新運籌學(xué)課件

運籌學(xué)

(OperationsResearch)任課教師：楊芳玲聯(lián)系方式：yangfangll@126.com經(jīng)濟(jì)管理類院校核心課程運籌學(xué)

運籌學(xué)（OperationsResearch）是用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)的最優(yōu)化問題，運籌學(xué)強(qiáng)調(diào)發(fā)揮現(xiàn)有系統(tǒng)的效能，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型求得合理利用各種資源的最佳方案，為決策者提供科學(xué)決策的依據(jù)。本課程的教材及參考書選用教材《運籌學(xué)教程》胡運權(quán)主編（第2版）清華出版社參考教材《運籌學(xué)》牛英武主編西安交通大學(xué)出版社《運籌學(xué)》(修訂版)錢頌迪主編清華出版社先修課程

高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)概率論緒論（1）運籌學(xué)的產(chǎn)生發(fā)展及發(fā)展趨勢（2）運籌學(xué)的性質(zhì)特點及解題思路（3）運籌學(xué)的分支簡介（4）運籌學(xué)在管理中的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：運籌學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展一、運籌學(xué)（OperationsResearch）的產(chǎn)生、發(fā)展及發(fā)展趨勢

運籌學(xué)的發(fā)展：三個來源（軍事、經(jīng)濟(jì)及管理）

1.軍事：運籌學(xué)的主要發(fā)源地

古代軍事運籌學(xué)思想

中國古代的“孫子兵法”；（1981年美國軍事運籌學(xué)會出版了一本書，書中第一句話就是說孫武子是世界上第一個軍事運籌學(xué)的實踐家），中國古代運籌學(xué)思想的例子還有：田忌賽馬、圍魏救趙、行軍運糧，等等。（幾個典故）

國外歷史上的阿基米德、伽利略研究過作戰(zhàn)問題；第一次世界大戰(zhàn)時，英國的蘭徹斯特（Lanchester）提出了戰(zhàn)斗方程，指出了數(shù)量優(yōu)勢、火力和勝負(fù)的動態(tài)關(guān)系；美國的愛迪生為美國海軍咨詢委員會研究了潛艇攻擊和潛艇回避攻擊的問題。運籌學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展運籌學(xué)的歷史“運作研究(OperationalResearch)小組”:解決復(fù)雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)問題。例如：如何合理運用雷達(dá)有效地對付德軍德空襲對商船如何進(jìn)行編隊護(hù)航，使船隊遭受德國潛艇攻擊時損失最少；在各種情況下如何調(diào)整反潛深水炸彈的爆炸深度，才能增加對德國潛艇的殺傷力等。運籌學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展運籌學(xué)的正式產(chǎn)生：第二次世界大戰(zhàn)

據(jù)不完全統(tǒng)計，二戰(zhàn)期間，僅在英、美和加拿大，參加運籌學(xué)工作的科學(xué)家超過700名。2.管理(1)泰勒的時間動作研究、甘特的用于生產(chǎn)計劃與控制的“甘特圖”、吉爾布雷思夫婦的動作研究等(2)愛爾朗（Erlong）的排隊論公式1909－1920年間，丹麥哥本哈根電話公司工程師愛爾朗陸續(xù)發(fā)表了關(guān)于電話通路數(shù)量等方面的分析與計算公式。尤其是1909年的論文“概率與電話通話理論”，開創(chuàng)了運籌學(xué)的重要分支－－排隊論。運籌學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展3.經(jīng)濟(jì)（數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)）(1)VonNeumann與對策論

1932年，VonNeumann提出一個廣義經(jīng)濟(jì)平衡模型；1939年，提出了一個屬于宏觀經(jīng)濟(jì)優(yōu)化的控制論模型；1944年，與Morgenstern共著的《對策論與經(jīng)濟(jì)行為》開創(chuàng)了對策論分支。(2)康托洛維奇與“生產(chǎn)組織與計劃中的數(shù)學(xué)方法”

30年代，蘇聯(lián)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家康托洛維奇從事生產(chǎn)組織與管理中的定量化方法研究，取得了很多重要成果。1939年，出版了堪稱運籌學(xué)的先驅(qū)著作－－《生產(chǎn)組織與計劃中的數(shù)學(xué)方法》，其思想和模型被歸入線性規(guī)劃范疇。運籌學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展

我國運籌學(xué)的研究始于20世紀(jì)50年代中期，當(dāng)時由錢學(xué)森教授將運籌學(xué)從西方國家引入我國，以華羅庚教授為代表的一大批科學(xué)家在有關(guān)企事業(yè)單位積極推廣和普及運籌學(xué)方法，在建筑、紡織、交通運輸、水利建設(shè)和郵電等行業(yè)都有不少應(yīng)用。關(guān)于郵遞員投遞的最佳路線問題就是由我國年輕的數(shù)學(xué)家管梅谷于1962年首先提出的，在國際上統(tǒng)稱為中國郵遞員問題。我國運籌學(xué)的理論和應(yīng)用研究在較短時間內(nèi)趕上了世界水平。運籌學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展

如今對運籌學(xué)的研究大致在三個領(lǐng)域發(fā)展：運籌學(xué)應(yīng)用、運籌科學(xué)和運籌數(shù)學(xué)。一般的共識是，運籌學(xué)的研究不能忘記其原有的應(yīng)用性強(qiáng)的特色，必須強(qiáng)調(diào)多學(xué)科的交叉聯(lián)系和解決實際問題的研究。我們面臨的很多系統(tǒng)通常涉及到大量的經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、社會、政治和心理等綜合因素，這些綜合因素受到人的影響和干預(yù)，存在非結(jié)構(gòu)性的復(fù)雜問題，僅用數(shù)學(xué)模型是很難加以描述和解決的?？傊S著社會的不斷發(fā)展和進(jìn)步，實踐將對運籌學(xué)提出更新更多的研究課題，運籌學(xué)正處于不斷發(fā)展，不斷進(jìn)步的時期。二、運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路1.運籌學(xué)的定義《中國企業(yè)管理百科全書》：運籌學(xué)是運用分析，試驗，量化的方法，對經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)中人、財、物(時間)等有限資源，進(jìn)行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案（滿意方案），以實現(xiàn)最有效地管理?！掇o海》對運籌學(xué)解釋為：“二十世紀(jì)四十年代開始形成的一門科學(xué)，主要研究經(jīng)濟(jì)活動與軍事活動中能用數(shù)量來表達(dá)的有關(guān)運用，籌劃與管理方面的問題，它根據(jù)問題的要求，通過數(shù)學(xué)的分析與運算，作出綜合性的合理的安排，以達(dá)到較經(jīng)濟(jì)、較有效地使用人力、物力。近年來，它在理論與應(yīng)用方面都有較大發(fā)展。其主要分支有規(guī)劃論、對策論、排隊論及質(zhì)量控制等?！边\籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路11運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路

2.運籌學(xué)的研究對象1）機(jī)器、工具、設(shè)備、人員等資源如何最佳利用問題

研究方法有：線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)圖、動態(tài)規(guī)劃、

目標(biāo)規(guī)劃等2）競爭現(xiàn)象：如戰(zhàn)爭、投資、商品競爭方法是對策論3）擁擠現(xiàn)象：如公共汽車排隊、打電話、買東西、飛機(jī)著陸、船舶進(jìn)港等方法是排隊論運籌學(xué)的研究對象所以可對運籌學(xué)的研究對象做如下概括：１.運籌學(xué)的研究對象是各種系統(tǒng)。２.運籌學(xué)的研究目的是實現(xiàn)系統(tǒng)的最優(yōu)化，求得合理利用各種資源的最優(yōu)方案。３.運籌學(xué)的研究方法是運用數(shù)學(xué)語言來描述實際系統(tǒng)，通過建立數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化技術(shù)求得系統(tǒng)運營的最優(yōu)解。

４.運籌學(xué)的研究動機(jī)是為決策者提供科學(xué)決策的依據(jù)。運籌學(xué)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、物流、經(jīng)濟(jì)計劃、人力資源、軍事等行業(yè)都有著非常廣泛的應(yīng)用。有人曾對世界上500家著名的企業(yè)集團(tuán)或跨國公司進(jìn)行過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中95%曾使用過線性規(guī)劃，75%使用過運輸模型，90%使用過網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)，90%使用過存儲模型，43%使用過動態(tài)規(guī)劃。由此可見運籌學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。特別是隨著計算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，計算機(jī)成為運籌學(xué)最強(qiáng)有力的運算工具，運籌學(xué)越來越顯示出其廣泛的使用價值。運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路3.運籌學(xué)的性質(zhì)特點1）運籌學(xué)的性質(zhì)

應(yīng)用科學(xué)－“應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選擇最優(yōu)決策提供定量依據(jù)”。2)運籌學(xué)的特點定量化分析多學(xué)科交叉，如綜合利用了心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理、化學(xué)等方法實現(xiàn)最優(yōu)決策(1)科學(xué)性：運籌學(xué)是以研究事物內(nèi)在規(guī)律，并從定量分析的角度探求更好地解決問題的一門科學(xué)。運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路15(2)應(yīng)用性：運籌學(xué)既對各種經(jīng)營進(jìn)行創(chuàng)造性的科學(xué)研究，又涉及到組織的實際管理問題，它具有很強(qiáng)的實踐性，最終應(yīng)能向決策者提供建設(shè)性意見，并應(yīng)收到實效；運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路16(3)多學(xué)科的交叉性、綜合性：運籌學(xué)研究中吸收了來自不同領(lǐng)域的經(jīng)驗，并被廣泛應(yīng)用于工商企業(yè)、軍事部門、民政事業(yè)等研究組織內(nèi)的統(tǒng)籌協(xié)調(diào)問題，故其應(yīng)用不受行業(yè)、部門之限制；運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路17(4)系統(tǒng)性和最優(yōu)性:它以整體最優(yōu)為目標(biāo),從系統(tǒng)的觀點出發(fā),力圖以整個系統(tǒng)最佳的方式來解決該系統(tǒng)各部門之間的利害沖突。對所研究的問題求出最優(yōu)解,尋求最佳的行動方案,所以它也可看成是一門優(yōu)化技術(shù),提供的是解決各類問題的優(yōu)化方法。運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路18運籌學(xué)的研究對象、研究特征及解題思路4.運籌學(xué)的工作步驟提出和形成問題，建立模型，求解，解的檢驗，解的控制，解的實施

運籌學(xué)的研究的主要步驟：真實系統(tǒng)系統(tǒng)分析問題描述模型建立與修改模型求解與檢驗結(jié)果分析與實施數(shù)據(jù)準(zhǔn)備運籌學(xué)的主要分支數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等）圖論存儲論排隊論對策論排序與統(tǒng)籌方法決策分析運籌學(xué)在管理中的應(yīng)用運籌學(xué)在管理中的應(yīng)用涉及幾個方面：生產(chǎn)計劃運輸問題人事管理庫存管理市場營銷財務(wù)和會計另外，還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價，工程優(yōu)化設(shè)計等?！?.3運籌學(xué)在管理中的應(yīng)用

生產(chǎn)計劃:

生產(chǎn)作業(yè)的計劃、日程表的編排、合理下料、配料問題、物料管理等;

庫存管理:

多種物資庫存量的管理,庫存方式、庫存量等;

運輸問題:

確定最小成本的運輸線路、物資的調(diào)撥、運輸工具的調(diào)度以及建廠地址的選擇等;人事管理:

對人員的需求和使用的預(yù)測，確定人員編制、人員合理分配，建立人才評價體系等;23§1.3運籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用市場營銷:

廣告預(yù)算、媒介選擇、定價、產(chǎn)品開發(fā)與銷售計劃制定等;

財務(wù)和會計:

預(yù)測、貸款、成本分析、定價、證券管理、現(xiàn)金管理等;***設(shè)備維修、更新，項目選擇、評價，工程優(yōu)化設(shè)計與管理等;24本課程授課方式與考核學(xué)科總成績平時成績（20％）課堂考勤（50％）平時作業(yè)（50％）期末成績（80％）講授為主，結(jié)合習(xí)題作業(yè)“田忌賽馬”是家喻戶曉的歷史故事。戰(zhàn)國時齊威王與齊相田忌賽馬，雙方各出三匹馬比賽，每勝一場贏得一千金。由于王府的馬比相府的馬好，所以田忌每次比賽都要輸?shù)羧Ы?。后來田忌的謀士孫臏獻(xiàn)了一計：在每次開賽前要求對方先報馬名，由此區(qū)分對方參賽的是上馬、中馬還是下馬；然后以自己的上馬對對方的中馬、自己的中馬對對方和下馬、自己的下馬對對方的上馬。這樣，兩勝一負(fù)反而贏得一千金。幾個典故

我國古代運籌思想運用的典故1．“田忌賽馬”

26第一章緒論

我國古代運籌思想運用的典故2．晉國公重建皇城

晉國公重建皇城的施工方案，體現(xiàn)了運籌學(xué)的樸素思想。要使重建工程的各個工序,在時間、空間上彼此協(xié)調(diào),環(huán)環(huán)相扣,就需要運用行列式的相關(guān)知識,進(jìn)行精確計算.273.沈括運糧

沈括(1031-1095年),北宋時期大科學(xué)家、軍事家.在率兵抗擊西夏侵?jǐn)_的征途中,曾經(jīng)從行軍中各類人員可以背負(fù)糧食的基本數(shù)據(jù)出發(fā),分析計算了后勤人員與作戰(zhàn)士兵在不同行軍天數(shù)中的不同比例關(guān)系,同時也分析計算了用各種牲畜運糧與人力運糧之間的利弊,最后做出了從敵國就地征糧,保障前方供應(yīng)的重要決策.從而減少了后勤人員的比例,增強(qiáng)了前方作戰(zhàn)的兵力.

28“管理運籌學(xué)”軟件介紹“管理運籌學(xué)”2.0版包括：線性規(guī)劃、運輸問題、整數(shù)規(guī)劃（0-1整數(shù)規(guī)劃、純整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃）、目標(biāo)規(guī)劃、對策論、最短路徑、最小生成樹、最大流量、最小費用最大流、關(guān)鍵路徑、存儲論、排隊論、決策分析、預(yù)測問題和層次分析法，共15個子模塊。Chapter1線性規(guī)劃

(LinearProgramming)

LP的數(shù)學(xué)模型圖解法單純形法單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法

LP模型的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型1.規(guī)劃問題生產(chǎn)和經(jīng)營管理中經(jīng)常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：（1）當(dāng)任務(wù)或目標(biāo)確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金、設(shè)備、原標(biāo)材料、人工、時間等）去完成確定的任務(wù)或目標(biāo)（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產(chǎn)獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益（如產(chǎn)品量最多、利潤最大.）線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.1如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？xa線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1、(生產(chǎn)計劃問題）

某企業(yè)計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別要在A、B、C、D、四種不同的設(shè)備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工所需要的臺時如下表所示，企業(yè)決策者應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，使企業(yè)總的利潤最大？設(shè)備產(chǎn)品

A

B

C

D利潤（元）甲

2

1

4

0

2乙

2

2

0

4

3有效臺時

12

8

16

12線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型解：設(shè)x1、x2分別為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則數(shù)學(xué)模型為：maxZ=2x1+3x2

x1≥0,x2≥0s.t.

2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例2（下料問題）長度為1米的圓鋼多根，欲截成40、30、20cm長的用料分別為20、45、50根，問如何下料才能使用料最?。?/p>

分析：在長度確定的原料上截取三種不同規(guī)格的圓鋼，可以歸納出8種不同的下料方案：圓鋼（米）ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ402111000030021032102010130235料頭（米）00100100100線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

上述問題歸納為如何混合使用這8種不同的下料方案，來制造20,45,50根不同的鋼料，且要使用料最??？用料最省反映在兩個方面：1.所用圓鋼數(shù)最少2.使剩余的料頭總長為最短

設(shè)xj表示用第j種下料方案下料的原料根j=1,2,…,8,目標(biāo)：料頭總長度=圓鋼數(shù)=線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例3（運輸問題）兩個倉庫A1、A2，每月可分別調(diào)出鋼材28、29噸，工地B1、B2、B3每月需鋼材分別12、15、30噸均由倉庫A1、A2供應(yīng)，各倉庫運往各工地每噸鋼材的運費（元/噸）如下表，問如何安排運輸計劃可是總費用最??？B1B2B3供應(yīng)量A118252028A221222429需求量121530例4、（合理配料問題）要求所分配飼料每單位的營養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)為：含蛋白質(zhì)不少于21%，纖維不少于5%，脂肪不少于3.4%，鐵不少于1%但不大于1.05%，鈣不少于0.45%但不大于0.6%。要求得出成本最小的配比方案線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例5、（廣告方式的選擇）某公司推銷一種新產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表，銷售部第一個月的廣告預(yù)算費為2萬元，要求至少有8次電視廣告，15次報紙廣告，電視廣告費不得超過1.2萬元，電臺廣播至少隔日一次，問公司銷售部應(yīng)采用怎樣的廣告宣傳計劃，才能取得最好的宣傳效果？廣告方式廣告費用（元/次）可用最高次數(shù)（每月）期望宣傳效果電視（白天）5001650電視（晚上）10001080每日晨報1002430星期日報廣播電臺300804254015線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型2.線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型由三個要素構(gòu)成決策變量Decisionvariables目標(biāo)函數(shù)Objectivefunction約束條件Constraints其特征是：（1）問題的目標(biāo)函數(shù)是多個決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值；（2）問題的約束條件是一組多個決策變量的線性不等式或等式。

怎樣辨別一個模型是線性規(guī)劃模型？

線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)：約束條件：3.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式簡寫為：線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型通常稱

為決策變量，

為價值系數(shù)，

為消耗系數(shù),

。為資源限制系數(shù)。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型向量形式：其中：線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型矩陣形式：其中：線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型4.線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式特點：(1)目標(biāo)函數(shù)求最大值（有時求最小值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負(fù)。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型（1）如何化標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換如果是求極小值即則可將目標(biāo)函數(shù)乘以(-1)可化為求極大值問題。也就是：令可得到上式。即若存在取值無約束的變量可令其中：變量的轉(zhuǎn)換線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型約束方程的轉(zhuǎn)換：由不等式轉(zhuǎn)換為等式。稱為松弛變量稱為剩余變量變量的變換當(dāng)可令，顯然線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.3將下列線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式用替換，且解:（１）因為x3無符號要求，即x3取正值也可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型(2)第一個約束條件是“≤”號，在“≤”左端加入松馳變量x4，x4≥0,化為等式；(3)第二個約束條件是“≥”號，在“≥”左端減去剩余變量x5，x5≥0；(4)第3個約束方程右端常數(shù)項為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項化為正數(shù)；(5)目標(biāo)函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令z′=-z,得到maxz′=-z，即當(dāng)z達(dá)到最小值時z′達(dá)到最大值，反之亦然;線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式如下：線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型5.線性規(guī)劃問題的解線性規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃問題，就是從滿足約束條件(2)、(3)的方程組中找出一個解，使目標(biāo)函數(shù)(1)達(dá)到最大值。線性規(guī)劃問題的求解方法線性規(guī)劃問題的求解方法一般有兩種方法圖解法單純形法兩個變量、直角坐標(biāo)三個變量、立體坐標(biāo)適用于任意變量、但必需將一般形式變成標(biāo)準(zhǔn)形式下面我們分析一下簡單的情況——只有兩個決策變量的線性規(guī)劃問題，這時可以通過圖解的方法來求解。圖解法具有簡單、直觀、便于初學(xué)者窺探線性規(guī)劃基本原理和幾何意義等優(yōu)點。圖解法maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例1.5用圖解法求解線性規(guī)劃問題圖解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X2

20=2X1+X2

17.2=2X1+X2

11=2X1+X2

Lo：0=2X1+X2

（7.6，2）DmaxZminZ此點是唯一最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值

maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X2圖解法maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2

maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2

藍(lán)色線段上的所有點都是最優(yōu)解這種情形為有無窮多最優(yōu)解，但是最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值maxZ=34.2是唯一的?？尚杏驁D解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2

maxZ

minZ

8=5X1+4X2

43=5X1+4X2

（0，2）可行域此點是唯一最優(yōu)解圖解法246x1x2246無界解(無最優(yōu)解)maxZ=x1+2x2例1.6x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)

maxZ

minZx1x2O10203040102030405050無可行解(即無最優(yōu)解)maxZ=3x1+4x2例1.7圖解法 學(xué)習(xí)要點：

1.通過圖解法了解線性規(guī)劃有幾種解的形式（唯一最優(yōu)解；無窮多最優(yōu)解；無界解；無可行解）

2.作圖的關(guān)鍵有三點：

(1)可行解區(qū)域要畫正確

(2)目標(biāo)函數(shù)增加的方向不能畫錯

(3)目標(biāo)函數(shù)的直線怎樣平行移動線性規(guī)劃問題的求解方法

可行解：滿足約束條件②、③的解為可行解。所有可行解的集合為可行域。

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的可行解。

基：設(shè)A為約束條件②的m×n階系數(shù)矩陣(m<n)，其秩為m，B是矩陣A中m階滿秩子矩陣（∣B∣≠0），稱B是規(guī)劃問題的一個基。設(shè)：稱B中每個列向量Pj(j=12……m)

為基向量。與基向量Pj

對應(yīng)的變量xj

為基變量。除基變量以外的變量為非基變量。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

基解：對某一確定的基B，令所有的非基變量等于零，由約束條件方程②解出基變量，稱這組解為基解。在基解中變量取非0值的個數(shù)不大于方程數(shù)m，基解的總數(shù)不超過

基可行解：滿足變量非負(fù)約束條件的基本解，簡稱基可行解?？尚谢簩?yīng)于基可行解的基稱為可行基。非可行解可行解基解基可行解線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.4求線性規(guī)劃問題的所有基矩陣。解:約束方程的系數(shù)矩陣為2×5矩陣r(A)=2，2階子矩陣有10個，其中基矩陣只有9個，即單純形法基本原理凸集：對于集合C中的任意兩個點X1、X2，其連線上的所有點也都是集合C中的點，則稱C為凸集。凸集凸集不是凸集頂點單純形法基本原理極點（凸集的頂點）凸集上不在兩個不同點的連線上的點。定理1：若線性規(guī)劃問題存在可行解，則該問題的可行域是凸集。定理2：線性規(guī)劃問題的基可行解X對應(yīng)可行域(凸集)的頂點。定理3：若問題存在最優(yōu)解，一定存在一個基可行解是最優(yōu)解或最優(yōu)解一定在某個頂點上取得）線性規(guī)劃問題的幾個特點：線性規(guī)劃問題的可行解的集合是凸集線性規(guī)劃問題的基可行解一般都對應(yīng)于凸集的極點凸集的極點的個數(shù)是有限的最優(yōu)解只可能在凸集的頂點上，而不可能發(fā)生在凸集的內(nèi)部。

我們可以證明以下結(jié)論：線性規(guī)劃的基本可行解就是可行域的極點。這個結(jié)論被稱為線性規(guī)劃的基本定理，它的重要性在于把可行域的極點這一幾何概念與基本可行解這一代數(shù)概念聯(lián)系起來，因而可以通過求基本可行解的線性代數(shù)的方法來得到可行域的一切極點，從而有可能進(jìn)一步獲得最優(yōu)極點。線性規(guī)劃問題的幾個特點：

線性規(guī)劃問題的單純形解法線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型的向量和矩陣表達(dá)形向量式和矩陣形式

maxZ=CX

maxZ=CXs.t.p1x1+p2x2+…+pnxn=b

s.t.AX=b

xj≥0（j=1，2，…n）

X≥0式中：pj=（a1j，a2j，…，amj）TC=（c1，c2，…，cn）

X

=（x1，x2，…，xn）T

b=（b1，b2，…，bm）T

線性規(guī)劃問題的單純形解法再給出單純形解法之前先回顧前面的例子：解:約束方程的系數(shù)矩陣為2×5矩陣r(A)=2，2階子矩陣有10個，其中基矩陣只有9個，即線性規(guī)劃問題的單純形解法1、寫出對應(yīng)于每一個基的解。2、找出基可行解。3、找出最優(yōu)解。對應(yīng)于基B1的基解令對應(yīng)于基B2的基解令以上兩個基本解中對應(yīng)于B1的解為基本可行解，B1為可行基

線性規(guī)劃問題的單純形解法類似可得到x(3)=(3/5,0,0,0,8)T

（對應(yīng)B3）

x(4)=(0,1/3,0,8/3,0)T

（對應(yīng)B4）

x(7)=(0,0,1,4,0)T

（對應(yīng)B7）x(9)=(0,0,0,3,2)T

（對應(yīng)B9）是基本可行解；而x(5)=(-1/5,0,0,4,0)T（對應(yīng)B5）

x(6)=(0,0,3,0,-4)T

（對應(yīng)B6）

x(8)=(0,3,0,0,-16)T

（對應(yīng)B8）是基本解。因此，對應(yīng)基本可行解（極點）的B1B3B4B7B9都是可行基。將基可行解代入目標(biāo)函數(shù)比較目標(biāo)函數(shù)值的大小，找出最優(yōu)解。線性規(guī)劃問題的單純形解法在看書中的例子：基變量的個數(shù)為：線性規(guī)劃問題的單純形解法對應(yīng)于這些基的基解為：線性規(guī)劃問題的單純形解法其中基可行解有：對應(yīng)可行解域的5個頂點，帶入目標(biāo)函數(shù)求值比較即可線性規(guī)劃問題的單純形解法這里指出了一種求解線性規(guī)劃問題的可能途徑，就是先確定線性規(guī)劃問題的基，如果是可行基，則計算相應(yīng)的基本可行解以及相應(yīng)解的目標(biāo)函數(shù)值。由于基的個數(shù)是有限的（最多個），因此必定可以從有限個基本可行解中找到最優(yōu)解。

利用求解線性規(guī)劃問題基本可行解（極點）的方法來求解較大規(guī)模的問題是不可行的。單純形法的基本思路是有選擇地取基本可行解，即是從可行域的一個極點出發(fā)，沿著可行域的邊界移到另一個相鄰的極點，要求新極點的目標(biāo)函數(shù)值不比原目標(biāo)函數(shù)值差單純形法的計算步驟單純形法的思路找出一個初始可行解是否最優(yōu)轉(zhuǎn)移到另一個基本可行解（找出更大的目標(biāo)函數(shù)值）最優(yōu)解是否循環(huán)核心是：變量迭代結(jié)束線性規(guī)劃問題的單純形解法

單純形方法是Dantzig于1947年首先發(fā)明的。近50年來，一直是求解線性規(guī)劃的最有效的方法之一，被廣泛應(yīng)用于各種線性規(guī)劃問題的求解。本節(jié)討論單純形法的基本算法。單純形法的初步討論。單純形法的計算步驟初始單純形表單純形法的計算步驟例1.8用單純形法求下列線性規(guī)劃的最優(yōu)解解：1）將問題化為標(biāo)準(zhǔn)型，加入松馳變量x3、x4則標(biāo)準(zhǔn)型為:單純形法的計算步驟2）求出線性規(guī)劃的初始基可行解，列出初始單純形表。cj3400θicB基bx1x2x3x40x34021100x43013013400檢驗數(shù)單純形法的計算步驟3）進(jìn)行最優(yōu)性檢驗如果表中所有檢驗數(shù)，則表中的基可行解就是問題的最優(yōu)解，計算停止。否則繼續(xù)下一步。4）從一個基可行解轉(zhuǎn)換到另一個目標(biāo)值更大的基可行解，列出新的單純形表確定換入基的變量。選擇，對應(yīng)的變量xj作為換入變量，當(dāng)有一個以上檢驗數(shù)大于0時，一般選擇最大的一個檢驗數(shù)，即：，其對應(yīng)的xk作為換入變量。確定換出變量。根據(jù)下式計算并選擇θ

，選最小的θ對應(yīng)基變量作為換出變量。 單純形法的計算步驟用換入變量xk替換基變量中的換出變量，得到一個新的基。對應(yīng)新的基可以找出一個新的基可行解，并相應(yīng)地可以畫出一個新的單純形表。5）重復(fù)3）、4）步直到計算結(jié)束為止。 單純形法的計算步驟cj3400θicB基變量bx1x2x3x40x34021100x430130134000x34x23x14x2換入列bi/ai2，ai2>04010換出行將3化為15/311801/301/3101－1/3303005/30－4/3乘以1/3后得到103/5－1/51801－1/5－2/5400－1－1單純形法的計算步驟例1.9用單純形法求解解：將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式：不難看出x4、x5可作為初始基變量，列單純形表計算。單純形法的計算步驟cj12100θicB基變量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220－x221/3150120753017131/30－90－22560x111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/3單純形法的計算步驟 學(xué)習(xí)要點：

1.線性規(guī)劃解的概念以及3個基本定理

2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法人工變量法： 前面討論了在標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)矩陣有單位矩陣，很容易確定一組基可行解。在實際問題中有些模型并不含有單位矩陣，為了得到一組基向量和初基可行解，在約束條件的等式左端加一組虛擬變量，得到一組基變量。這種人為加的變量稱為人工變量，構(gòu)成的可行基稱為人工基，用大M法或兩階段法求解，這種用人工變量作橋梁的求解方法稱為人工變量法。單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法例1.10用大M法解下列線性規(guī)劃解：首先將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣，無法建立初始單純形表。單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法故人為添加兩個單位向量，得到人工變量單純形法數(shù)學(xué)模型：其中：M是一個很大的抽象的數(shù)，不需要給出具體的數(shù)值，可以理解為它能大于給定的任何一個確定數(shù)值；再用前面介紹的單純形法求解該模型，計算結(jié)果見下表。單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7θi0x64-431-10104-Mx5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M↑-M0x63-650-1013/5-Mx58-3300108/3-1x312-21000——5-6M5M↑0-M002x23/5－6/510－1/50——-Mx531/53/5003/5131/3-1x311/5－2/501－2/50——5↑00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3→→→單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法 解的判別：1）唯一最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中所有非基變量的檢驗數(shù)非零,則線規(guī)劃具有唯一最優(yōu)解。2）多重最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中存在非基變量的檢驗數(shù)為零,則線則性規(guī)劃具有多重最優(yōu)解（或無窮多最優(yōu)解）。3）無界解判別：某個λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）則線性規(guī)劃具有無界解。4）無可行解的判斷：當(dāng)用大M單純形法計算得到最優(yōu)解并且存在Ri>0時，則表明原線性規(guī)劃無可行解。5）退化解的判別：存在某個基變量為零的基本可行解。單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法單純性法小結(jié):建立模型個數(shù)取值右端項等式或不等式極大或極小新加變量系數(shù)兩個三個以上xj≥0xj無約束xj≤0

bi

≥0bi<0≤=≥maxZminZxs

xa求解圖解法、單純形法單純形法不處理令xj=

xj′

-xj″

xj′

≥0xj″

≥0令

xj’

=-xj不處理約束條件兩端同乘以-1加松弛變量xs加入人工變量xa減去xs加入xa不處理令z′=-ZminZ=－maxz′0-MA線性規(guī)劃問題的Excel求解利用Excel求解書中例題：該問題在excel的規(guī)劃模型如下：線性規(guī)劃問題的Excel求解實際消耗A的計算=B3*B9+C3*C9;也可以用函數(shù)計算如圖:線性規(guī)劃問題的Excel求解其中Array1中的單元格地址使用絕對應(yīng)用

:線性規(guī)劃問題的Excel求解單擊選項按鈕出現(xiàn)如下對話框:線性規(guī)劃問題的Excel求解單擊確定按鈕；又出現(xiàn)規(guī)劃參數(shù)求解對話框,再單擊求解按鈕：線性規(guī)劃模型的應(yīng)用 一般而言，一個經(jīng)濟(jì)、管理問題凡是滿足以下條件時，才能建立線性規(guī)劃模型。要求解問題的目標(biāo)函數(shù)能用數(shù)值指標(biāo)來反映，且為線性函數(shù)存在著多種方案要求達(dá)到的目標(biāo)是在一定條件下實現(xiàn)的，這些約束可用線性等式或不等式描述線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用人力資源分配問題例1.11某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)如下表所示：班次時間所需人員16:00——10:0060210:00——14:0070314:00——18:0060418:00——22:0050522:00——2:002062:00——6:0030設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時間段開始時上班，并連續(xù)工作8小時，問該公交線路應(yīng)怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，即能滿足工作需要，又使配備司機(jī)和乘務(wù)人員的人數(shù)最少?線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)xi表示第i班次時開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)。此問題最優(yōu)解：x1＝50，x2＝20，x3＝50，x4＝0，x5＝20，x6＝10，一共需要司機(jī)和乘務(wù)員150人。線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用2.生產(chǎn)計劃問題某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，均須經(jīng)過兩道工序，每生產(chǎn)1噸 A產(chǎn)品需要第一道工序2小時，第二道工序3小時，每生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需要第一道工序3小時，第二道工序4小時，可供利用的第一道工序15小時，第二道工序25小時；生產(chǎn)產(chǎn)品B的同時可生產(chǎn)副產(chǎn)品C，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品B，可同時得到兩噸產(chǎn)品C而不需要外加任何費用，這副產(chǎn)品C一部分可以盈利，但剩下的只能報廢，報廢需要一定的費用。各項費用的情況為：出售產(chǎn)品A，每噸能盈利400元，出售產(chǎn)品B,每噸能盈利800元，每售出一噸副產(chǎn)品C能盈利300元；當(dāng)剩余的產(chǎn)品C報廢時，每噸損失費為200元，經(jīng)市場預(yù)測，在計劃期內(nèi)產(chǎn)品C的最大銷售量為5噸，試列出本問題的線性規(guī)劃模型，如何安排A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，可使工廠總盈利最大？解：設(shè)決策變量……線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用生產(chǎn)計劃問題某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)鑄造、機(jī)加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。有關(guān)情況的數(shù)據(jù)如表所示，問公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？（甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件中本公司鑄造和外包協(xié)作各應(yīng)多少件？）線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用產(chǎn)品工時與成甲乙丙工時限制單件鑄造工時51078000單件機(jī)加工工時64812000單件裝配工時3221000自產(chǎn)鑄件成本354外協(xié)鑄件成本56機(jī)加工成本213裝配成本322產(chǎn)品售價231816線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用下料問題：某工廠要制作50套規(guī)格的產(chǎn)品，這種產(chǎn)品每套需要用長為1.5米的料2根，1.45米的料2根，1.3米的料6根和0.35米的料12根，已知可供使用的原料長度為8米，問如何考慮可是使用的原料數(shù)最少？線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用項目投資優(yōu)化問題：某公司有一批資金用A、B、C、D、E、5個工程項目的投資已知用于各工程項目時所得之凈收益（投入資金的百分比）如下表，由于某種原因用于項目A的投資不大于其他各項目投資之和，而用于項目B和E的投資之和不小于項目C的投資，試確定使該公司受益最大的投資分配方案？工程項目ABCDE收益（％）108659線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用廠址選擇問題：甲、乙、丙三地，每地都生產(chǎn)一定數(shù)量的原料，也消耗一定數(shù)量的產(chǎn)品（數(shù)據(jù)如下表），已知制造每噸產(chǎn)品需要3噸原料，各地之間的距離為甲→乙為150公里，甲→丙為100公里，乙→丙為200公里，假定每萬噸原料運輸1公里的造價為5000元，假定每萬噸產(chǎn)品運輸1公里的造價為6000元，由于地區(qū)差異，在不同的地區(qū)該廠的生產(chǎn)費用也不同，試問究竟在那些地方設(shè)廠、規(guī)模多大，才能使總費用最小？另外，由于其他條件限制，在乙處建廠的規(guī)模（生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量）不能超過5萬噸。線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用

地點年產(chǎn)原料（萬噸）年消耗產(chǎn)品萬噸）年生產(chǎn)費用（萬元/萬噸）甲207150乙1613120丙240100線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用2.生產(chǎn)計劃問題 某廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A、B兩道工序加工。設(shè)A工序可分別在設(shè)備A1和A2上完成，有B1、B2、B3三種設(shè)備可用于完成B工序。已知產(chǎn)品Ⅰ可在A、B任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品Ⅱ可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時，只能在B1設(shè)備上加工；產(chǎn)品Ⅲ只能在A2與B2設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需工序時間及其他各項數(shù)據(jù)如下表，試安排最優(yōu)生產(chǎn)計劃，使該廠獲利最大。線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用設(shè)備產(chǎn)品設(shè)備有效臺時設(shè)備加工費（單位小時）ⅠⅡⅢ27910000321B168124000250B247000783B37114000200原料費（每件）0.250.350.5售價（每件）1.252.002.8線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)xijk表示產(chǎn)品i在工序j的設(shè)備k上加工的數(shù)量。約束條件有：線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用目標(biāo)是利潤最大化，即利潤的計算公式如下：帶入數(shù)據(jù)整理得到：線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用因此該規(guī)劃問題的模型為：線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用3.套裁下料問題例：現(xiàn)有一批某種型號的圓鋼長8米，需要截取2.5米長的毛坯100根，長1.3米的毛坯200根。問如何才能既滿足需要，又能使總的用料最少？解：為了找到一個省料的套裁方案，必須先設(shè)計出較好的幾個下料方案。其次要求這些方案的總體能裁下所有各種規(guī)格的圓鋼，以滿足對各種不同規(guī)格圓鋼的需要并達(dá)到省料的目的，為此可以設(shè)計出4種下料方案以供套裁用。ⅠⅡⅢⅣ2.5m32101.3m0246料頭0線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用設(shè)按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根數(shù)分別為xj(j=1，2,3,4)，可列出下面的數(shù)學(xué)模型：線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用4.配料問題例：某人每天食用甲、乙兩種食物（如豬肉、雞蛋），其資料如下：問兩種食物各食用多少，才能既滿足需要、又使總費用最??？

21.5原料單價1.007.5010.00

0.751.101.30A1A2A3

最低需要量

甲乙含量食物成分線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)Xj表示Bj

種食物用量Chapter2對偶理論

(DualityTheory)線性規(guī)劃的對偶模型對偶性質(zhì)對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價格對偶單純形法本章主要內(nèi)容：線性規(guī)劃的對偶模型 設(shè)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，生產(chǎn)中需4種設(shè)備按A，B，C，D順序加工，每件產(chǎn)品加工所需的機(jī)時數(shù)、每件產(chǎn)品的利潤值及每種設(shè)備的可利用機(jī)時數(shù)列于下表：產(chǎn)品數(shù)據(jù)表設(shè)備產(chǎn)品ABCD產(chǎn)品利潤（元／件）

甲

21402乙

22043設(shè)備可利用機(jī)時數(shù)（時）

1281612問：充分利用設(shè)備機(jī)時，工廠應(yīng)生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品各多少件才能獲得最大利潤？1.對偶問題的現(xiàn)實來源線性規(guī)劃的對偶模型解：設(shè)甲、乙型產(chǎn)品各生產(chǎn)x1及x2件，則數(shù)學(xué)模型為：反過來問：若廠長決定不生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品，決定出租機(jī)器用于接受外加工，只收加工費，那么４種機(jī)器的機(jī)時如何定價才是最佳決策？線性規(guī)劃的對偶模型在市場競爭的時代，廠長的最佳決策顯然應(yīng)符合兩條：

（1）不吃虧原則。即機(jī)時定價所賺利潤不能低于加工甲、乙型產(chǎn)品所獲利潤。由此原則，便構(gòu)成了新規(guī)劃的不等式約束條件。（2）競爭性原則。即在上述不吃虧原則下，盡量降低機(jī)時總收費，以便爭取更多用戶。設(shè)A、B、C、D設(shè)備的機(jī)時價分別為y1、y2、y3、y4，則新的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：線性規(guī)劃的對偶模型把同種問題的兩種提法所獲得的數(shù)學(xué)模型用表2表示，將會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。原問題與對偶問題對比表A（y1）

B（y2）C（y3）

D（y4）

甲（x1）

21402乙（x2）

220431281612

minωmaxz

線性規(guī)劃的對偶模型2.原問題與對偶問題的對應(yīng)關(guān)系原問題（對偶問題）對偶問題（原問題）線性規(guī)劃的對偶模型（1）對稱形式 特點：目標(biāo)函數(shù)求極大值時，所有約束條件為≤號，變量非負(fù);目標(biāo)函數(shù)求極小值時，所有約束條件為≥號，變量非負(fù).已知P，寫出D線性規(guī)劃的對偶模型例2.1寫出線性規(guī)劃問題的對偶問題解：首先將原問題變形為對稱形式線性規(guī)劃的對偶模型線性規(guī)劃的對偶模型(2)非對稱型對偶問題 若給出的線性規(guī)劃不是對稱形式，可以先化成對稱形式再寫對偶問題。也可直接按教材表2-2中的對應(yīng)關(guān)系寫出非對稱形式的對偶問題。線性規(guī)劃的對偶模型原問題（或?qū)ε紗栴}）對偶問題（或原問題）約束條件右端項目標(biāo)函數(shù)變量的系數(shù)目標(biāo)函數(shù)變量的系數(shù)約束條件右端項目標(biāo)函數(shù)max目標(biāo)函數(shù)min約束條件m個m個變量≤≥0≥≤0=無約束變量n個n個約束條件≥0≥≤0≤無約束=線性規(guī)劃的對偶模型例2.2寫出下列線性規(guī)劃問題的對偶問題.解：原問題的對偶問題為對偶性質(zhì)例2.3分別求解下列2個互為對偶關(guān)系的線性規(guī)劃問題分別用單純形法求解上述2個規(guī)劃問題，得到最終單純形表如下表：對偶性質(zhì)XBb原問題的變量原問題的松弛變量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2000－1/4－1/2XBb對偶問題的變量對偶問題的剩余變量y1y2y3y4y5y21/4-4/510-1/41/4y31/215/2011/2-3/215/2007/23/2原問題最優(yōu)表對偶問題最優(yōu)表對偶性質(zhì)原問題與其對偶問題的變量與解的對應(yīng)關(guān)系： 在單純形表中，原問題的松弛變量對應(yīng)對偶問題的變量，對偶問題的剩余變量對應(yīng)原問題的變量。對偶性質(zhì)性質(zhì)1對稱性定理：對偶問題的對偶是原問題

minW=Ybs.t.YA≥CY≤0maxZ=CXs.t.AX≥bX≥0對偶性質(zhì)性質(zhì)2

弱對偶原理(弱對偶性)：設(shè)和分別是問題(P)和(D)的可行解，則必有推論1:原問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對偶問題目標(biāo)函數(shù)值的下屆；反之，對偶問題任意可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其原問題目標(biāo)函數(shù)值的上界。推論2:

在一對對偶問題（P）和（D）中，若其中一個問題可行但目標(biāo)函數(shù)無界，則另一個問題無可行解；反之不成立。這也是對偶問題的無界性。對偶性質(zhì)推論3：在一對對偶問題（P）和（D）中，若一個可行（如P），而另一個不可行（如D），則該可行的問題目標(biāo)函數(shù)值無界。性質(zhì)3

最優(yōu)性定理：如果是原問題的可行解，是其對偶問題的可行解，并且:則是原問題的最優(yōu)解，是其對偶問題的最優(yōu)解。對偶性質(zhì)性質(zhì)4強(qiáng)對偶性：若原問題及其對偶問題均具有可行解，則兩者均具有最優(yōu)解，且它們最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。 還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。性質(zhì)5

互補(bǔ)松弛性：設(shè)X0和Y0分別是P問題和D問題的可行解，則它們分別是最優(yōu)解的充要條件是：其中：Xs、Ys為松弛變量對偶性質(zhì)性質(zhì)5的應(yīng)用： 該性質(zhì)給出了已知一個問題最優(yōu)解求另一個問題最優(yōu)解的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊互補(bǔ)松弛條件由于變量都非負(fù)，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關(guān)系：若Y＊≠0，則Xs必為0；若X＊≠0，則Ys必為0利用上述關(guān)系，建立對偶問題（或原問題）的約束線性方程組，方程組的解即為最優(yōu)解。對偶性質(zhì)例2.4

已知線性規(guī)劃的最優(yōu)解是X＊=(6,2,0)T,求其對偶問題的最優(yōu)解Y＊。解：寫出原問題的對偶問題，即標(biāo)準(zhǔn)化對偶性質(zhì)設(shè)對偶問題最優(yōu)解為Y＊＝(y1，y2),由互補(bǔ)松弛性定理可知，X＊和Y＊滿足：即：因為X1≠0，X2≠0，所以對偶問題的第一、二個約束的松弛變量等于零，即y3＝0，y4＝0，帶入方程中：解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對偶問題的最優(yōu)解為：Y＊=(1,1)，最優(yōu)值w=26。對偶性質(zhì)例2.5已知線性規(guī)劃的對偶問題的最優(yōu)解為Y＊=(0,-2)，求原問題的最優(yōu)解。解:對偶問題是標(biāo)準(zhǔn)化對偶性質(zhì)設(shè)對偶問題最優(yōu)解為X＊＝(x1，x2，x3)T,由互補(bǔ)松弛性定理可知，X＊和Y＊滿足：將Y＊帶入由方程可知，y3＝y(tǒng)5＝0，y4＝1?！遹2=-2≠0∴x5＝0又∵y4=1≠0∴x2＝0將x2，x5分別帶入原問題約束方程中，得：解方程組得：x1=-5,x3=-1,所以原問題的最優(yōu)解為X＊=(-5,0,-1)，最優(yōu)值z=-12對偶性質(zhì)原問題與對偶問題解的對應(yīng)關(guān)系小結(jié)對應(yīng)關(guān)系原問題最優(yōu)解無界解無可行解對偶問題最優(yōu)解(Y,Y)(N,N)————無界解————(Y,Y)無可行解——(Y,Y)無法判斷思考題判斷下列結(jié)論是否正確，如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？1）任何線性規(guī)劃都存在一個對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃.2）原問題第i個約束是“≤”約束，則對偶變量yi≥0.3）互為對偶問題，或者同時都有最優(yōu)解，或者同時都無最優(yōu)解.4）對偶問題有可行解，則原問題也有可行解.5）原問題有多重解，對偶問題也有多重解.6）對偶問題有可行解，原問題無可行解，則對偶問題具有無界解.7）原問題無最優(yōu)解，則對偶問題無可行解.8）對偶問題不可行，原問題可能無界解.9）原問題與對偶問題都可行，則都有最優(yōu)解.10）原問題具有無界解，則對偶問題不可行.11）對偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解.12）若X*、Y*是原問題與對偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價格1.影子價格的數(shù)學(xué)分析：定義：在一對P和D中，若P的某個約束條件的右端項常數(shù)bi（第i種資源的擁有量）增加一個單位時，所引起目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值z*的改變量稱為第i種資源的影子價格，其值等于D問題中對偶變量yi*。由對偶問題得基本性質(zhì)可得：對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價格2.影子價格的經(jīng)濟(jì)意義1）影子價格是一種邊際價格 在其它條件不變的情況下，單位資源數(shù)量的變化所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的變化。即對偶變量yi就是第i種資源的影子價格。即：

對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價格2）影子價格是一種機(jī)會成本 影子價格是在資源最優(yōu)利用條件下對單位資源的估價，這種估價不是資源實際的市場價格。因此，從另一個角度說，它是一種機(jī)會成本。若第i種資源的單位市場價格為mi

，則有當(dāng)yi*>mi

時，企業(yè)愿意購進(jìn)這種資源，單位純利為yi*－mi

，則有利可圖；如果yi*<mi

，則企業(yè)有償轉(zhuǎn)讓這種資源，可獲單位純利mi－yi

*

，否則，企業(yè)無利可圖，甚至虧損。結(jié)論：若yi*>mi則購進(jìn)資源i，可獲單位純利yi*－mi

若yi*<mi則轉(zhuǎn)讓資源i，可獲單位純利mi－yi對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價格3）影子價格在資源利用中的應(yīng)用根據(jù)對偶理論的互補(bǔ)松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生產(chǎn)過程中如果某種資源bi未得到充分利用時，該種資源的影子價格為0；若當(dāng)資源資源的影子價格不為0時，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費完。對偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價格4）影子價格對單純形表計算的解釋單純形表中的檢驗數(shù)其中cj表示第j種產(chǎn)品的價格;表示生產(chǎn)該種產(chǎn)品所消耗的各項資源的影子價格的總和,即產(chǎn)品的隱含成本。當(dāng)產(chǎn)值大于隱含成本時，即，表明生產(chǎn)該項產(chǎn)品有利，可在計劃中安排；否則，用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更有利，不在生產(chǎn)中安排該產(chǎn)品。對偶單純形法 對偶單純形法是求解線性規(guī)劃的另一個基本方法。它是根據(jù)對偶原理和單純形法原理而設(shè)計出來的，因此稱為對偶單純形法。不要簡單理解為是求解對偶問題的單純形法。對偶單純形法原理對偶單純形法基本思路： 找出一個對偶問題的可行基，保持對偶問題為可行解的條件下，判斷XB是否可行（XB為非負(fù)），若否，通過變換基解，直到找到原問題基可行解（即XB為非負(fù)），這時原問題與對偶問題同時達(dá)到可行解，由定理4可得最優(yōu)解。對偶單純形法找出一個DP的可行基LP是否可行（XB≥0）保持DP為可行解情況下轉(zhuǎn)移到LP的另一個基本解最優(yōu)解是否循環(huán)結(jié)束對偶單純形法例2.9用對偶單純形法求解：解:（1）將模型轉(zhuǎn)化為求最大化問題，約束方程化為等式求出一組基本解，因為對偶問題可行，即全部檢驗數(shù)≤0（求max問題）。對偶單純形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-2-2-1100-100x5-2-3-1010-120x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1.

-15/-5)λj-9-12-150000對偶單純形法cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/5-9/5010-1/5-36/50x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14對偶單純形法cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原問題的最優(yōu)解為：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其對偶問題的最優(yōu)解為：Y*=（1/3,3,7/3），W*=72對偶單純形法對偶單純形法應(yīng)注意的問題：

用對偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對偶問題的最優(yōu)解初始表中一定要滿足對偶問題可行，也就是說檢驗數(shù)滿足最優(yōu)判別準(zhǔn)則最小比值中的絕對值是使得比值非負(fù)，在極小化問題σj≥0，分母aij<0這時必須取絕對值。在極大化問題中，σ

j≤0，分母aij<0，總滿足非負(fù)，這時絕對值符號不起作用，可以去掉。如在本例中將目標(biāo)函數(shù)寫成這里σj≤0在求θk時就可以不帶絕對值符號。對偶單純形法對偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進(jìn)基變量后確定出基變量，對偶單純形法是先確定出基變量后確定進(jìn)基變量；普通單純形法的最小比值是其目的是保證下一個原問題的基本解可行，對偶單純形法的最小比值是其目的是保證下一個對偶問題的基本解可行對偶單純形法在確定出基變量時，若不遵循規(guī)則，任選一個小于零的bi對應(yīng)的基變量出基，不影響計算結(jié)果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。本章小結(jié) 學(xué)習(xí)要點：

1.線性規(guī)劃解的概念以及3個基本定理

2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟Chapter3運輸規(guī)劃

(TransportationProblem)運輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型表上作業(yè)法運輸問題的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例3.1某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1,B2,B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應(yīng)如何調(diào)運可使總運輸費用最??？B1B2B3產(chǎn)量A1646200A2655300銷量150150200運輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量=總銷量＝500

設(shè)xij

為從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列運輸量表：B1B2B3產(chǎn)量A1x11x12x13200A2x21x22x23300銷量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）運輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型運輸問題的一般形式：產(chǎn)銷平衡A1、A2、…、Am

表示某物資的m個產(chǎn)地；B1、B2、…、Bn

表示某物質(zhì)的n個銷地；ai

表示產(chǎn)地Ai的產(chǎn)量；bj

表示銷地Bj

的銷量；cij表示把物資從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的單位運價。設(shè)xij為從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列一般運輸量問題的模型：運輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型變化：

1）有時目標(biāo)函數(shù)求最大。如求利潤最大或營業(yè)額最大等；

2）當(dāng)某些運輸線路上的能力有限制時，在模型中直接加入約束條件（等式或不等式約束)；

3）產(chǎn)銷不平衡時，可加入假想的產(chǎn)地（銷大于產(chǎn)時）或銷地（產(chǎn)大于銷時）。定理:

設(shè)有m個產(chǎn)地n個銷地且產(chǎn)銷平衡的運輸問題，則基變量數(shù)為m+n-1。表上作業(yè)法表上作業(yè)法是一種求解運輸問題的特殊方法，其實質(zhì)是單純形法。步驟描述方法第一步求初始基行可行解（初始調(diào)運方案）最小元素法、元素差額法、第二步求檢驗數(shù)并判斷是否得到最優(yōu)解當(dāng)非基變量的檢驗數(shù)σij全都非負(fù)時得到最優(yōu)解，若存在檢驗數(shù)σij<0，說明還沒有達(dá)到最優(yōu)，轉(zhuǎn)第三步。閉回路法和位勢法第三步調(diào)整運量，即換基，選一個變量出基，對原運量進(jìn)行調(diào)整得到新的基可行解，轉(zhuǎn)入第二步表上作業(yè)法例3.2某運輸資料如下表所示：單位銷地運價產(chǎn)地產(chǎn)量311310719284741059銷量3656問：應(yīng)如何調(diào)運可使總運輸費用最?。勘砩献鳂I(yè)法解：第1步求初始方案方法1：最小元素法基本思想是就近供應(yīng)，即從運價最小的地方開始供應(yīng)（調(diào)運），然后次小，直到最后供完為止。B1B2B3B4產(chǎn)量A17A2

4A39銷量3656311310192741058341633表上作業(yè)法總的運輸費＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 元素差額法對最小元素法進(jìn)行了改進(jìn)，考慮到產(chǎn)地到銷地的最小運價和次小運價之間的差額，如果差額很大，就選最小運價先調(diào)運，否則會增加總運費。例如下面兩種運輸方案。85102120151515510總運費是z=10×8+5×2+15×1=105最小元素法：表上作業(yè)法85102120151551510總運費z=10×5+15×2+5×1=85后一種方案考慮到C11與C21之間的差額是8－2=6，如果不先