第七章應(yīng)力狀態(tài)

材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院1一、應(yīng)力狀態(tài)的概念

第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§7.1概述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指某點(diǎn)處各截面上的應(yīng)力情況。

前面各章研究的拉伸、扭轉(zhuǎn)、橫力彎曲的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是橫截面上的應(yīng)力，通過應(yīng)力狀態(tài)分析，可以了解各點(diǎn)任意斜截面上的應(yīng)力情況。研究應(yīng)力狀態(tài)的目的是找出某點(diǎn)處的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便進(jìn)行失效分析并研究構(gòu)件破壞的原因。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院2軸向拉伸斜截面上的應(yīng)力軸向拉伸橫截面上的應(yīng)力幾個(gè)問題1、簡(jiǎn)單變形（拉壓、扭轉(zhuǎn)、平面彎曲）某點(diǎn)橫截面有應(yīng)力，通過該點(diǎn)的斜截面上是否也有應(yīng)力？FpaFpaaasata材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院3

從兩種不同材料的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可知，低碳鋼在橫截面破壞，鑄鐵在斜截面破壞，所以斜截面上的應(yīng)力當(dāng)然要研究！2、如果斜截面上有應(yīng)力，是否需要研究？低碳鋼扭轉(zhuǎn)斷口斷口鑄鐵扭轉(zhuǎn)斷口450斷口3、應(yīng)力的三個(gè)概念應(yīng)力點(diǎn)的概念:不同點(diǎn)處應(yīng)力不同。應(yīng)力面的概念：同一點(diǎn)處不同截面上的應(yīng)力不同。應(yīng)力狀態(tài)的概念：過一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力的的集合，稱為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力必須指明是哪點(diǎn)、哪個(gè)截面上的應(yīng)力。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院4單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)所截取的微小正六面體。dxdzdy（1）各邊長(zhǎng)為無窮小直六面體；dx，dy，dz→0（2）各面應(yīng)力均勻分布；（3）平行兩面對(duì)應(yīng)應(yīng)力數(shù)值相等。（4）單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知或可求；二、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)xzyOsxsysz正視圖sxsxsysytxytyxtxytyxtxytyxtzytyztzxtxz材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院5單元體的取法

原則：各面應(yīng)力已知或可求。FS平面材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院6123S平面5432154321sx1sx2t2t3材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院7三、主平面主應(yīng)力1、主平面——切應(yīng)力等于零的平面。一點(diǎn)處一般有三個(gè)主平面，互相垂直。2、主應(yīng)力——主平面上的正應(yīng)力。一點(diǎn)處一般有三個(gè)主應(yīng)力，按代數(shù)值大小排列分別記為s1，

s2，

s3，且xysxztxytxzsytyxsztyztzxtzy旋轉(zhuǎn)s1y'x'z's2s3材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院81、單向應(yīng)力狀態(tài)——只有一個(gè)主應(yīng)力不為零。單元體四、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的分類s簡(jiǎn)化表示s2、二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)——有兩個(gè)主應(yīng)力不為零。s1s2s1s2純剪應(yīng)力狀態(tài)tt材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院93、三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)——三個(gè)主應(yīng)力都不為零。s2s3s1三向應(yīng)力狀態(tài)特例二向應(yīng)力狀態(tài)特例單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院10薄壁圓筒實(shí)例材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院11橫截面與縱截面上均存在的正應(yīng)力，對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為沿壁厚均勻分布。軸向應(yīng)力Asxst材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院12周向應(yīng)力1徑向應(yīng)力一般忽略不計(jì)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院13§7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法一、平面應(yīng)力狀態(tài)的一般情形sxsytxytyxxysysxtxytyx簡(jiǎn)化表示特別注意：由x軸正向到y(tǒng)軸正向必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院14二、任意斜截面上的應(yīng)力“任意”斜截面是指法線位于xy面內(nèi)的斜截面，也稱面內(nèi)任意！

平面應(yīng)力狀態(tài)下只要知道單元體2個(gè)面上的應(yīng)力，“任意”斜截面上的應(yīng)力便可通過切開單元體后局部的平衡求出。1、“任意”斜截面的表示方法sxsytxytyxtasanaxsxtxytyxsysata局部平衡×體內(nèi)任意！材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院15a面——斜截面

自x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到a

面外法線時(shí)a

角定義為正。2、應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

xsxtxytyxsyaatasanaxsxtxytyxsysata簡(jiǎn)化表示切應(yīng)力以繞單元體或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。txytyxta應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定是為畫出應(yīng)力的指向及畫應(yīng)力圓用，不表示應(yīng)力的指向與圖示相反。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院163、“任意”斜截面上的應(yīng)力平衡對(duì)象——用

斜截面截取的局部單元。參加平衡的量——應(yīng)力乘以其作用的面積。平衡方程——

xsxtxytyxsyaatasant圖示單元各截面面積如圖所示。dAdAcosadAsinasadA-sx(dAcosa)cosa+txy

(dAcosa)sina

+tyx(dAsina)cosa

-sy(dAsina)sina=0這里要特別指出，式中tyx要按其大小計(jì)算，不考慮負(fù)號(hào)。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院17

tadA-sx(dAcosa)sina-txy(dAcosa)cosa+tyx(dAsina)sina+sy(dAsina)cosa=0

xsxtxytyxsyaatasantdAdAcosadAsina根據(jù)切應(yīng)力互等定理tyx=txy，及三角函數(shù)關(guān)系整理后得到（7-1）（7-2）材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院18由式（7-1）、（7-2）可得，

某點(diǎn)處互相垂直的兩個(gè)截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。

某點(diǎn)處互相垂直的兩個(gè)截面上的切應(yīng)力大小相等，(負(fù)號(hào)表示)方向相反。（切應(yīng)力互等定理）材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院19解：C點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，其拉應(yīng)力和切應(yīng)力為：已知圖示圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力偶矩M=7kN·m。求C點(diǎn)=300截面上的應(yīng)力。FFMMCsxtxytyxC圖示斜截面上應(yīng)力分量為：n300s-300t-300材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院20式（7－1）對(duì)a求導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，必有單元體正應(yīng)力取極值的截面上其切應(yīng)力為零，即為主平面。主平面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，為該點(diǎn)處的最大值或最小值。三、主平面及位置由得（7-3）材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院21

式（7-3）可求出相差900的兩個(gè)角a0，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直的截面上，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在截面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在截面。（7-4）四、面內(nèi)最大切應(yīng)力及位置式（7-2）對(duì)a求導(dǎo)，得由可確定面內(nèi)切應(yīng)力取極值的截面。（7-5）面內(nèi)是指截面法線是位于xy平面內(nèi)的。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院22

式（7-5）可求出相差900的兩個(gè)角a1，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直的截面上，作用著大小相等，同時(shí)指向或背離交線的切應(yīng)力所在截面。（7-6）式（7-3）和式（7-5）有：所以有材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院2325MPa75MPa40MPa單元體的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，求該點(diǎn)的主應(yīng)力并確定主平面的位置。解：建立圖示坐標(biāo)，其拉應(yīng)力和切應(yīng)力為：xy因?yàn)?，且朝上，所以主平面如圖所示。按主應(yīng)力規(guī)定s1s319.330材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院24已知圖示圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力偶矩M=7kN·m。求C點(diǎn)處的主平面和主應(yīng)力及面內(nèi)最大切應(yīng)力和位置。FFMMC解：C點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，其拉應(yīng)力和切應(yīng)力為：sxtxytyxC由得a=24.10和114.10單元體旋轉(zhuǎn)s1s324.10CC點(diǎn)處的主單元體材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院25單元體旋轉(zhuǎn)

面內(nèi)最大切應(yīng)力的位置不必計(jì)算，由主單元體旋轉(zhuǎn)450就可得作用面內(nèi)最大切應(yīng)力的單元體，但是必須強(qiáng)調(diào)指出的是，此時(shí)單元體不是純剪切應(yīng)力狀態(tài)，截面上有正應(yīng)力作用，且正應(yīng)力大小為平均正應(yīng)力。平均正應(yīng)力為單元體旋轉(zhuǎn)s1s324.10CsxtxytyxCsm450Csmtmaxtmin69.1024.10材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院26一、應(yīng)力圓方程sa，ta為變量a

為參數(shù)§7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院27二、應(yīng)力圓的作法ROstsxtxyAA(sx,txy)BsytyxB(sy,tyx)CA1B1材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院28三、應(yīng)力圓的應(yīng)用

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值；

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與單元體斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；

二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。1、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系A(chǔ)BsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)nx2二倍角對(duì)應(yīng)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院292、單元體斜截面上的應(yīng)力ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)nx2D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy2a0D1材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院303、主應(yīng)力值及主平面方位主應(yīng)力值平均應(yīng)力值主平面方位COstABA1B1FsmaxEsmin20BsytyxsxtxyAFEsmaxsmina0材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院31COstABA1B1FsmaxEsmin20BsytyxsxtxyA4、面內(nèi)最大切應(yīng)力值及其作用面方位

應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)的切應(yīng)力最大，即為面內(nèi)最大切應(yīng)力，其作用面與主平面的夾角為450。C2C1(sm,tmax)a0FEsmaxsminsmtmax材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院32純剪切tsOttABA(0,t)B(0,－t)CDEDEs1=ts3=－t單向拉伸ssABEDtsOBCA(s,0

)DEsm=s/2tmax=s/2sm=s

/2材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院33求：1、指定斜截面上的應(yīng)力；

2、主平面；

3、主應(yīng)力；

4、面內(nèi)最大切應(yīng)力；

5、畫出主應(yīng)力單元體。

x=－20MPa；

y=

40MPa；

xy=10MPa；

=300

解析法:（1）建立坐標(biāo)系已知單元體如圖，圖中應(yīng)力單位為MPa。401020300（2）求sa

，ta=－13.7MPasa

，ta

算好后按實(shí)際方向畫在原圖上300nyxx軸正向到y(tǒng)軸正向是逆時(shí)針的tasa材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院34（3）求主平面a0=9.220，99.220（4）求主應(yīng)力401020300tasa∴s1=41.6MPa，s2=0，s3=－21.6MPa（5）畫主應(yīng)力單元體注：主應(yīng)力smax

的方向是sx與sy中的較大者，順單元體切應(yīng)力t

的指向偏轉(zhuǎn)a0角中絕對(duì)值較小角而得。s1s39.2209.220（6）求面內(nèi)最大切應(yīng)力材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院35圖解法:（1）畫應(yīng)力圓401020300sOtA(-20,10)A(-20,10)B(40,-10)C（2）求應(yīng)力圓上的幾何數(shù)據(jù)應(yīng)力圓半徑B截面與最大正應(yīng)力所在主平面夾角a020B(40,-10)B1a0=9.220FEs1s39.2209.220材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院36（3）求sa

，ta401020300A(-20,10)B(40,-10)sOtA(-20,10)C20B(40,-10)B1FE300n20a0=9.220D(sa,ta)600（4）求面內(nèi)最大切應(yīng)力材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院37a114MPa483828已知平面應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處的兩個(gè)截面上的應(yīng)力如圖所示。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面方位，并求出兩截面的夾角a值。圖中應(yīng)力單位為MPa。P252.7-11解析法：設(shè)圖中的x面和1800-

a面如圖示。xn1800-a則：sx=114MPa，txy=-48MPa；

s180-a=38MPa，t180-a=28MPa代入以上數(shù)據(jù)求得sy=58MPa1144848xysyas180-at180-a材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院38主應(yīng)力為于是：s1=142MPa，s2=30MPa，s3=0a0=29.90，119.90由s180-a和t180-a消去cos2a得，sin2a=0.5，a=150，750

消去sin2a

得，cos2a

=－0.87，a

=750，1050最終得a=750a114MPa483828114484858xy14229.9030x材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院39A面的正應(yīng)力s=114MPa，切應(yīng)力t=-48MPaB面的正應(yīng)力s=38MPa，切應(yīng)力t=28MPa在應(yīng)力坐標(biāo)軸上做A、B兩點(diǎn)如圖所示。ABstOA(114,-48)B(38,28)連接AB，做AB的垂直平分線交橫軸于C，連CA、CB。以C為圓心，CA或CB為半徑做應(yīng)力圓于圖示。應(yīng)力圓半徑求得sm=86，R=56于是：s1=

sm+R=142MPas2=sm－R=30MPas3=0C(sm,0)Da114MPa483828材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院402a0因?yàn)槿切蜛CB的頂角為2a。aastOA(114,-48)B(38,28)C(sm,0)Da0=29.90因?yàn)閟m=86，R=56a114MPa483828ABa=750材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院41四、梁的主應(yīng)力和主應(yīng)力跡線梁在橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力和切應(yīng)力為：lhbqsxMFStxym—m截面上的應(yīng)力分布mm材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院42mm梁內(nèi)任意一點(diǎn)處的單元體及主應(yīng)力為：sxtxys1s3m—m截面上各點(diǎn)的主應(yīng)力方向s3s1s3s1s3s1s3s1注：中性軸以上橫截面受壓，主應(yīng)力s1

與鉛直方向的夾角小于450。中性軸以下橫截面受拉，主應(yīng)力s1的方向與水平方向的夾角小于450。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院43主應(yīng)力跡線：在梁的平面內(nèi)繪制的兩組正交的曲線，曲線上各點(diǎn)的切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)的主應(yīng)力方向。

圖示受均布荷載作用簡(jiǎn)支梁的主應(yīng)力跡線。及根據(jù)主應(yīng)力跡線做的配筋圖。實(shí)線——主應(yīng)力s1

的跡線；虛線——主應(yīng)力s3的跡線。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院44一、定義

三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。二、三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓

可利用主應(yīng)力單元體作出。s1s2s3三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力單元體§7.3空間應(yīng)力狀態(tài)分析三種特殊的斜截面s3s1s2平行于s1的斜截面s3s1s2平行于s2的斜截面s3s1s2平行于s3的斜截面材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院45

平行于s1的斜截面上的應(yīng)力與s1無關(guān)，其應(yīng)力由s2

、s3作出的應(yīng)力圓I上的點(diǎn)確定。s3s1s2平行于s1的斜截面tsOs2Ⅰs3

平行于s3的斜截面上的應(yīng)力與s3無關(guān)，其應(yīng)力由s1

、s2作出的應(yīng)力圓Ⅱ上的點(diǎn)確定。s3s1s2平行于s3的斜截面s1Ⅱ材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院46Ⅲs3s1s2平行于s2的斜截面

平行于s2的斜截面上的應(yīng)力與s2無關(guān)，其應(yīng)力由s1

、s3作出的應(yīng)力圓Ⅲ上的點(diǎn)確定。三向應(yīng)力圓三種特殊斜截面上的應(yīng)力在對(duì)應(yīng)圓上s1Ⅱs3s2ⅠtsO單元體任意斜截面上的應(yīng)力在三個(gè)應(yīng)力圓所圍區(qū)域內(nèi)K材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院471、極值正應(yīng)力

smax=s1

smin=s3三、極值應(yīng)力Ⅲs1Ⅱs3s2ⅠtsO2、極值切應(yīng)力各面內(nèi)最大切應(yīng)力某點(diǎn)處最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力位于平行于s2的斜截面上。s1s2s3tmax材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院48試確定圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主平面和最大切應(yīng)力作用面位置。30015014090解：①建立坐標(biāo)，給定應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應(yīng)力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)，可直接求主應(yīng)力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=－150MPa，因此：③根據(jù)s1、s2、s3的排列順序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPaxyz材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院49④主應(yīng)力方位最大切應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角成450即與x軸夾角760或-140。⑤單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院5030015014090stOABA(300,-150)(140,

150)BC20應(yīng)力圓半徑smax=39050=smin材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院51x300150y140z90Asy=140txy=150sx=300A視圖xzys2y'31o31os1x's3材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院52解：①這是主應(yīng)力單元體，由定義s1=60MPa，s2=30MPa，s3=－50MPa①求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。30(MPa)605030(MPa)3040②②已知一個(gè)主應(yīng)力40MPa，另兩個(gè)主應(yīng)力可按純剪切應(yīng)力狀態(tài)結(jié)論直接寫出。s1=40MPa，s2=30MPa，s3=－30MPa材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院53

各向同性材料，應(yīng)力不超過材料的比例極限。胡克定律成立

§7.4應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系一、廣義胡克定律yxn--泊松比sxsx材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院54三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律——疊加法疊加s2s3s1同理。其它方向的應(yīng)變?yōu)椴牧狭W(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院55xzyOsxsysztxytyxtzytyztzxtxz三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律——疊加法（1）線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無關(guān)；切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)。（2）一個(gè)方向的線應(yīng)變不僅與該方向的正應(yīng)力有關(guān)，而且與兩個(gè)垂直方向的正應(yīng)力有關(guān)。因此，考察一個(gè)方向的線應(yīng)變時(shí)，需要考慮三個(gè)互相垂直方向的正應(yīng)力。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院56二、體積胡克定律單元體變形前體積V=dxdydz單元體變形后體積定義體積應(yīng)變?yōu)槎x體積彈性模量為其中平均應(yīng)力dzdydxs3s1s2于是材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院572、求t3、求Me

解：1、應(yīng)力狀態(tài)分析畫單元體已知軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的d，E，v，e45o，求Me。450MeKMettK450s1=tKs3=－t材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院58解：k點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)。圖示簡(jiǎn)支梁k點(diǎn)450方向的線應(yīng)變?yōu)?50，材料的彈性模量為E，泊松比為n，求作用的荷載F。450Fl/32l/3hbttK450s1=tKs3=－t求得材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院59解：銅塊應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，橫截面上的壓應(yīng)力為：如圖所示邊長(zhǎng)a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大變形不計(jì)的鋼凹槽中。當(dāng)受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的主應(yīng)力、體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。aaaFszsxsy

受鋼槽的限制，銅塊在另兩個(gè)方向的應(yīng)變?yōu)榱?，并產(chǎn)生壓應(yīng)力。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院60解得：最大切應(yīng)力為：則銅塊的主應(yīng)力為：由此可得其體積應(yīng)變?yōu)椋翰牧狭W(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院61一、外力功與應(yīng)變能

1、外力功W荷載在其作用點(diǎn)位移上所作的功。(1)

常力作功§7.5彈性固體的應(yīng)變能W=FDFADFBqW=MqMM(2)

靜載(變力)作功

靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性體上的荷載，靜載作功屬于變力作功。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院62D

FDFdDF對(duì)于一般彈性體F—D圖下方面積對(duì)于線性彈性體，即位移與力成正比的彈性體FDD

FF為廣義力，D為廣義位移。2、應(yīng)變能Ve彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，稱為應(yīng)變能。

由能量守恒定律，儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Ve在數(shù)值上等于外力所作的功W。（忽略能量損失）即Ve=W材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院63二、線彈性體的應(yīng)變能1、軸向拉壓FN為變量時(shí)lFFFDlDlF材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院642、扭轉(zhuǎn)T為變量時(shí)MejMejMe材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院653、平面彎曲橫力彎曲時(shí)忽略剪力對(duì)應(yīng)變能的影響，如矩形截面，當(dāng)l/b=10時(shí)，剪力的應(yīng)變能只占彎矩應(yīng)變能的3﹪。純彎曲時(shí)橫力彎曲M(x)為變量MdxMdq材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院66

應(yīng)變能Ve是內(nèi)力（FN、T、M）的二次函數(shù)，應(yīng)變能一般不符合疊加原理。但若幾種荷載只在本身的變形上作功，而在其它載荷引起的變形上不作功，則應(yīng)變能可以疊加。三、線彈性體的應(yīng)變能密度

應(yīng)變能密度

1、單向拉壓的應(yīng)變能密度sdxdydz材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院672、純剪切的應(yīng)變能密度dxdydzttg3、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

三向應(yīng)力狀態(tài)下，假定各主應(yīng)力按比例同時(shí)從零增加到最終值，每一主應(yīng)力與相應(yīng)的主應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系。

由廣義胡克定律材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院68于是對(duì)k積分得復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度v

e體積改變能密度vV形狀改變能密度vd因體積變化、形狀不變而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度。

因形狀改變體積不變而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院69s1s2s3=smsmsm+圖示單元體三個(gè)正應(yīng)力相等，只有體積改變能。圖示單元體三個(gè)正應(yīng)力不相等，且三個(gè)正應(yīng)力之和為零，只有形狀改變能。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院70smsmsm注意：由于應(yīng)力、應(yīng)變與應(yīng)變能密度不是線性關(guān)系，所以應(yīng)變能密度一般不符合疊加原理。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院71上式展開，并注意有復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為得形狀改變能密度vd單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院72軸向拉伸ss§7.6強(qiáng)度理論及相當(dāng)應(yīng)力一、建立強(qiáng)度條件的復(fù)雜性單向應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件橫力彎曲st

軸向拉伸橫截面上任一點(diǎn)和橫力彎曲邊緣上的點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院73t扭轉(zhuǎn)t純剪切強(qiáng)度條件橫力彎曲st

扭轉(zhuǎn)橫截面上邊緣上的點(diǎn)和橫力彎曲中性軸上的點(diǎn)均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。st平面應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件？×材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院74

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的形式是無窮無盡的，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，采用模擬的方法幾乎是不可能的，即逐一用試驗(yàn)的方法建立強(qiáng)度條件是行不通的，需要從理論上找出路。二、利用強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件

（1）對(duì)破壞形式分類；（2）同一種形式的破壞，可以認(rèn)為是相同的原因造成的；（3）至于破壞的原因是什么，可由觀察提出假說，這些假說稱為強(qiáng)度理論;

（4）利用簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)建立強(qiáng)度條件。三常用四種強(qiáng)度理論脆性斷裂塑性屈服破壞形式分類

強(qiáng)度理論也可分為兩類，分別對(duì)不同的破壞形式提出強(qiáng)度條件。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院75鑄鐵扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院76低碳鋼扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院77

無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值，材料就會(huì)發(fā)生脆性斷裂。Ⅰ、脆性斷裂理論

1、最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）破壞原因：stmax

（最大拉應(yīng)力）破壞條件：s1=s

0

（sb）s1s2s3s0=sb強(qiáng)度條件適用范圍:脆性材料拉、扭；一般材料三向拉；鑄鐵二向拉-拉，拉-壓（st>sc）材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院78拉斷！鑄鐵斷口450ttABDEs1=ts3=－t材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院79

無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到極限值，材料就發(fā)生脆性斷裂。破壞原因：etmax

（最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變）破壞條件：e1=e02、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）強(qiáng)度條件：s1－n（s2+s3

）≤sb/n=[s]適用范圍：石、混凝土壓；鑄鐵二向拉—壓（st

≤sc）材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院80

無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力達(dá)到極限值，就發(fā)生屈服破壞。破壞原因：tmax

破壞條件:tmax=t

0

Ⅱ、塑性屈服理論1、最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）s1s2s3s0=sss1－s3=s

0=ss強(qiáng)度條件適用范圍：塑性材料屈服破壞；一般材料三向壓。材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院812、形狀改變能理論（第四強(qiáng)度理論）

無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變能密度達(dá)到極限值，就發(fā)生屈服破壞。只改變體積只改變形狀s1s2s3s0=ss破壞條件材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院82適用范圍：塑性材料屈服；一般材料三向壓。強(qiáng)度條件四、相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度條件中直接與許用應(yīng)力[s]比較的量，稱為相當(dāng)應(yīng)力sr(形狀改變能理論)(最大切應(yīng)力理論)(最大拉應(yīng)力理論)(最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論)強(qiáng)度條件的一般形式sr