教程說明成果

高等數學（下）-第九章知識點：多元函數概念；偏導數和全微分的定義；多元復合函數的求導多元函數的極 1設f(xy(x2y2求證

f(x,y)

x2證明

f(x,y)0

(x2y2)sin 0x2

x2可見，對應任意的正數ε，總存在正數δ

0 (x0)2(y0)2P(x,y)∈D∩u(o,δ)f(x,y)0成立，所

f(x,y)2

(x,y解

(x,y)(0,

x

(x,y)

12（x,y)(0,例1求zx23xy 在點（1,2）處的偏導解： z

3

2故故x yx

23

3222注 y

（1)'x)（xn)'nxnx)

（sinx)'cos（cosx)'sinx（lnx)'x（ex)' f'(x) '(

xln例2求z(1 的偏導z(1

eyln(1

y

1

)

(1

yz yln(1xy) xy)y 12(1xy)y[ln(1xy) 22z

1例3 的偏導 由

2zz

1（2 （22)(2)2z（22)( )

2 z4z

x24在點（2,4,5）處的切線對于x傾角是解：由于

xyz

2xx2 tanα=1 5z解：由于

xln(xy)

x1yln(xy)2 ) y 2x2yy(x2)三、全微分zx2y例1計算函 的全微解：由 zz

x22 dzzdx

z2xydx(x22函數f(x,y)在點(x,y)偏導數存在 f(x,y)在(x,y)點可微 必要條件；(B) 充分條件；(C) 充要條件；(D) 例1設ze和

而 x

求 解 z

z

z esinyecosexy[ysin(xy)cos(xz

z

esinxecosexy[xsin(xy)cos(x 2設fxyzxyz),具有二階連續(xù)偏導，求解： xy 則f

3

f1ff

dzzsin 而 dt解：dzzz五、隱t數的 設例 4z 設 解： F(x,y,z) 由于Fx Fz2zz

例1

zx2y21在點（2,1,4）處的切平面解： F(x,y,z)x2y2z法向量為n(FxFyFz)(2x,2即n(2,1,4)即故在點（2,1,4）處的切平即4x2yz6在點（2,1,4）處的法線方程為x-24

y11

z例 求函數f(x,y,z)xyyz 在點P（1,1,2）處從方向L的方向導數，其中L的方向角分別為600,450,600.。 與L同向的單位向量為： e(cos600,cos450,cos600)(, ,由于函數可微分，且fx(1,1,2)(yz)(1,1,2)

故故

(1,1,2)x)(1,1,2)方向 f(x,y,z)cosaf(x,y,z)cosl fy(x0,y0,z0) (5 2) 例 求gradx21解 f(x,y)x2 f f 2 (x2y2 (x2y2grad x2

fif 2故例 求曲 x2y2z 在點P(1,2,4)的切平面和法線方程解： f(x,y,z)x2y2 f(x,y,z)2i4j

(xi

yj

zk)而梯度的方向就是等值fxyz)P

P2x-1)4(y2)(z4)即2x4yPx-1

y2z 例 設f(x,y,z)x3xy2 ，問f(x,y,z)z在處沿什么方向變化最快，在這個方向上的變化率是多少？fxyz)fi

jffx,yz)f(x,y,z)p

2i-2j

(1,1,0)2i-2j快 增 的-f(x,y,z) -2i2j 減少在這兩個方向的變化率分別為 22(2)2(1)2f(1,1,0)例 求函 f(x,y,z)解

x3y33x23y29x的極fx(x,y)3x26x9 故 （1,0（1,2（-3,0（-

6y A (x,y)6x B (x,y) Cfyy(x,y)6y在點（1,0）處，由于ACB2126 又故函數在點1,0）處有極小值，且f(1,0)=-

故點無極值。在點（-3,2）AC

-126

又A<0,故函數在點-3,2）處有極大值， f(-解：設長、寬、高各為x,y,z（元）則目標函數f(x,yz)造價成本函數g(x,yz)3xy2xz2L(xyz)xyz(3xy2xz2yzLyz(3y2z) xz(3x2z)Lxy(2x2y)

3xy2xz2yz36M(2,2,3)例3 解：設長方體的棱長分別為x,y,z，則表面積2xy2yz2xz （x,y,z)2xy2yz2xza2由于V (x0,y0,z0)作日函數L（x,y,z)xyz(2xy2yz2xza2 yz2y2z y2y2