《工程彈性力學(xué)基礎(chǔ)》

彈性力學(xué)李li@課程簡(jiǎn)介

教材《工程彈性力學(xué)基礎(chǔ)》周道祥張偉林編著合肥工業(yè)大學(xué)出版社

參考書(shū)彈性力學(xué)復(fù)習(xí)及解題指導(dǎo)王俊民同濟(jì)大學(xué)出版社彈性力學(xué)徐芝綸高等教育出版社彈性力學(xué)楊桂通高等教育出版社工程彈性力學(xué)趙學(xué)仁北京理工大學(xué)出版社工程彈性力學(xué)黃炎清華大學(xué)出版社鐵木辛柯（Timoshenko）彈性理論科學(xué)出版社

CarlosA.Felippa.Introductiontofiniteelementmethods.Colorado,2004課程計(jì)劃與成績(jī)?cè)u(píng)定第一章緒論第二章平面問(wèn)題的基本理論第三章用直角坐標(biāo)解平面問(wèn)題第四章用極坐標(biāo)解平面問(wèn)題第五章有限單元法解平面問(wèn)題考核方式：平時(shí)成績(jī)（30%）+期末考試（70%）第一章緒論

研究對(duì)象和任務(wù)基本假設(shè)基本概念發(fā)展歷史

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄彈性力學(xué)，是變形體力學(xué)的一個(gè)重要組成部分。

基本任務(wù)—研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等?！?.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容材料力學(xué)─研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問(wèn)題。

彈性力學(xué)─研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問(wèn)題。

結(jié)構(gòu)力學(xué)─在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)

（如桁架、剛架等）。

課程

研究對(duì)象

研究任務(wù)

材料力學(xué)

桿狀構(gòu)件分析彈性構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性

結(jié)構(gòu)力學(xué)桿系，即：桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)

彈性力學(xué)一般性構(gòu)件（桿、板、殼、塊體）及結(jié)構(gòu)三種力學(xué)體系的對(duì)比研究采用的假設(shè)彈力：物理問(wèn)題－基本假設(shè)－力學(xué)模型－數(shù)學(xué)模型－解答。精確分析和精確結(jié)果材力：基本假設(shè)+附加簡(jiǎn)化假設(shè)－例如平截面假設(shè)、剪力分布假設(shè)等。結(jié)構(gòu)力學(xué)：附加簡(jiǎn)化假設(shè)－例如分層法忽略各層框架相互影響假設(shè)不同－求解難度不同；結(jié)果的復(fù)雜程度也不同

工程應(yīng)用(設(shè)計(jì))和理論研究的思維方式不同最后的數(shù)學(xué)問(wèn)題彈力：三維數(shù)學(xué)問(wèn)題，綜合分析的是偏微分方程邊值問(wèn)題。材力：一維數(shù)學(xué)問(wèn)題，求解的基本方程是常微分方程。研究方法彈力:從微分單元體入手,僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分附加假定。材力：借助于直觀和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象作一些假定，如平面假設(shè)等，然后由靜力學(xué)、幾何關(guān)系、物理方程三方面進(jìn)行分析。結(jié)果不同：彈性力學(xué)求解微分方程得出較精確的解答；材料力學(xué)建立的是近似理論，得到的是近似的解答；例1：分析深度和跨度相同的直梁在橫向荷載作用下的彎曲。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較按材料力學(xué)，應(yīng)用平面截面假設(shè)，得出橫截面上的正應(yīng)力（彎應(yīng)力）,按直線分布（M(y-3h)/I）；彈性力學(xué)分析的結(jié)果并不是按直線分布，而是按曲線變化的。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較因此，材料力學(xué)給出的最大正應(yīng)力誤差很大例2：分析有孔拉伸構(gòu)件凈截面上的拉應(yīng)力分布。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較按材料力學(xué)，通常假定拉應(yīng)力在凈截面上均勻分布；彈性力學(xué)分析的結(jié)果，遠(yuǎn)不是均勻分布，而是在孔的附近發(fā)生高度的應(yīng)力集中，孔邊的最大拉應(yīng)力會(huì)比平均拉應(yīng)力大出幾倍。彈性力學(xué)與材料力學(xué)比較應(yīng)用于非桿件工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析；現(xiàn)代大型工程結(jié)構(gòu)中安全性和經(jīng)濟(jì)性評(píng)價(jià)與分析；彈性力學(xué)在機(jī)械、水利、土木、航空等工程學(xué)科中占有重要地位；彈性力學(xué)的工程應(yīng)用領(lǐng)域建筑工程水利工程航空航天工程船舶機(jī)械工程桿、板、塊體組合結(jié)構(gòu)

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。彈性力學(xué)基本假設(shè)為什么要提出基本假定？

任何學(xué)科的研究，都要略去影響很小的次要因素，抓住主要因素建立計(jì)算模型歸納為學(xué)科的基本假定。1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)均勻性假設(shè)各向同性假設(shè)完全彈性假設(shè)小變形假設(shè)無(wú)初始應(yīng)力的假設(shè)1.

連續(xù)性假設(shè)

——假設(shè)所研究的整個(gè)彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙。——變形后仍然保持連續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個(gè)假設(shè)不成立——宏觀假設(shè)。2.

均勻性假設(shè)

——假設(shè)彈性物體是由同一類(lèi)型的均勻材料組成的?！矬w的彈性性質(zhì)處處都是相同的。物體各個(gè)部分的物理性質(zhì)不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，可以視為均勻材料。3.各向同性假設(shè)

——假定物體在各個(gè)不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說(shuō)物體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化?！暧^假設(shè)，材料性能各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料?！@些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對(duì)象。材料力學(xué)性能參數(shù)由36個(gè)減少為2個(gè)。4.完全彈性假設(shè)

——對(duì)應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且這個(gè)關(guān)系和時(shí)間無(wú)關(guān)，也和變形歷史無(wú)關(guān)，稱(chēng)為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。研究對(duì)象的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。消除時(shí)間因素對(duì)變形體的影響?！僭O(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作用之前，物體內(nèi)部沒(méi)有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產(chǎn)生的。5.

無(wú)初始應(yīng)力假設(shè)

6.

小變形假設(shè)

——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量?！趶椥泽w的平衡等問(wèn)題討論時(shí)，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰啤?yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。彈性力學(xué)的基本假設(shè)：連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性、自然應(yīng)力狀態(tài)和小變形假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問(wèn)題的討論中，如果沒(méi)有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐證實(shí)是可行的。彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄X、Y、Z為體力矢量在坐標(biāo)軸上的投影單位：N/m3kN/m3——體力分布集度xyzO

F

是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；

F

的加載方式是任意的

(如：重力，磁場(chǎng)力、慣性力等)

X、Y、Z

的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。一、外力:

其他物體對(duì)研究對(duì)象（彈性體）的作用力。1.體力：分布在物體體積內(nèi)的力，如重力、慣性力等。體力大小一般用彈性體內(nèi)單位體積所受力的大小表示，稱(chēng)體力的集度。2.

面力作用于物體表面單位面積上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐標(biāo)軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)

F是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；

F的加載方式是任意的;

的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。內(nèi)力

物體承受外力作用，其內(nèi)部各部分之間產(chǎn)生相互作用，即為內(nèi)力。為了顯示出這些內(nèi)力，用一截面截開(kāi)物體，并取出其中一部分：其中一部分對(duì)另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。1.內(nèi)力包括力和力矩2.內(nèi)力同時(shí)與位置和截面有關(guān)3.彈性力學(xué)中，內(nèi)力是應(yīng)力的積分。4.內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來(lái)，通過(guò)平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。

2、應(yīng)力應(yīng)力：內(nèi)力的集度，即單位面積上的內(nèi)力。取截面的一部分，它的面積為ΔA，為物體在該截面上ΔA點(diǎn)的應(yīng)力ΔFΔA平均集度為ΔF/ΔA，其極限作用于其上的內(nèi)力為ΔF，全應(yīng)力p

、正應(yīng)力σ

、切應(yīng)力τ

通常將全應(yīng)力p沿垂直于截面和平行于截面兩個(gè)方向分解為pτ正應(yīng)力σ剪（切）應(yīng)力τ與物體的變形和材料強(qiáng)度直接相關(guān)的是正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ。σyxyzoσxσz正應(yīng)力σ

圖示單元體面的法線為y,稱(chēng)為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱(chēng)為正應(yīng)力。正應(yīng)力記為σy,沿y軸的正向?yàn)檎?其下標(biāo)y表示所沿坐標(biāo)軸方向。剪（切）應(yīng)力τ

平行于單元體面的應(yīng)力稱(chēng)為切應(yīng)力，用τyx

、τyz表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面，第二下標(biāo)x、z分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的τyx、τyz。xyzoτyzτyxσyxyzo（2）符號(hào)規(guī)定：正面和負(fù)面：截面外法線與坐標(biāo)軸正方向一致，則該面為正面，反之，如果截面外法線與坐標(biāo)軸負(fù)方向一致，則該面為負(fù)面。正面正面正面NNN應(yīng)力的符號(hào)：正面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)向?yàn)樨?fù)；負(fù)面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正向?yàn)樨?fù)。即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝“＋”“＋－”＝“－”；“－＋”＝“－”xyzox、y、z負(fù)面上的正的應(yīng)力分量的表示如圖所示。xyzo可見(jiàn)：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，與材料力學(xué)的符號(hào)一致。正、負(fù)面上，正的應(yīng)力分量正、負(fù)面上，負(fù)的應(yīng)力分量彈性力學(xué)材料力學(xué)注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號(hào)和材料力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號(hào)是不同的。在畫(huà)應(yīng)力圓時(shí)，應(yīng)按材料力學(xué)的符號(hào)規(guī)定。應(yīng)力分量描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常圍繞該點(diǎn)取一微小的正平行六面體，其棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸。各面上的應(yīng)力用沿坐標(biāo)軸的分量來(lái)表示，稱(chēng)為應(yīng)力分量。

相對(duì)平面上的應(yīng)力分量在略去高階小量的意義上大小相等，方向相反。xyzo應(yīng)力不僅和點(diǎn)的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)，不是一般的矢量，而是二階張量。（4）切應(yīng)力互等定律即τxy＝τyx

,τyz

＝τzy,

τzx

＝τxz證明：連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，列出力矩平衡方程：同理可得：得：例：平面問(wèn)題中正的應(yīng)力應(yīng)力與面力，在正面上，兩者正方向一致，在負(fù)面上，兩者正方向相反。例：應(yīng)力與面力正方向的關(guān)系彈力與材力相比，正應(yīng)力符號(hào)，相同切應(yīng)力符號(hào)，不同材力：以拉為正材力：順時(shí)針向?yàn)檎簭椓εc材力中應(yīng)力符號(hào)對(duì)比已知單元體各面上的應(yīng)力分量，試在單元上標(biāo)出方向與數(shù)值。應(yīng)力的概念－舉例3.應(yīng)變1.線應(yīng)變:過(guò)該點(diǎn)取三個(gè)正交微分線段研究,如圖所示：(1)應(yīng)變分量沿x方向沿y方向

沿z方向線應(yīng)變符號(hào)規(guī)定伸長(zhǎng)為正縮短為負(fù)。(與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)）

沿兩個(gè)坐標(biāo)軸正向之間的直角變小為正,變大為負(fù)。（與剪應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng)）(1)剪應(yīng)變分量角度的變化－與材料力學(xué)相同。2、剪應(yīng)變：(2)剪應(yīng)變符號(hào)規(guī)定所以應(yīng)變分量共有六個(gè):剪應(yīng)變例：分析如圖所示微分體(PA固定)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)xyzOPBCA四.位移：物體內(nèi)任一點(diǎn)位置的移動(dòng)。一般用在三個(gè)坐標(biāo)中的投影表示，符號(hào)：變形前變形后對(duì)比材料力學(xué)的位移：彈性力學(xué)位移是針對(duì)點(diǎn)的，不存在角位移。量綱：m或mm剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對(duì)位置不變變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。位移形式坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?負(fù)向?yàn)樨?fù)。位移的符號(hào)規(guī)定

§1.1

彈性力學(xué)的內(nèi)容

§1.2

彈性力學(xué)的基本假設(shè)

§1.3

彈性力學(xué)的基本概念

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法目錄1、發(fā)展初期（約于1660－1820）

這一時(shí)期的研究工作主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。

1678年，胡克（R.Hooke）通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)胡克定律；伯努利（1705年）和庫(kù)侖（1776年）研究了梁的彎曲理論。

1807年，楊通過(guò)實(shí)驗(yàn)提出和測(cè)定了材料的彈性模量；

§1.4

彈性力學(xué)的發(fā)展和主要解法彈性力學(xué)的發(fā)展大致可分為四個(gè)時(shí)期：2、理論基礎(chǔ)的建立（約于1821－1855年）

這個(gè)時(shí)期建立了線性彈性力學(xué)的基本理論，并對(duì)材料性質(zhì)進(jìn)行了深入研究。

1820年，納維建立了各向同性彈性體的方程，其中只有一個(gè)參數(shù)；

1828年，柯西提出應(yīng)力、應(yīng)變概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律?？挛鞯墓ぷ魇墙鷱椥粤W(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，使得彈性力學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立的固體力學(xué)分支學(xué)科。

3、線性理論發(fā)展時(shí)期（約于1854－1907年）這個(gè)時(shí)期主要是數(shù)學(xué)家和力學(xué)家應(yīng)用已建立的線性理論去解決工程實(shí)際問(wèn)題。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論，提出了圣維南原理；圣維南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾里（G.B.Airy）提出了應(yīng)力函數(shù)，以求解平面問(wèn)題；1882年，赫茲建立了接觸應(yīng)力理論，求解了接觸問(wèn)題；赫茲（H.Hertz）1850年及以后，基爾霍夫建立了平板理論，解決了平板的平衡和振動(dòng)問(wèn)題；生於德國(guó)。曾在海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)任物理學(xué)教授，他發(fā)現(xiàn)了電學(xué)中的“基爾霍夫定理”，同時(shí)也對(duì)彈性力學(xué)，特別是薄板理論的研究作出重要貢獻(xiàn)。基爾霍夫(G.R.Kirchoff)4、彈性力學(xué)更深入的發(fā)展時(shí)期（1907年至今）

1907年后，非線性彈性力學(xué)迅速發(fā)展。1907年，卡門(mén)提出了薄板的大撓度問(wèn)題；卡門(mén)和錢(qián)學(xué)森提出了薄殼的非線性穩(wěn)定問(wèn)題；力學(xué)工作者提出了大應(yīng)變問(wèn)題、非線性材料問(wèn)題（塑性力學(xué)等）。1933年，穆斯海里什維利發(fā)展了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論求解彈性力學(xué)問(wèn)題的方法等。另一個(gè)重要理論成果是建立能量原理；提出一系列基于能量原理的近似計(jì)算方法。許多科學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂(lè)甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國(guó)科學(xué)家錢(qián)偉長(zhǎng)、錢(qián)學(xué)森、徐芝倫、胡海昌等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國(guó)的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。錢(qián)偉長(zhǎng)錢(qián)學(xué)森胡海昌徐芝綸楊桂通彈性力學(xué)的研究方法根據(jù)已知彈性體的邊界形狀、彈性常數(shù)、物體所受的體力，以及邊界上的面力和約束，來(lái)求解彈性體內(nèi)的應(yīng)力、形變和位移的未知函數(shù)。彈性力學(xué)問(wèn)題究竟是如何求解的呢？物體的形狀、尺寸、體力、面力、約束情況、材料的物理常數(shù)。應(yīng)力、應(yīng)變、位移共15個(gè)函數(shù)。已知量和待求量(1)已知量(2)待求量1、解析法：根據(jù)靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)等條件，建立區(qū)域內(nèi)的微分方程和邊界條件，用數(shù)學(xué)分析方法求解微分方程的邊值問(wèn)題，得出的解答是精確的函數(shù)解；2、變分法（能量法）：根據(jù)變形體的能量極值原理，導(dǎo)出彈性力學(xué)的變分方程，并進(jìn)行求解。所得解大多是近似的。3、差分法：將導(dǎo)出的微分方程及邊界條件化為差分方程（代數(shù)方程）進(jìn)行求解，是微分方程的近似數(shù)值解法。彈性