河南省許平汝2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.2.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.3.若函數(shù)有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.5.過橢圓的左焦點的直線過的上頂點,且與橢圓相交于另一點,點在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對于任意的實數(shù)都有,當(dāng)時,,若,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實數(shù),“”是“”的充分不必要條件8.tan570°=()A. B.- C. D.9.已知正項數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時,的值為()A. B. C. D.10.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.11.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間,六個城市售出的往返機(jī)票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機(jī)票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng)D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機(jī)票平均價格在增加12.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過的直線與軸交于點,線段與交于點.若,則的方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過直線上一點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的最小值是______.14.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.15.設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點,四邊形為正方形,則四棱錐體積的最大值為__________.16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為坐標(biāo)原點,點,,,動點滿足,點為線段的中點,拋物線:上點的縱坐標(biāo)為,.(1)求動點的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線上一點滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個定值;若不是,請說明理由.18.(12分)已知直線與拋物線交于兩點.(1)當(dāng)點的橫坐標(biāo)之和為4時,求直線的斜率;(2)已知點,直線過點,記直線的斜率分別為,當(dāng)取最大值時,求直線的方程.19.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.20.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點,是的中點,現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.22.(10分)已知函數(shù),其中,.(1)當(dāng)時,求的值;(2)當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r,求在上的值域.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.2.D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】試題分析:由題意得有兩個不相等的實數(shù)根,所以必有解,則,且,∴.考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點【方法點睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點,再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號.(2)已知函數(shù)求極值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號―→下結(jié)論.(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(x0,y0)處取得極值,則f′(x0)=0,且在該點左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反.4.A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】

求得點的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運算得出點的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點.因為點在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點在橢圓上這一條件,圍繞求點的坐標(biāo)來求解,考查計算能力,屬于中等題.6.B【解析】

先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當(dāng)時,,又,所以為偶函數(shù),從而等價于,因此選B.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.7.D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.8.A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值,此時.故選:B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運算求解能力.10.C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.11.D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析,由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項,根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項敘述正確.對于B選項,根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價格變化最大,所以B選項敘述正確.對于C選項,根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng),所以C選項敘述正確.對于D選項,根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機(jī)票平均價格在增加,故D選項敘述錯誤.故選:D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由切線的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因為令,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.14.【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.15.【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為,求得四棱錐的表達(dá)式,利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為,棱錐的高為,底面邊長為,的體積,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為:【點睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算,考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法,屬于中檔題.16.【解析】

由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問題等價于在時恒成立,∴,解得.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)見解析【解析】

(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動點P的軌跡W是橢圓,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)平面向量數(shù)量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出點P的坐標(biāo),再表示出點N和Q的坐標(biāo),根據(jù)題意求出的值,即可判斷結(jié)果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動點的軌跡是以,為焦點的橢圓,又知,,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又由題知,所以,所以,又因為點在拋物線上,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,由題知,所以,即,所以,又因為,,所以,所以為定值,且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題,考查拋物線的幾何性質(zhì)及點在曲線上的代換,也考查了推理與運算能力,是中檔題.18.(1)(2)【解析】

(1)設(shè),根據(jù)直線的斜率公式即可求解;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達(dá)定理得,,結(jié)合直線的斜率公式得到,換元后討論的符號,求最值可求解.【詳解】(1)設(shè),因為,即直線的斜率為1.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,可得則,令,則則當(dāng)時,;當(dāng)且僅當(dāng),即時,解得時,取“=”號,當(dāng)時,;當(dāng)時,綜上所述,當(dāng)時,取得最大值,此時直線的方程是.【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式,直線與拋物線的位置關(guān)系,換元法,均值不等式,考查了運算能力,屬于難題.19.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點M,連接ME,則.因為平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為平面ABC,所以點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點,連接,OB.因為為正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點睛】本題考查證明線面平行,計算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.20.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點,并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運算進(jìn)行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點,所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取

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