昆明理工大學(xué)材料力學(xué)第五章軸向拉壓桿的應(yīng)力與變形

材料力學(xué)第五章軸向拉壓桿的應(yīng)力與變形§5-1軸向拉伸和壓縮的概念§5-2軸向拉壓桿的內(nèi)力§5-4拉壓強(qiáng)度條件及應(yīng)用§5-5軸向拉壓桿的變形§5-6簡單拉壓超靜定問題§5-3軸向拉壓桿的應(yīng)力§5-1軸向拉伸和壓縮的概念工程結(jié)構(gòu)及機(jī)械中常見的拉伸及壓縮變形的構(gòu)件：起重機(jī)的吊纜桁架中的桿件連桿曲柄連桿機(jī)構(gòu)ωF特點(diǎn)：連桿為直桿外力大小相等方向相反沿桿軸線桿的變形為軸向伸長或縮短

以軸向伸長或軸向縮短為主要特征的變形形式稱為軸向拉伸或軸向壓縮。拉（壓）桿:以軸向伸長或軸向縮短為主要變形的桿件。（1）受力特征:

構(gòu)件是直桿；作用于桿件上的外力或外力合力的作用線沿桿件的軸線。

（2）變形特點(diǎn):

桿件的主要變形是沿軸線方向的伸長或縮短。FFFF討論:下列圖中哪些是軸向拉伸桿?F(a)F(b)FF(c)F(d)q§5-2軸向拉壓桿的內(nèi)力一、用截面法求內(nèi)力FFmn求mn橫截面上的內(nèi)力?截面法的步驟：1.切：2.?。?.代：4.平：mnFFN∴FN=FmnF∑x=0FN–F=0從二力平衡公理可知：

FN、通過軸線，所以叫軸力，用FN表示。FFkk求kk橫截面上的內(nèi)力?kkFFNk∴FNk

=F∑x=0F–FNk=0比較兩種受力后的內(nèi)力及變形情況?FFmnmnFFN∴FN=F∑x=0FN–F=0桿件拉伸時，F(xiàn)N

為正—拉力（方向：離開橫截面）;軸力FN的正負(fù)規(guī)定:FFmmFFN

mmFFN

mm∴FN

為桿件壓縮時，F(xiàn)N

為負(fù)—壓力（方向：指向橫截面

）。軸力FN的正負(fù)規(guī)定:F

F

mmF

FN

mmF

FN

mm∴FN

為用“設(shè)正法”求軸力:先假設(shè)欲求軸力為正，解得為正是拉力，解得為負(fù)是壓力。F

F

mmFN

F

mm∴FN=–F∑x=0FN+F=0（壓力）多力桿:F5

F4

F3

F2

F1

11求1-1橫截面上的軸力。11F3

F2

F1

FN1

∑x=0FN1

+F2+F3

–F1=0∴FN1=F1–F2–F322問：2-2橫截面上的軸力?結(jié)論：兩力作用間各橫截面的軸力相等。二、由外力直接求內(nèi)力任意橫截面上的軸力等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和。F5

F4

F3

F2

F1

11看左側(cè)：FN1=F1–F2–F322FN2=F1–F2看右側(cè)：FN1=F4+F5規(guī)定（對外力）：離開截面取，指向截面取。三、軸力圖用坐標(biāo)（x，F(xiàn)N）來表示軸力沿桿件軸線的變化情況。

x表示橫截面的位置；FN

表示軸力的大小。FN圖FFN圖F

F

F

F

FxFNxFN例1.變截面直桿，求各段的軸力，并畫出軸力圖。30kN10kNCBAD軸力只與外力有關(guān)，而與桿件尺寸無關(guān)。解：（1）求各段軸力AB段:11由1-1右側(cè)FN1=30-10=20kNBD段:22由2-2右側(cè)FN2=-10kN（2）畫軸力圖2010FN（kN）圖例2.等截面直桿，畫軸力圖?！穹植驾d荷作用段的軸力圖是斜直線。AB段:11FN1=2qaBC段:22xFN2=qx—軸力方程解：（1）求各段軸力（2）畫軸力圖2qaFN圖F=2qa

BCA2aaq例3.等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為A，桿長為l，材料的容重為γ，F(xiàn)=2/3γAl，畫軸力圖。l

解：（1）求自重沿軸線的分布力qq（2）畫軸力圖FN圖§5-3軸向拉壓桿的應(yīng)力一、

橫截面上的應(yīng)力問題：1）橫截面上各點(diǎn)處產(chǎn)生何種應(yīng)力？2）應(yīng)力的分布規(guī)律？3）應(yīng)力的數(shù)值？1、應(yīng)力的分布規(guī)律實驗：FFFF①各橫向線保持為直線，并仍垂直于軸線，但距離增大了。②變形后原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。（1）變形現(xiàn)象：變形前的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。（2）平面截面假設(shè)：根據(jù)變形現(xiàn)象作假設(shè)FFFF（3）推論:②無切應(yīng)變，因此橫截面上沒有切應(yīng)力。①任意兩個橫截面之間各縱向纖維的伸長相同，即各縱向纖維受力相等。（4）結(jié)論:橫截面上只有正應(yīng)力，并均勻分布，用s

表示。2、正應(yīng)力計算公式軸力與應(yīng)力的關(guān)系：sFNF注意:s

的符號與FN一致，正—稱為拉應(yīng)力，負(fù)—稱為壓應(yīng)力。正應(yīng)力計算公式：sFNF公式的限制條件:⑴上述計算正應(yīng)力的公式對橫截面的形式?jīng)]有限制，但對于某些特殊形式的橫截面，如果在軸向載荷作用時不能滿足平面假設(shè)，則公式將不再有效。⑵試驗和計算表明，該公式不能描述載荷作用點(diǎn)附近截面上的應(yīng)力情況，因為這些區(qū)域的應(yīng)力變化比較復(fù)雜，截面變形較大。該公式不能描述載荷作用點(diǎn)附近的應(yīng)力情況。公式的限制條件:圣維南原理:力作用于桿端的方式不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。}FFFF影響區(qū)影響區(qū)例1.等截面直桿，已知橫截面面積A=500mm2。(1)畫軸力圖;(2)求各段橫截面上的正應(yīng)力。A

50kN80kN

30kNB

C

D

解：（1）求各段軸力AB段:FN1=80-50+30=60kNBC段:由2-2右側(cè)FN2=30-50=-20kN1122由1-1右側(cè)CD段:33由3-3右側(cè)FN2=30kN（2）畫軸力圖FN（kN）圖602030橫截面面積A=500mm2。A

50kN80kN

30kNB

C

D

(3)求各段橫截面上的正應(yīng)力。602030FN（kN）二、

斜截面上的應(yīng)力混凝土圓柱重物圓柱是怎樣斷裂的？為什么圓柱會沿此斜截面斷裂？鋁板的拉伸實驗：45o沿與軸線成45o角左右的斜截面破壞。1、斜截面上應(yīng)力的分布規(guī)律變形現(xiàn)象:變形前平行的兩條斜直線變形后仍保持為直線并相互平行。推論:在相互平行的兩個斜截面之間的各縱向纖維的變形相同，說明斜截面上各點(diǎn)的應(yīng)力也是均勻分布的。FF

實驗：2、斜截面上應(yīng)力的計算kkaFF

AaA(1)

斜截面定位：以橫截面與斜截面的夾角a定位。

(2)

a角的正負(fù)規(guī)定：從橫截面轉(zhuǎn)到斜截面，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。A—橫截面面積，Aa—kk斜截面面積，Aa=A/cosa

。其中

s0

是橫截面上的正應(yīng)力。FkkpaaFa

kkFa斜截面上的內(nèi)力（用截面法）：

Fa=F∵斜截面上各點(diǎn)應(yīng)力均勻分布?！嘟Y(jié)論：軸向拉（壓）時斜截面上既有正應(yīng)力，還有 切應(yīng)力。pa

kkFasatapa是斜截面上任意點(diǎn)的全應(yīng)力，通常將其分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力。

討論:（2）當(dāng)=0時，smax=s0。即橫截面上的正應(yīng)力為最大正應(yīng)力。此時切應(yīng)力為0

。pa

kkFasata（1）s0、

的符號代入計算。（3）當(dāng)=45o時，

t

45o

=

t

max

=s0/2。即最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成45o角的斜截面上。此時正應(yīng)力為s0/2。（4）當(dāng)=90o時，s

=0

，t

=0。即縱截面上無任何應(yīng)力?！裾龖?yīng)力s

和切應(yīng)力

t

正負(fù)號的規(guī)定：（1）正應(yīng)力s

：離開截面（拉）為正，指向截面（壓）為負(fù)。（2）

切應(yīng)力

t

：對保留段內(nèi)任一點(diǎn)之矩，順時針 轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)。例2.計算階梯狀方形柱體的最大正應(yīng)力，已知載荷F=50kN。F

C

BA

F

F

40003000370240III解：（1）畫軸力圖FN（kN）50150FN1=-50kNFN2=-150kN(2)求各段橫截面上的正應(yīng)力AB段:BC段:例3.圖示軸向受壓矩形等截面直桿，其橫截面尺寸為40mm×10mm，載荷F＝50kN。試求斜截面m-m上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。mmFF

40°解：（1）求軸力FN=-50kN(2)求橫截面上的正應(yīng)力(3)求m-m斜截面上的應(yīng)力，α=50o§5-4拉壓強(qiáng)度條件及應(yīng)用一、名詞介紹:1.工作應(yīng)力:桿件實際上所承受的應(yīng)力。2.極限應(yīng)力:材料破壞時的應(yīng)力。用σo表示。3.許用應(yīng)力:工作應(yīng)力允許的最大值。用[σ]

表示。n—安全因數(shù)。

為保證構(gòu)件能正常工作并具有足夠的安全儲備，將極限應(yīng)力除以一個大于1的系數(shù)n（安全系數(shù)也稱為安全因數(shù)），便得到許用應(yīng)力[σ]，即二、強(qiáng)度條件:或桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。三、強(qiáng)度條件的應(yīng)用:(1)強(qiáng)度校核已知外力，桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。驗算桿件是否安全。(2)

設(shè)計橫截面尺寸(3)

確定許可載荷注意：工程上，是允許的。已知外力，材料，桿件橫截面的形狀。設(shè)計桿件橫截面的尺寸。已知桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。求桿件所能承受的最大載荷。例1.

已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，材料的許用應(yīng)力為[]=170MPa。試校核此桿是否滿足強(qiáng)度要求。解：(1)求軸力FN=25kN(2)求最大的正應(yīng)力(3)校核強(qiáng)度故拉桿安全。例2.曲柄連桿機(jī)構(gòu)。當(dāng)連桿接近水平時，F(xiàn)=3780kN,連桿橫截面為矩形，h/b=1.4,材料的許用應(yīng)力為[]=90MPa。試設(shè)計連桿的橫截面尺寸h和b。連桿ωFFFhbF=3780kN，h/b=1.4,

[]=90MPa。FFhb解：(1)求軸力FN=-3780kN(2)求橫截面面積A(3)求尺寸h、b例3.兩桿桁架如圖所示，桿件AB

由兩個10號工字鋼桿構(gòu)成，桿AC由兩個截面為80mm80mm7mm的等邊角鋼構(gòu)成，

所有桿件材料均為鋼Q235，[]=170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]。F1m30oACBAB桿—10號工字鋼，AC桿—80mm80mm7mm等邊角鋼，[]=170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]。F1m30oACB解：(1)求軸力30oFAFN2FN1AB桿—10號工字鋼，AC桿—80mm80mm7mm等邊角鋼，[]=170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]。(2)確定兩桿的面積30oFAFN2FN1查表得：(3)確定許可載荷[F]由AC桿確定：由AB桿確定：§5-5軸向拉壓桿的變形

實驗表明，桿件在軸向拉力或壓力的作用下，沿軸線方向?qū)l(fā)生伸長或縮短，同時，橫向（垂直的方向）必發(fā)生縮短或伸長，如所示。

FFll1aa1一、軸向（或縱向）變形，橫向變形絕對變形：線應(yīng)變（正應(yīng)變）相對變形：單位長度上的變形;無量綱量。長度變化的測量1.軸向（或縱向）變形2.橫向變形絕對變形:橫向線應(yīng)變：●ε

與ε′恒為異號。FFll1aa1或

----泊松比二、泊松比

在線彈性范圍內(nèi)，橫向正應(yīng)變ε’與軸向正應(yīng)變ε之比的絕對值是一個常數(shù)。ε、ε’與都是無量綱的量。(應(yīng)力不超過比例極限)試驗表明：當(dāng)拉（壓）桿內(nèi)的正應(yīng)力小于某一極限值（比例極限）時，桿的伸長（或縮短）△l與軸力FN及桿長l成正比，而與橫截面面積A成反比?！⒖硕ɡ砣⒒⒖硕ɡ恚ㄒ胍槐壤?shù)得等式）E—拉、壓彈性模量;反映材料抵抗彈性變形的能力。具有與應(yīng)力相同的量綱,常用單位GPa。注意：E、

是材料固有的彈性常數(shù)。EA—抗拉（壓）剛度。反映構(gòu)件抵抗彈性變形的能力。變換的形式：（虎克定理的另一表達(dá)形式）表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。注意：（1），F(xiàn)N要代入符號計算。

—伸長；—縮短。（2）FN、A或E分段變化：FN或A沿軸線連續(xù)變化:2FFqF例1.臺階形桿件受載如圖所示，已知AB和BC段的截面面積為A1=400mm2、A2=250mm2。材料的彈性模量為E=210GPa。試計算AB段、BC段和整個桿件的伸長量；并計算截面C相對于截面B的位移△CB以及截面C的絕對位移△C。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200解：(1)求軸力FN1=40kNFN2=40kNAB段:BC段:(2)求各段的變形及桿的總變形AB段:BC段:A1=400mm2、A2=250mm2。E=210GPa。F=40kN

CBA

B'C'l1=300l2=200FN1=40kNFN2=40kN(2)求各段的變形及桿的總變形(3)求截面C相對于截面B的位移△CB以及截面C的絕對位移△C

l

例2.等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為A，桿長為l，材料的容重為γ，桿的總重為G，求桿的變形量△l。解：(1)求自重沿軸線的分布力qq(2)畫軸力圖x

dx(3)求微段dx的變形量

dx(4)求桿的總變形量

四、桁架節(jié)點(diǎn)的位移計算變形：指構(gòu)件的尺寸和形狀的改變。位移：指構(gòu)件上的點(diǎn)或者截面由于變形而引起的位

置的改變。A問：A截面有沒有變形？有沒有位移？

例3.

圖示受力鉸接三角架(桁架），已知：F=9.8kN,1桿的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2桿的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1m

。試求節(jié)點(diǎn)A的水平及垂直位移。A12F30°解：(1)求兩桿的軸力A12F30°F=9.8kN,1桿的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m,2桿的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1mA12F30°(2)計算兩桿的變形量(3)假想打開A鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧作圖來確定節(jié)點(diǎn)A的新位置A1230°A1230°BBCA1230°BC30°(3)假想打開A鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧作圖來確定節(jié)點(diǎn)A的新位置(4)計算節(jié)點(diǎn)A的水平及垂直位移

例4.

已知F及CD桿的EA,AB桿為剛性桿。求節(jié)點(diǎn)A的垂直位移。FABCD60°aa§5-6簡單拉壓超靜定問題超靜定（靜不定）—僅僅依靠靜力平衡方程不能求解所有未知力的問題（或未知力的個數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的個數(shù)。）一、基本概念例如：外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。CFABD12平衡方程:FAFN1FN2(用截面法取A點(diǎn)研究)兩個平衡方程可以求解兩個未知力，屬于靜定問題。CFABD123平衡方程：剛才的結(jié)構(gòu)，加上第3根桿，求各桿的軸力。FAFN1FN3FN2兩個平衡方程，有三個未知力，無法求解，屬于靜不定問題。為什么會從靜定變成靜不定呢？因為有了多余的約束。（要求解這三個未知力，必須補(bǔ)充方程。）要通過變形的協(xié)調(diào)關(guān)系來建立補(bǔ)充方程。靜不定度（次數(shù)）=未知力的數(shù)目-有效平衡方程的數(shù)目例1.設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：l1=l2、

l3=l

；各桿截面面積相等為A；各桿彈性模量相等為E。外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。解：(1)幾何關(guān)系給結(jié)構(gòu)一個假象的變形位置，找變形的諧調(diào)關(guān)系。CFABD123l求解前先作靜不定次數(shù)的判定。CABD123CABD123原則一：由節(jié)點(diǎn)新位置作原

桿軸線的垂線確定

桿的變形量?！冃沃C調(diào)關(guān)系？——變形諧調(diào)關(guān)系解：(1)幾何關(guān)系(2)通過物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程CABD123l——補(bǔ)充方程CFABD123FAFN1FN3FN2(3)列