概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章極限定理初步

第五章

極限定理初步§5.1大數(shù)定律大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……■切比雪夫大數(shù)定律設X1,X2,…是相互獨立的隨機變量,它們都有相同的期望和方差,E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2,…，則對任意的ε>0，有切比雪夫大數(shù)定律表明：當n無限增大時,n個獨立同分布的隨機變量的算術平均值幾乎等于常數(shù)因此可用算術平均值作為μ的估計1821—1894設nA是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，■伯努利大數(shù)定律1654－1705伯努利大數(shù)定律表明：當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n幾乎等于事件A的概率p。因此可用事件發(fā)生的頻率作為相應概率的估計?！?.2中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.*空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響.*如瞄準時的誤差，*炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.它表明，當n充分大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.設X1,X2,…是獨立同分布的隨機序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，令■獨立同分布中心極限定理(林德伯格-列維中心極限定理)則Yn的分布函數(shù)收斂到標準正態(tài)分布函數(shù)，即例1：作加法時，對每個加數(shù)四舍五入取整，各個加數(shù)的取整誤差可以認為是相互獨立的，都服從(-0.5,0.5)上均勻分布?，F(xiàn)在有1200個數(shù)相加，問取整誤差總和的絕對值超過10的概率是多少？

高爾頓釘板試驗圖中每一個粉紅點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有n排釘子,從入口中間處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以1/2的概率滾向左邊,也以1/2的概率滾向右邊.如果n較大,可以看到許多珠子從入口處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示，堆成的曲線近似于正態(tài)分布.分析： 每次碰到第i顆釘子后向左/向右的概率相等都為1/2，則定義變量則X1,…Xn是獨立同分布的隨機變量

E(Xi)=0,D(Xi)=1則小球最后的位置 X=X1+X2+…+Xn在n相當大的時候，接近于N(0,n)分布■二項分布中心極限定理(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理)設隨機變量 ，令定理表明，當n很大，0<p<1是一個定值時,服從二項分布的變量X近似服從正態(tài)分布N(np,np(1-p)).則Yn的分布函數(shù)收斂到標準正態(tài)分布函數(shù)，即棣莫弗1667-1754例1.某互聯(lián)網(wǎng)站有10000個相互獨立的用戶，已知每個用戶在平時任一時刻訪問網(wǎng)站的概率為0.2。求在任一時刻1900~2100個用戶訪問該網(wǎng)站的概率。例2.甲乙兩個戲院在競爭1