第五章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第五章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)流體動(dòng)力學(xué)概述5.1理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式5.2理想流體的伯努利方程式5.3實(shí)際流體總流的伯努利方程式5.4伯努利方程的應(yīng)用

5.5葉輪機(jī)械內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)伯努利方程5-6動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用流體動(dòng)力學(xué)概述流體動(dòng)力學(xué)是研究流體在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即研究流體動(dòng)力學(xué)物理量和運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量之間的關(guān)系的科學(xué)。流體動(dòng)力學(xué)主要研究?jī)?nèi)容就是要建立流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量平衡定律、動(dòng)量矩平衡定律和能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律）、流量測(cè)量原理。5.1

理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式1、選取控制體：在所研究的運(yùn)動(dòng)流體中，任取一微小平行六面體，如圖5-1所示。六面體邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz，平均密度為，頂點(diǎn)A處的壓強(qiáng)為p。2、受力分析質(zhì)量力：fxdxdydz,fydxdydz,fzdxdydz

表面力：設(shè)A點(diǎn)壓強(qiáng)為p時(shí)，則與其相鄰的ABCD、ADEH、ABGH三個(gè)面上的壓強(qiáng)均為p，而與這三個(gè)面相對(duì)應(yīng)的EFGH、BCFG、CDEF面上的壓強(qiáng)可由泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)略去二階以上無(wú)窮小量而得到，分別為則x、y、z軸向上的表面力分別為：X軸：Y軸：Z軸：則根據(jù)牛頓第二定律有：化簡(jiǎn)整理得：歐拉運(yùn)歐拉平動(dòng)微分衡微分方程式方程式其中加速度項(xiàng)可分解為時(shí)變加速度和位變加速度之和：歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式又可以表示為：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式一、理想流體沿流線(xiàn)的伯努利方程式在流場(chǎng)中任取一流線(xiàn)，假設(shè)單位質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)的速度為v=ui+vj+wk。不論運(yùn)動(dòng)是否定常，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間質(zhì)點(diǎn)沿流線(xiàn)移動(dòng)一段微小位移dl=dxi+dyj+dzk則單位質(zhì)量理想流體沿這段微元流線(xiàn)移動(dòng)時(shí)外力所作的功為：在定常流動(dòng)的條件下

5.2理想流體的伯努利方程式令平均速度兩邊求導(dǎo)得：

所以上式化簡(jiǎn)為若流體不可壓縮，即=c，積分上式得在重力場(chǎng)中如果流體所受的質(zhì)量力只有重力，則

fx=0，fy=0，fz=-g，U=-gz得到理想不可壓縮流體重力作用下沿流線(xiàn)的伯努利方程式：式一式二式三二、理想流體總流的伯努利方程1、動(dòng)能修正系數(shù)α用平均速度表示的單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一過(guò)流斷面的流體動(dòng)能為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)同一過(guò)流斷面的真實(shí)流體動(dòng)能為：(忽略二級(jí)無(wú)窮小)所以2、緩變流動(dòng)及其特性緩變流動(dòng)：流線(xiàn)間夾角很小，流線(xiàn)曲率很小，即流線(xiàn)幾乎是一些平行直線(xiàn)的流動(dòng)。緩變過(guò)流斷面：如果在流束的某一過(guò)流斷面上的流動(dòng)為緩變流動(dòng)，則稱(chēng)此斷面為緩變過(guò)流斷面。緩變流動(dòng)具有以下兩條主要特性：（1）在緩變流動(dòng)中，質(zhì)量力只有重力。（2）在同一緩變過(guò)流斷面上，任何點(diǎn)上的靜壓水頭都相等。3、理想流體總流的伯努利方程式任取1-1、2-2兩過(guò)流截面，并在其上取一微小流束，對(duì)應(yīng)的面積分別為dA1和dA2

，對(duì)應(yīng)的速度分別為u1和u2

，對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)分別為p1和p2，相對(duì)于基準(zhǔn)面的位置高度分別為z1

和z2。對(duì)于理想流體，每一微小流束上單位重量流體的能量關(guān)系式為單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)總流過(guò)流斷面1-1、2-2的流體所具有的能量關(guān)系式為該式實(shí)際是由兩部分構(gòu)成：(1)勢(shì)能項(xiàng)積分：該項(xiàng)表示單位時(shí)間通過(guò)過(guò)流斷面的流體總勢(shì)能。對(duì)于緩漸變流，其流過(guò)過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)按靜壓強(qiáng)的規(guī)律分布，即(2)動(dòng)能項(xiàng)積分該項(xiàng)表示單位時(shí)間通過(guò)過(guò)流斷面的流體動(dòng)能。但由于過(guò)流斷面各點(diǎn)速度不同，為此需引入修正系數(shù)α，使積分可按斷面平均速度v來(lái)計(jì)算。式中：于是：得理想流體總流的伯努利方程式：設(shè)1-1、2-2為總流的兩個(gè)截面，對(duì)任意一條微小流束，有：總流的伯努利方程的另一推導(dǎo)兩式相乘并積分或在一些工程問(wèn)題中，流動(dòng)往往具有固定的邊界，例如液體和氣體在管道中的流動(dòng)，這種流動(dòng)是由許多微小流柬組成的，所有這些流束的全體稱(chēng)為總流。V=Q/A是截面上的平均速度，稱(chēng)為動(dòng)能修正系數(shù)如果1-1和2-2都為漸變流(緩變流)，有常數(shù)用平均速度表示速度水頭的積分對(duì)不可壓縮流體的定常流動(dòng)，Q1=Q2上式稱(chēng)為總流的伯努利方程。對(duì)于管流，z和p可以在軸線(xiàn)上取值。動(dòng)能修正系數(shù)α與截面上的速度分布有關(guān)，速度分布愈不均勻,α的值愈大。在工程實(shí)際的流動(dòng)中，α≈1總流的伯努利方程應(yīng)用條件(1)恒定(定常)(2)理想流體(3)不可壓流體(4)重力場(chǎng)(5)所選過(guò)流斷面流動(dòng)均勻或漸變流總流伯努利方程的推廣：兩支總流的匯合是單位重量流體具有的總勢(shì)能；式中每一項(xiàng)都表示單位重量流體具有的某種能量。z是單位重量流體具有的位置勢(shì)能；是單位重量流體具有的壓強(qiáng)勢(shì)能；是單位重量流體具有的動(dòng)能；伯努利方程表示理想流體恒定流動(dòng)，沿同一條流線(xiàn)，各點(diǎn)單位重量流體的機(jī)械能守恒。工程流體力學(xué)是單位重量流體具有的總機(jī)械能。4、伯努利方程的物理意義理想流體伯努利方程的物理意義是：在滿(mǎn)足一定的條件下，沿總流單位重量流體所具有的總機(jī)械能（位置勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能及動(dòng)能）可以相互轉(zhuǎn)化，但總和不變，它是機(jī)械能守恒定律在理想流體中的表現(xiàn)形式?！纠?.1】用水銀比壓計(jì)測(cè)量管中水流，過(guò)流斷面中點(diǎn)流速如圖（4.3）。測(cè)得A點(diǎn)的比壓計(jì)讀數(shù)（不計(jì)損失）。求：（1）該管中的流速v；（2）若管中流體是密度為0.8g/cm3的油，仍不變，該點(diǎn)流速又為多少。

工程流體力學(xué)圖4.3點(diǎn)流速的測(cè)量【解】（1）管中流動(dòng)若不計(jì)損失，則管中流動(dòng)為均流?，F(xiàn)要測(cè)量過(guò)流斷面上A點(diǎn)的流速，用水銀比壓計(jì)來(lái)測(cè)量，其原理是：由于來(lái)流在A(yíng)點(diǎn)受比壓計(jì)的阻滯，該處的速度為零（或者A點(diǎn)為兩條流線(xiàn)相交的前駐點(diǎn)）；該處動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化成勢(shì)能，而水銀比壓計(jì)另一端B點(diǎn)在管壁，該處的流速是管中均流每一點(diǎn)的速度，也可看成A點(diǎn)前方某一點(diǎn)的速度。應(yīng)用理想流體伯努利方程：工程流體力學(xué)式中是管中流體的重度。（2）若水流改為油

工程流體力學(xué)一、實(shí)際流體總流的伯努利方程式二、實(shí)際流體總流的伯努利方程的適用條件

（1）不可壓縮流體（=constant）；（2）恒定流動(dòng)（）；（3）只在重力作用之下（質(zhì)量力只有重力）；（4）沿流程流量保持不變(qv1=qv2=qv3)；（5）所選用的過(guò)流斷面必須是緩變過(guò)流斷面。5.3實(shí)際流體總流的伯努利方程式4.2.3粘性流體的伯努利方程粘性流體在流動(dòng)中，單位重量流體的能量不再守恒，總水頭線(xiàn)不再是水平線(xiàn)，而是沿程下降線(xiàn)。

設(shè)為粘性流體單位重量流體從1點(diǎn)到2點(diǎn)的機(jī)械能損失，稱(chēng)為沿流線(xiàn)的水頭損失。根據(jù)能量守恒原理，則粘性流體的伯努利方程為

水頭損失也是具有長(zhǎng)度的量綱。

工程流體力學(xué)【例4.2】水由噴嘴出流，如圖4.5，設(shè)d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，水銀測(cè)壓計(jì)讀數(shù)＝175mm，不計(jì)損失。求（1）H值；（2）壓力表讀數(shù)值。（該處管徑同d2）工程流體力學(xué)圖4.5噴嘴出流【解】

（1）根據(jù)靜壓強(qiáng)分布規(guī)律，過(guò)流斷面1-1和2-2處壓強(qiáng)分布為和

列出由1—1到2—2斷面的總流伯努利方程（取動(dòng)能修正因數(shù)）：

工程流體力學(xué)將（a）式代入上式，得

或連續(xù)性方程

或

工程流體力學(xué)（c）、（b）聯(lián)立，得

由連續(xù)性方程

得

列出由0—0到3—3斷面的伯努利方程

工程流體力學(xué)（2）壓力表處管徑同，其處

列出由0—0至壓力表斷面處得伯努利方程

壓力表讀數(shù)為

工程流體力學(xué)5.4伯努利方程的應(yīng)用一、比托管測(cè)速如圖所示，中心為全壓測(cè)管，靜壓測(cè)管包圍在其周?chē)Ｔ隈v點(diǎn)之后適當(dāng)距離的外壁上沿圓周垂直于流向開(kāi)幾個(gè)小孔，作為靜壓管口。將兩管的通道分別接在差壓計(jì)的兩端，差壓計(jì)給出全壓和靜壓的差，若差壓計(jì)為U形差壓計(jì)，則：式中為被測(cè)液體密度，1為U形差壓計(jì)內(nèi)液體的密度，h為U形管中液面的高度差。測(cè)速管的構(gòu)造兩根同心套管前端管口敞開(kāi)兩管環(huán)隙前端封閉壁面四周開(kāi)若干個(gè)小孔內(nèi)管與環(huán)隙分別與壓差計(jì)的兩端相連壓差計(jì)流速流體的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)變?yōu)殪o壓能駐點(diǎn)內(nèi)管傳遞出的壓力:速度仍為套管環(huán)隙間的壓力是管道內(nèi)流體壓力R為內(nèi)管傳遞出的壓力和管道內(nèi)流體的壓力之差壓差計(jì)中液體的密度測(cè)速管的測(cè)量準(zhǔn)確度與制造精度有關(guān)通常，C＝0.98~1.00。為了提高測(cè)量的準(zhǔn)確度，C值應(yīng)在儀表標(biāo)定時(shí)確定。用測(cè)速管測(cè)出的流速是管道截面上某一點(diǎn)的速度使用測(cè)速管應(yīng)注意幾個(gè)問(wèn)題：

（1）被測(cè)流體不應(yīng)含有雜質(zhì)，因?yàn)闇y(cè)速管的管徑較?。唬?）使測(cè)速管的管口正對(duì)著管道中流體的流動(dòng)方向；（3）測(cè)速管應(yīng)放置于流體均勻流段，測(cè)量點(diǎn)的上下游最好均有50倍直徑長(zhǎng)的直管段，至少應(yīng)有8～12倍直徑長(zhǎng)的直管；（4）測(cè)速管的外徑應(yīng)不大于管道直徑的1/50。漸縮漸擴(kuò)管接壓差計(jì)避免出現(xiàn)邊界層分離及旋渦，從而大大降低機(jī)械能損失收縮段錐角通常取15°～25°擴(kuò)大段錐角5°～7°流量系數(shù)0.98～0.99構(gòu)造二、文丘里流量計(jì)

三、孔板流量計(jì)為了測(cè)量管道中的流量，在管道中裝置了叫做孔板流量計(jì)的儀器，這種測(cè)量流量的儀器包括一塊有孔的薄板，安裝在管道的法蘭中，如圖5-12所示。中央開(kāi)圓孔的板孔板流量計(jì)以通過(guò)孔板時(shí)產(chǎn)生的壓力差作為測(cè)量依據(jù)流道縮小使流體的速度增大，壓力降低。由于慣性的作用，流體通過(guò)孔口后實(shí)際流道將繼續(xù)縮小，直至截面2-2。“縮脈”，流速最大孔板前后動(dòng)能的變化必然引起流體壓力的變化。壓差計(jì)構(gòu)造流量系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，與流體的Re數(shù)、測(cè)壓口的位置及有關(guān)。對(duì)于給定的值，當(dāng)Re數(shù)超過(guò)某個(gè)值后，為定值，多在0.6～0.7之間

阻力損失大Re不考慮流體通過(guò)孔板的局部阻力損失，列出截面1-1和2-2之間伯努利方程，有根據(jù)不可壓縮流體的連續(xù)性方程可知A2通常難以確定，用孔口截面積A0代替，同時(shí)考慮流體在1-1、2-2截面間的機(jī)械能損失，得四、小孔定常出流取等于1稱(chēng)為托里斥利(E．Tomcelli,1644)公式轉(zhuǎn)子可由金屬或其他材料制成，密度大于所測(cè)流體的密度微錐形的玻璃管轉(zhuǎn)子五、轉(zhuǎn)子流量計(jì)轉(zhuǎn)子流量計(jì)的構(gòu)造各種型號(hào)的轉(zhuǎn)子流量計(jì)五、轉(zhuǎn)子流量計(jì)環(huán)隙處的流體速度較大，靜壓力減小在轉(zhuǎn)子的上下截面形成一個(gè)壓差，使轉(zhuǎn)子上浮轉(zhuǎn)子兩端的壓差造成的升力等于轉(zhuǎn)子所受的重力和浮力之差時(shí)，轉(zhuǎn)子將穩(wěn)定在這個(gè)高度上當(dāng)流體的流量改變時(shí)，平衡被打破，轉(zhuǎn)子到達(dá)新的位置，建立新的平衡轉(zhuǎn)子所處的平衡位置與流體流量的大小有直接的關(guān)系

——轉(zhuǎn)子流量計(jì)的工作原理五、轉(zhuǎn)子流量計(jì)轉(zhuǎn)子的受力平衡轉(zhuǎn)子體積轉(zhuǎn)子最大截面積轉(zhuǎn)子密度流體密度流量系數(shù)玻璃管與轉(zhuǎn)子之間的環(huán)隙面積流量系數(shù)與Re及轉(zhuǎn)子的形狀有關(guān)五、轉(zhuǎn)子流量計(jì)轉(zhuǎn)子流量計(jì)的校核

轉(zhuǎn)子流量計(jì)在出廠(chǎng)時(shí)根據(jù)20℃的水或20℃、0.1MPa下的空氣進(jìn)行實(shí)際標(biāo)定，并將流量值刻在玻璃管上。如果被測(cè)流體的條件與標(biāo)定的條件不符，轉(zhuǎn)子流量計(jì)的刻度應(yīng)進(jìn)行校正。安裝轉(zhuǎn)子流量計(jì)時(shí)應(yīng)注意：

①轉(zhuǎn)子流量計(jì)必須垂直安裝,若傾斜度1°將造成0.8％的誤差。

②轉(zhuǎn)子流量計(jì)必須安裝在垂直管路上，且流體流動(dòng)的方向必須由下往上。下標(biāo)“0”表示標(biāo)定流體。五、轉(zhuǎn)子流量計(jì)六、射流泵裝置射流泵又稱(chēng)引射器，它是由一個(gè)收縮的噴管和另一個(gè)具有細(xì)徑的收縮擴(kuò)散管及真空室所組成，如圖5-13所示。自噴管射出的液流經(jīng)收縮擴(kuò)散管的細(xì)徑處，流速急劇增大，結(jié)果使該處的壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)而造成真空，如果在該處連一管道通至有液體的容器，則液體就能被吸入泵內(nèi)，與射流液體一起流出。5-5葉輪機(jī)械內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程在水泵、風(fēng)機(jī)、水輪機(jī)等葉輪機(jī)械中，常常利用流體作為工作介質(zhì)，實(shí)現(xiàn)能量的轉(zhuǎn)換。流體在葉輪機(jī)械中，一方面沿葉片間的通道作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，另一方面，流體又隨葉輪一起以等角速度旋轉(zhuǎn)。如果采用與葉輪一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)，則在此坐標(biāo)上觀(guān)察到的流體運(yùn)動(dòng)是定常的。不考慮重力（定常流動(dòng)）u為沿流線(xiàn)的相對(duì)速度，流體不可壓縮對(duì)流線(xiàn)上的兩點(diǎn)１和２將點(diǎn)選在內(nèi)外輪，用H表示總水頭H2>H1

總水頭增加，表示葉輪對(duì)流體作功5-6動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用在工程實(shí)際中，常常需要求物體所受的流體作用力或者力矩。解決這類(lèi)問(wèn)題的方法有兩種：一種是利用流體運(yùn)動(dòng)的微分方程式，再根據(jù)邊界條件求出速度和壓強(qiáng)的分布。用這種方法的困難很大。另一種辦法則是利用動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程求解，這種方法往往不需要知道流動(dòng)的細(xì)節(jié)，只要根據(jù)一些邊界上的流動(dòng)狀況就可以解決問(wèn)題。

下面我們?cè)敿?xì)介紹定常流動(dòng)的動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程。::是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)截面A的流體所攜帶的動(dòng)量::稱(chēng)為動(dòng)量修正系數(shù)，在大多數(shù)工程問(wèn)題中，β≈1一般地說(shuō)，在截面上，點(diǎn)速度的分布是不均勻的。我們用u表示速度，V表示平均速度，令稱(chēng)為總流的動(dòng)量方程它的物理意義是：在定常流動(dòng)中，單位時(shí)間內(nèi)，從控制面流出的動(dòng)量減去流入的動(dòng)量，等于作用在控制體上的外力和。稱(chēng)為總流的動(dòng)量矩方程它的物理意義是：在定常流動(dòng)中，單位時(shí)間內(nèi)，從控制面流出的動(dòng)量矩減去流入的動(dòng)量矩，等于作用在控制體上所有的外力矩之和。對(duì)某點(diǎn)取矩有多個(gè)出口和入口情況非慣性坐標(biāo)系中的動(dòng)量矩方程為應(yīng)用動(dòng)量方程和動(dòng)量短方程時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：擇一個(gè)適宜的坐標(biāo)系，求出各項(xiàng)的投影值。選擇一個(gè)合適的控制體。方程的未知數(shù)較多，要聯(lián)立連續(xù)性方程和伯努利方程才能得以求解。下面舉例說(shuō)明方程的應(yīng)用。動(dòng)量和動(dòng)量矩方程的應(yīng)用1、水流對(duì)彎管的作用力上圖是一段彎管，截面1—1和2—2的過(guò)流面積分別為A1、A2，彎管的轉(zhuǎn)角為θ。設(shè)水流量為Q，求固定此段彎管所需的力F。水流對(duì)彎管的作用力先分析彎管管壁的受力。設(shè)彎管在水平面上，取如圖示的水平面坐標(biāo)xy。彎管內(nèi)壁受水流壓強(qiáng)p的作用，外壁受大氣壓pa作用。設(shè)表面積為A0，外法線(xiàn)n0。在水流和大氣壓的作用下，管壁受到的合力F′為:水流對(duì)彎管的作用力控制體受到的外力(大氣壓pa在任意封閉面的積分為零)：分析控制體所受的外力。由于彎管在水平面上，不必考慮重力影響。選取控制體如右圖取動(dòng)量修正系數(shù)β＝1，投影到x，y方向，為：上式最后一項(xiàng)就表示水流對(duì)物體的合力為了固定彎管，必需施加的外力為F＝－F′。由上面的分析可以看到，在應(yīng)用總流的動(dòng)量方程時(shí)，控制面上的壓強(qiáng)一律采用表壓強(qiáng)，如果用絕對(duì)壓強(qiáng)，勢(shì)必引起錯(cuò)誤，因?yàn)檫@樣就得不出合力F′。2、水流對(duì)噴嘴的作用力下圖是消防水龍頭的噴嘴。高速水流從管道經(jīng)過(guò)一個(gè)噴嘴射入大氣。管嘴截面從A1收縮至A2，如果截面A1處中心的表壓強(qiáng)為p1—pa，求水流給噴嘴的合力F。分析截面l—l和2—2之間的控制體受力。在截面1上，表壓強(qiáng)為p1—pa，截面2的表壓強(qiáng)為零。水流給噴嘴壁面的合力F向右，噴嘴壁面給水流控制體的合力向左。由連續(xù)性方程由伯努利方程p2=pa由動(dòng)量方程由連續(xù)性方程由伯努利方程由動(dòng)量方程3、水流對(duì)水壩的作用力溢流壩是水電工程的水工建筑物。壩面上的動(dòng)水壓強(qiáng)分布很復(fù)雜。我們用動(dòng)量方程求水流對(duì)壩體的合力。動(dòng)量方程由連續(xù)性方程由伯努利方程得由上面4、射流對(duì)平板的作用力如圖所示，平面射流射向一平板(單位寬度)，射流的流量為Q，速度為V，求射流對(duì)于平板的作用力，不計(jì)重力影響。由連續(xù)性方程x方向動(dòng)量方程y方向動(dòng)量方程得取如圖控制體。進(jìn)口截面和兩出口截面上的壓強(qiáng)近似地都等于大氣壓，如果射流處在水平面上，高程都相同，根據(jù)伯努利方程，得V1＝V2＝V。水壓強(qiáng)對(duì)板面的合力為F′，與板面垂直。板給控制體的合力F，方向如圖示。射流與平板的夾角為θ。yV0FxFyxA0V05、射流對(duì)固定葉片的作用力列y方向動(dòng)量方程列x方向動(dòng)量方程已知:V0A0

，葉片對(duì)流體的作用力為FxFy

yFxFyxA0V0V0-uuV0-u