于等于個(gè)差錯(cuò)；（3）可以檢測(cè)出任意小于等于l同時(shí)糾正小于等于t個(gè)差錯(cuò)，其中l(wèi)和t滿(mǎn)足最小碼距與檢糾錯(cuò)能力

糾錯(cuò)碼的分類(lèi)根據(jù)信息元和監(jiān)督元之間的關(guān)系分為：線(xiàn)性碼：信息元與監(jiān)督元之間呈線(xiàn)性，可用一組線(xiàn)性方程聯(lián)系起來(lái)；非線(xiàn)性碼：信息元與監(jiān)督元之間不具有線(xiàn)性關(guān)系?！?.2線(xiàn)性分組碼

§6.2.1線(xiàn)性分組碼的矩陣描述根據(jù)對(duì)信息碼元處理方法的不同分為：

分組碼：信息序列以每k個(gè)碼元進(jìn)行分組，每組k個(gè)信息元按一定規(guī)律產(chǎn)生r個(gè)監(jiān)督碼元，輸出序列長(zhǎng)為n=k+r，r只與k個(gè)信息位有關(guān)，記（n，k）。分組碼分為循環(huán)碼和非循環(huán)碼。卷積碼：以k個(gè)碼元分段，r不僅與k個(gè)信息位有關(guān)，還與前面L段的信息元有關(guān)，記為（n，k，L）。線(xiàn)性分組碼：通過(guò)預(yù)定的線(xiàn)性運(yùn)算將長(zhǎng)為k的信息碼組變成長(zhǎng)為n的碼字（n>k），由2n個(gè)碼字組成的集合稱(chēng)為線(xiàn)性分組碼。（n，k）線(xiàn)性碼：信息位長(zhǎng)k，碼字長(zhǎng)n，監(jiān)督位r=n-k，編碼效率線(xiàn)性分組碼線(xiàn)性分組碼的矩陣描述一個(gè)（n,k）線(xiàn)性分組碼C是稱(chēng)為碼字c的n維向量的集合

C={c|c=mG}其中m為任意的k維向量并稱(chēng)為消息向量。線(xiàn)性分組碼的生成矩陣?yán)?(6,3)二進(jìn)制分組碼的輸入信息組是m=(m2m1m0),碼組輸出是c=(c5c4c3c2c1c0)。已知輸入、輸出碼元之間的關(guān)系式c5=m2,c4=m1,c3=m0,c2=m2+m1,c1=m2+m1+m0,c0=m2+m0，求碼集C以及編碼時(shí)的映射算法。解：將關(guān)系式列成線(xiàn)性方程組，然后寫(xiě)成矩陣形式如下：生成矩陣信息組

(m2m1m0)

碼字（c5c4c3c2c1c0

)000000000000001011010010110011011101100100111101101100110110001111111010例6.2.13重復(fù)碼是一個(gè)（3，1）線(xiàn)性分組碼例6.2.2（4，3）偶校驗(yàn)碼是一個(gè)（4，3）線(xiàn)性分組碼n-k個(gè)校驗(yàn)位可用k個(gè)已知的信息位表示出來(lái)一致校驗(yàn)矩陣一致校驗(yàn)矩陣H與任意一個(gè)碼字之積為零，因此有由G的每一行都是一個(gè)碼字，因此有一直校驗(yàn)矩陣與生成矩陣的關(guān)系G是k行n列的秩為k（n≥k）的生成矩陣系統(tǒng)碼：生成矩陣G具有如下形式對(duì)于系統(tǒng)碼相應(yīng)的一致校驗(yàn)矩陣Hs對(duì)偶碼：以線(xiàn)性分組碼的一致校驗(yàn)矩陣為生成矩陣稱(chēng)為原線(xiàn)性分組碼的對(duì)偶碼。例6.2.3一個(gè)（5，3）線(xiàn)性分組碼的其中到的行初等變換過(guò)程為：？

例：考慮一個(gè)（7，4）碼，其生成矩陣是：①對(duì)于信息組m=(1011),編出的碼字是什么？②若接收到一個(gè)7位碼r=(1001101),檢驗(yàn)它是否為碼字？解：設(shè)輸入信息組編碼后的碼字①由c=mG可知，將m和G的值代入，可得對(duì)應(yīng)碼字本題由于是系統(tǒng)碼，

前4位不必計(jì)算，后3個(gè)校驗(yàn)位可以根據(jù)生成矩陣G的分塊陣P列出現(xiàn)行方程組如下將代入方程組，得所以碼字為c=[1011000]。②H矩陣如下：根據(jù)式，如果接受到的r是屬于碼集C的某碼字，必有；反之，如，說(shuō)明r必定不是碼字。將H和r=[1001101]代入式，得：說(shuō)明r與H不正交，接收的r=(1001101)不是碼字。檢錯(cuò)譯碼：譯碼器輸出為當(dāng)前接收向量r和r是否有差錯(cuò)的標(biāo)志s，即y=(r,s)?！?.2.2線(xiàn)性分組碼的譯碼糾錯(cuò)譯碼的譯碼成功狀態(tài)：譯碼器能夠在達(dá)到譯碼碼字差錯(cuò)概率最小條件下輸出一個(gè)確切的碼字，即。糾錯(cuò)譯碼的譯碼失敗狀態(tài)：譯碼器不能輸出一個(gè)確切的碼字，通常此時(shí)的輸出y與檢錯(cuò)譯碼輸出相同。

伴隨式S：(n,k）線(xiàn)性分組碼的伴隨式是一個(gè)r(r=n-k)維向量，則傳輸中一定有錯(cuò)誤發(fā)生。，則傳輸中要么無(wú)差錯(cuò)發(fā)生，要么差錯(cuò)圖案恰好為一個(gè)碼字。

（1）漢明碼漢明碼不是指一個(gè)碼，而是代表一類(lèi)碼；漢明碼碼長(zhǎng)n和信息位k服從以下規(guī)律：(n,k)=(2m-1,2m-m-1)；漢明碼的最小距離d=3；所以，糾錯(cuò)能力t=1；§6.2.3碼例與碼的重構(gòu)例6.2.4一個(gè)二元（7，4）Hamming碼的系統(tǒng)碼形式的矩陣和校驗(yàn)矩陣分別為

等價(jià)的編碼方程為

伴隨式計(jì)算方程：（2）Hadamard碼Hadamard碼是由Hadamard矩陣派生出的一種糾錯(cuò)碼

階實(shí)Hadamard矩陣由元素為+1，-1的矩陣遞歸定義：Hadamard矩陣為正交矩陣，即中的任意不同兩行（列）的點(diǎn)積為0，即

超正交矩陣：Hadamard矩陣中的第1列（全+1列）去掉后任兩行的點(diǎn)積為-1。

將Hadamard矩陣元素+1/-1映射為0/1，則Hadamard矩陣映射后的行向量為一個(gè)二元向量，以這些二元向量的部份或全體就構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)0/1二元意義上的分組碼，并稱(chēng)為Hadamard碼。具體的Hadamard碼的選擇構(gòu)成有正交碼、雙正交碼和超正交碼三種形式。

（A）正交碼：以的全部行向量的0/1映射向量為碼字。（B）雙正交碼：以和-的全部行向量的0/1映射向量為碼字。

（C）超正交碼：以的全部行向量的0/1映射向量為碼字。

例6.2.5（7，3）超正交碼的超正交矩陣H8和生成矩陣G分別為

(3)里德-穆勒（Reed-Muller）碼r階碼RM(r,m)是一種(n,k,d)線(xiàn)性分組碼，滿(mǎn)足其中各個(gè)子矩陣的定義為：1）G0為矩陣，由全1向量構(gòu)成。2）G1為矩陣，由所有可能的m元組組成矩陣的列向量。3）G2為G1的所有兩個(gè)不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣。兩向量的叉積為4）G3為G1的所有三不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣。5）Gr為G1的所有r個(gè)不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣。例6.2.6m=3的r階RM碼的各個(gè)子矩陣有（4）戈雷碼

二元戈雷碼是一種就糾3個(gè)錯(cuò)的完備線(xiàn)形分組碼，滿(mǎn)足：{n=23k=12由于

因此某種二元（23,12）碼一定可以糾正任意小于等于3個(gè)差錯(cuò)，所以

(1)擴(kuò)展(2)打孔(3)增廣(4)刪信(5)延長(zhǎng)(6)縮短(7)乘積(8)級(jí)聯(lián)(9)交織6.3循環(huán)碼循環(huán)碼是一種特殊的線(xiàn)性分組碼，屬于線(xiàn)性分組碼的一個(gè)重要子類(lèi)，也是目前研究最為透徹的一類(lèi)碼，大多數(shù)有實(shí)用價(jià)值的糾錯(cuò)碼都是循環(huán)碼。循環(huán)碼與一般的線(xiàn)性分組碼相比具有以下優(yōu)點(diǎn)：循環(huán)碼的編碼及譯碼易于用簡(jiǎn)單的具有反饋連接的移位寄存器來(lái)實(shí)現(xiàn)。

定義：一個(gè)線(xiàn)性分組碼，若具有下列特性，稱(chēng)為循環(huán)碼。設(shè)碼字c＝（cn-1，cn-2，…，c1，c0）若將碼元左移一位，得c(1)＝（cn-2，…，c1，c0，cn-1）c(1)是同一個(gè)碼序列C的一個(gè)碼字。循環(huán)碼的主要特點(diǎn)是：①理論成熟：可利用成熟的代數(shù)結(jié)構(gòu)深入探討其性質(zhì)；②實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單：可利用循環(huán)移位特性在工程上進(jìn)行編、譯碼；③循環(huán)碼的描述方式有很多，但在工程上最常用的是采用多項(xiàng)式的描述方法。信息碼元碼字00000000000010011101010010011101101110101001001110101101001111011010011111110100表1循環(huán)碼的例子循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述

設(shè)有循環(huán)碼字c=(cn-1cn-2…c1c0)

，則可以用一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n-1的多項(xiàng)式惟一確定，其相應(yīng)的多項(xiàng)式可表示為：

(1)

由循環(huán)碼的特性可知，若c=(cn-1cn-2…c1c0)是循環(huán)碼C的一個(gè)碼字，則c(1)

=(cn-2cn-3…c0cn-1)

也是該循環(huán)碼的一個(gè)碼字，它的碼多項(xiàng)式為：

(2)

比較式(1)和式(2)，得：

碼多項(xiàng)式的系數(shù)碼多項(xiàng)式的次數(shù)(cn-1≠0)該式說(shuō)明，碼字循環(huán)一次的碼多項(xiàng)式C(1)(x)是原碼多項(xiàng)式乘x后再除以xn+1所得的余式，即：

由此可以推知，C(x)的i次循環(huán)移位C(i)(x)是原碼多項(xiàng)式C(x)乘xi

后再除以xn+1所得的余式，即：

表2(7,3)循環(huán)碼的循環(huán)移位循環(huán)次數(shù)碼字碼多項(xiàng)式00011101x4+x3+x2+110111010x(x4+x3+x2+1)mod(x7+1)=x5+x4+x3+x21110100x2(x4+x3+x2+1)mod(x7+1)=x6+x5+x4+x231101001x3(x4+x3+x2+1)mod(x7+1)=x6+x5+x3+141010011x4(x4+x3+x2+1)mod(x7+1)=x6+x4+x+150100111x5(x4+x3+x2+1)mod(x7+1)=x5+x2+x+161001110x6(x4+x3+x2+1)mod(x7+1)=x6+x3+x2+x循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式定義：若g(x)是一個(gè)(n-k)次多項(xiàng)式，且是(xn+1)的因式，則由g(x)可以生成一個(gè)（n，k）循環(huán)碼，g(x)稱(chēng)為該循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。兩個(gè)結(jié)論（1）（n，k）循環(huán)碼中，存在著一個(gè)次數(shù)為(n-k)的首一碼多項(xiàng)式g(x)（首一：多項(xiàng)式最高冪次項(xiàng)系數(shù)gn-k=1

）（gn-k=1）

使得所有碼多項(xiàng)式v(x)都是g(x)的倍式，即：

故循環(huán)碼完全由它的生成多項(xiàng)式確定。(2)(n，k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)一定是(xn+1)的因子，即

相反，如果g(x)是xn+1的n-k次因子，則g(x)一定是（n，k）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。生成多項(xiàng)式不唯一。（n，k）循環(huán)碼的構(gòu)造（1）對(duì)(xn+1)做因式分解，找出(n–k)次因式；（2）以該(n–k)次因式為生成多項(xiàng)式g(x)與不高于k–1次信息多項(xiàng)式u(x)相乘，即得到對(duì)應(yīng)消息序列的碼多項(xiàng)式v(x)?！纠恳粋€(gè)長(zhǎng)度n=7的循環(huán)碼的構(gòu)造方法（1）對(duì)x7+1作因式分解

故x7+1有如下因式：

一次因式：

三次因式：

四次因式：

（一個(gè)）

（兩個(gè)）

（兩個(gè)）

六次因式：

（一個(gè)）

n–k=1，k=6，生成一種（7，6）循環(huán)碼；n–k=3，k=4，生成兩種（7，4）循環(huán)碼；n–k=4，k=3，生成兩種（7，3）循環(huán)碼；n–k=6，k=1，生成一種（7，1）循環(huán)碼；（2）若以n-k次因式作為生成多項(xiàng)式，可供選擇的有:例：要得到（7，4）循環(huán)碼，可選n–k=3次多項(xiàng)式1+x2+x3或1+x+x3為生成多項(xiàng)式：

以g（x）=1+x2+x3為例，（信息位長(zhǎng)度為4）

設(shè)信息多項(xiàng)式為：

則：循環(huán)碼編碼后的碼多項(xiàng)式為：

例：

對(duì)于上述（7，4）循環(huán)碼，有4個(gè)信息位，對(duì)應(yīng)有16個(gè)信息序列，利用16個(gè)信息序列多項(xiàng)式與生成多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可得全部（7，4）循環(huán)碼得16個(gè)碼字，如下表所示：信息位碼字信息位碼字信息位碼字信息位碼字00010010010010000111111010110001011001011001011001011000011000111000101000101001101101100111110010101101000111010111010111010011010011010011010011110011100000000000011011111111循環(huán)組1循環(huán)組2循環(huán)組3循環(huán)組4任何碼字的循環(huán)移位仍是碼字，并非由一個(gè)碼字循環(huán)移位可以得到所有碼字，上述（7，4）碼的碼集由4組碼字循環(huán)構(gòu)成。結(jié)論：當(dāng)一個(gè)循環(huán)碼給定其生成多項(xiàng)式g（x）后，根據(jù)生成多項(xiàng)式就可以進(jìn)行編碼。（n，k）循環(huán)碼是n維線(xiàn)性空間一個(gè)具有循環(huán)特性的k維的子空間，故（n，k）循環(huán)碼的生成矩陣可用碼空間中任一組k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的碼字構(gòu)成，即k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的碼字構(gòu)成（n，k）循環(huán)碼的基底，基底不唯一。如何得到k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的碼字？

方法：當(dāng)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g（x）給定后，可以取g（x）本身加上移位k–1次所得到的k–1碼字作為k個(gè)基底，即：

→構(gòu)成基底

循環(huán)碼的生成矩陣

若：

則：

各多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的矢量分別為：

這k個(gè)矢量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，且由g（x）循環(huán)移位得到，故都是碼字，由它們構(gòu)成一個(gè)k×n的矩陣，它們就是循環(huán)碼的生成矩陣。按照g(x)系數(shù)的升冪排列【例】（7，4）循環(huán)碼：

當(dāng)一個(gè)循環(huán)碼的生成矩陣確定后，其編碼規(guī)則為：

按照g(x)依次循環(huán)右移得到xg(x)等等循環(huán)碼的校驗(yàn)多項(xiàng)式一般情況下，多項(xiàng)式xn+1可因式分解為xn+1=g(x)·h(x)

g(x):(n，k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式，

h(x):(n，k)循環(huán)碼的一致校驗(yàn)多項(xiàng)式，在因式分解中，g(x)和h(x)處于同等地位，既可以用g(x)去生成一個(gè)循環(huán)碼，也可以用h(x)去生成一個(gè)循環(huán)碼。設(shè)由g(x)生成的碼為C，在由h(x)生成的碼就是C的對(duì)偶碼C⊥。

循環(huán)碼的校驗(yàn)矩陣設(shè)

則：將上述矢量按逆序排列作為一個(gè)（n-k）×n矩陣的行矢量，則該矩陣就是碼C的校驗(yàn)矩陣。按照h(x)系數(shù)的降冪排列注意若：G按照g(x)系數(shù)的升冪排列，則H要按照h(x)系數(shù)的降冪排列；若：G按照g(x)系數(shù)的降冪排列，則H要按照h(x)系數(shù)的升冪排列；系統(tǒng)循環(huán)碼

1、系統(tǒng)循環(huán)碼的編碼步驟：(1)將k個(gè)消息位按升冪排列的次序?qū)懗上⒍囗?xiàng)式u（x）

；

(2)用xn–k

乘以u(píng)（x）得到一個(gè)次數(shù)≤(n-1)的多項(xiàng)式；

(3)用xn–k

u（x）除以生成多項(xiàng)式g（x）得余式p(x)（一致校驗(yàn)元）；

(4)聯(lián)合p(x)和xn–k

u(x)得到系統(tǒng)循環(huán)碼多項(xiàng)式v(x)=p(x)+xn–k

u(x)；

(5)將碼多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為碼字?！纠浚?，4）循環(huán)碼：

求

的系統(tǒng)循環(huán)碼字。

【解】

，n＝7，k＝4

（1）

（2）P(x)（3）（4）2、系統(tǒng)循環(huán)碼的生成矩陣（1）由生成矩陣做初等行變換，將其變?yōu)樾问?，即為系統(tǒng)循環(huán)碼的生成矩陣（單位陣在后，信息位在尾部）。

求系統(tǒng)形式的生成矩陣?！纠浚?，4）循環(huán)碼：

(2)分別求除以g(x)的余式（記為），由余式對(duì)應(yīng)的矢量作行矢量構(gòu)成的k×(n-k)的分塊矩陣P，聯(lián)合k×k的單位陣I就構(gòu)成系統(tǒng)形式的生成矩陣：求系統(tǒng)形式的生成矩陣?！纠浚?，4）循環(huán)碼：

3、系統(tǒng)循環(huán)碼的校驗(yàn)矩陣

（1）對(duì)非系統(tǒng)形式的校驗(yàn)矩陣作初等行變換，

變成[In-k，PT]的形式；（2）

(3)分別求除以h(x)的余式記為，由余式對(duì)應(yīng)的逆矢量可得到系統(tǒng)形式的校驗(yàn)矩陣：【例】（7，4）循環(huán)碼：

（1）（2）（3）k=4，n–k–1=2

循環(huán)碼的伴隨多項(xiàng)式若接收向量r的多項(xiàng)式表示為r(x)r(x)=c(x)+e(x)則s(x)=r(x)modg(x)=e(x)modg(x)若s(x)=0則無(wú)差錯(cuò)，若s(x)不等于0，則一定有差錯(cuò)產(chǎn)生。6.4卷積碼將信息序列分隔成長(zhǎng)度為k的一個(gè)個(gè)分組某一時(shí)刻的編碼輸出不僅取決于本時(shí)刻的分組，而且取決于本時(shí)刻以前的m個(gè)分組。稱(chēng)m為記憶長(zhǎng)度稱(chēng)m＋1為約束長(zhǎng)度最重要的三個(gè)參數(shù)(n,k,m)卷積碼定義(n,k,m)卷積編碼示意圖

第i分組第i-1分組第i-2分組……第i-m分組

輸入

卷積編碼器（線(xiàn)性組合器）

c0ic1i…cn-2icn-1i

…………………………編碼輸出C

i卷積編碼器的一般結(jié)構(gòu)m0i-L……m0i-2m0i-1m0im1i-L……m1i-2m1i-1m1i串并變換線(xiàn)性組合器并串變換mk-1i-L……mk-1i-2mk-1i-1mk-1ic0ic1icn-2icn-1i…...........信號(hào)mi編碼輸出ci一個(gè)簡(jiǎn)單的卷積碼編碼例子初始狀態(tài)：00設(shè)輸入m