桿系結(jié)構(gòu)的有限元法

第四章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法章節(jié)目錄4.1概述4.2拉壓直桿的有限元分析4.3梁的有限元分析4.4剛架的有限元分析4.1概述4.1.1桿系結(jié)構(gòu)定義由有限根桿件在它們的端點(diǎn)處相互連接而成的結(jié)構(gòu)分類平面桿系：各桿軸線和外力作用線在一個(gè)平面內(nèi)空間桿系：各桿軸線和外力作用線不在一個(gè)平面內(nèi)工程中常見類型拉壓直桿，桁架（平面和空間），梁（簡(jiǎn)支懸臂梁等），剛架（平面和空間）4.1概述4.1.2桿系單元定義桿系結(jié)構(gòu)中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。桿系單元為一維單元。結(jié)構(gòu)離散一般原則：桿系的交叉點(diǎn)、邊界點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)該設(shè)置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的桿件即構(gòu)成單元。F節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)2單元①節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)2單元②4.1概述4.1.2桿系單元分類桁架單元：桁架中的桿件剛架單元：剛架中的桿件區(qū)別：桁架節(jié)點(diǎn)：鉸節(jié)點(diǎn)傳遞力！剛架節(jié)點(diǎn)：剛節(jié)點(diǎn)

傳遞力和力矩！4.1概述4.1.3桿系單元的有限元分析與平面問題和空間問題比較，基本流程完全相同；具體計(jì)算細(xì)節(jié)需要按照桿系單元的特性來進(jìn)行。4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.1拉壓直桿（單元描述）幾何形狀：等截面A,長(zhǎng)度為l載荷q：沿軸線分布節(jié)點(diǎn)：2個(gè)局部坐標(biāo)系：沿軸線定義的一維坐標(biāo)系ox因此，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

在x軸的坐標(biāo)：xi,xj節(jié)點(diǎn)位移（自由度）

沿x軸的位移：ui

,uj單元節(jié)點(diǎn)位移列陣ijlxuiuj4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.2位移模式單元位移模式的推導(dǎo)位移模式形函數(shù)ijlxuiuj4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.3應(yīng)變應(yīng)變分量

拉壓直桿只有軸向應(yīng)變：幾何方程的推導(dǎo)4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.4應(yīng)力應(yīng)力分量

拉壓直桿只有軸向應(yīng)力：物理方程的推導(dǎo)4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.5單元?jiǎng)偠染仃?.2拉壓直桿的有限元分析4.2.5單元節(jié)點(diǎn)等效載荷（軸向載荷）集中力根據(jù)離散的要求，集中力直接施加在所處節(jié)點(diǎn)上體力軸向分布載荷q(x)推導(dǎo)依據(jù)：

面力按照集中載荷施加在面所在的節(jié)點(diǎn)上4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析整體分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234ij4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析網(wǎng)格離散單元分析：在局部坐標(biāo)系下建立單元平衡方程整體分析：在整體坐標(biāo)系下組裝整體平衡方程因此，組裝過程中需要兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換：整體坐標(biāo)系:OXY局部坐標(biāo)系:OxyxyXYOα4.2.6平面桁架的有限元分析整體坐標(biāo)系OXY：節(jié)點(diǎn)位移為Ui

,Vi(i,j)局部坐標(biāo)系

Oxy：節(jié)點(diǎn)位移為ui

,uj

則有：4.2拉壓直桿的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui從整體坐標(biāo)到局部坐標(biāo)的坐標(biāo)變換矩陣[T]4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析推導(dǎo)：注意：局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析因此，單元?jiǎng)偠染仃囋诰植孔鴺?biāo)系和整體坐標(biāo)系下的變換式：4.2拉壓直桿的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?.3梁的有限元分析4.3.1純彎梁?jiǎn)卧?單元描述)幾何形狀：長(zhǎng)度l，橫截面為A。材料屬性：彈性模量E，橫截面的慣性矩為I。節(jié)點(diǎn)：i,j共2個(gè)局部坐標(biāo)系：oxy物理量：撓度v，剪力Q，彎矩M，梁的轉(zhuǎn)角θ4.3梁的有限元分析材料力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)4.3梁的有限元分析4.3.1純彎梁?jiǎn)卧?單元描述)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值：xi=0,xj=l節(jié)點(diǎn)位移值：撓度vi和轉(zhuǎn)角θi節(jié)點(diǎn)力：彎距Mi和剪力Qi因此，單元位移列陣：?jiǎn)卧d荷列陣：4.3梁的有限元分析4.3.2

位移模式

代入單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和位移條件，即可求解四個(gè)待定常數(shù)a1～a4：（）廣義坐標(biāo)法建立形函數(shù)（兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，四個(gè)自由度）4.3梁的有限元分析4.3.3應(yīng)變4.3梁的有限元分析4.3.4應(yīng)力4.3.5單元?jiǎng)偠染仃噯卧胶夥匠蹋?4.3梁的有限元分析4.3.6等效節(jié)點(diǎn)載荷若存在集中力或者集中力矩，將作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)若存在分布載荷，按照虛功等效的原則進(jìn)行計(jì)算適用情況：截面高度小于長(zhǎng)度的1/5的桿系結(jié)構(gòu)。原因：?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ?，決定了沒有考慮剪切撓度。4.4剛架的有限元分析4.4.1平面剛架相互獨(dú)立的兩種變形形式軸向拉壓面內(nèi)彎曲因此：剛架單元＝桿單元＋梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系:oxyz任一節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度：軸向拉伸、橫向位移、繞z軸的轉(zhuǎn)角4.4剛架的有限元分析4.4.1平面剛架兩個(gè)坐標(biāo)系：局部坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系4.4.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標(biāo)系下）節(jié)點(diǎn)位移軸向位移橫向位移繞z軸的轉(zhuǎn)角節(jié)點(diǎn)載荷軸向力剪力彎矩4.4剛架的有限元分析剛架的有限元分析因此，局部坐標(biāo)系下：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移列陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)載荷列陣：4.4.2平面剛架單元（單元描述：局部坐標(biāo)系下）4.4剛架的有限元分析4.4.3單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系下)3單元分析：局部坐標(biāo)系整體分析：整體坐標(biāo)系因此，需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。4.4剛架的有限元分析4.4.4坐標(biāo)變換（推導(dǎo)過程省略）

-坐標(biāo)變換矩陣-節(jié)點(diǎn)力

-單元?jiǎng)偠染仃?.4剛架的有限元分析等效結(jié)點(diǎn)載荷

單元上的非結(jié)點(diǎn)載荷向結(jié)點(diǎn)移置時(shí)應(yīng)遵循的靜力等效原則，而靜力等效移置的結(jié)果是唯一的，載荷移置后的結(jié)構(gòu)與載荷移置前相比，所有結(jié)點(diǎn)位移無變化，且除進(jìn)行過載荷移置的單元外，其他單元的內(nèi)力分布不受影響．本講雖然沒有構(gòu)造形函數(shù)設(shè)定位移模式，不便于依前述靜力等效的定義進(jìn)行非結(jié)點(diǎn)載荷的移置，仍可以根據(jù)上述等效移置應(yīng)獲得的效果方便地構(gòu)造出等效結(jié)點(diǎn)載荷。

圖(a)所示平面剛架，第3單元作用有非結(jié)點(diǎn)載荷，該單元相應(yīng)的桿端力和桿端力矩如圖3(b)所示，為V1、V2與M1、M2．構(gòu)造圖3(c)所示的兩種受力狀態(tài)，這兩種狀態(tài)的組合顯然構(gòu)成原結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)，其中Ⅱ狀態(tài)的位移與內(nèi)力同原結(jié)構(gòu)對(duì)比，結(jié)點(diǎn)位移一致，其他單元內(nèi)力一致，所以Ⅱ狀態(tài)的結(jié)點(diǎn)載荷就是所要求的等效結(jié)點(diǎn)載荷。上述分析雖然在平面剛架中進(jìn)行，對(duì)空間剛架也是同樣適用的．求等效結(jié)點(diǎn)載荷的具體方法歸結(jié)為：按結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法解題思想求出該單元的固端力與固端力矩(參考結(jié)構(gòu)力學(xué)相關(guān)內(nèi)容)，將這些固端力與固端力矩反方向作用于結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)，即該單元非結(jié)點(diǎn)載荷的等效結(jié)點(diǎn)載荷。例、平面框架結(jié)構(gòu)的有限元分析

如圖所示的框架結(jié)構(gòu),其頂端受均布力作用,用有限元方法分析該結(jié)構(gòu)的位移。結(jié)構(gòu)中各個(gè)截面的參數(shù)都為:E=3.0X1011Pa,I=6.5×10-7m4,A=6.8×10-4m2。1離散化：均布外載的等效計(jì)算公式：2求單元?jiǎng)偠汝?/p>

單元1的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，其他單元的剛度陣要進(jìn)行坐標(biāo)變換之后，在進(jìn)行整體剛度陣的組裝。3建立整體剛度矩陣4邊界條件計(jì)算結(jié)果：4.4剛架的有限元分析4.4.5空間剛架結(jié)構(gòu)分析辦法：將平面剛架結(jié)構(gòu)擴(kuò)充到空間剛架結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)位移（自由度）：6個(gè)（3個(gè)平動(dòng)位移和3個(gè)旋轉(zhuǎn)位移）第四章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法學(xué)習(xí)要求：掌握拉壓直桿單元和梁?jiǎn)卧膯卧匦?，了解剛架單元的單元特性；掌握拉壓直桿單元和梁?jiǎn)卧膯卧治龇椒?，了解剛架單元的單元?jiǎng)偠染仃嚨臉?gòu)成；掌握平面桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析中局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)