第五章參數(shù)統(tǒng)計(jì)

5第五章參數(shù)估計(jì)通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該知道：統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題、概念與原理參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的方法與評(píng)價(jià)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)所需的樣本容量的確定Statistics統(tǒng)計(jì)抽樣推斷是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的重要內(nèi)容，包括兩大核心內(nèi)容：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。兩者都是根據(jù)樣本資料，運(yùn)用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)理論和方法對(duì)總體的參數(shù)進(jìn)行推斷。參數(shù)估計(jì)對(duì)所要研究的總體參數(shù)，運(yùn)用某原理給出一個(gè)估計(jì)量或估計(jì)區(qū)間來(lái)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)提出的關(guān)于總體或總體參數(shù)的某個(gè)陳述進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷真?zhèn)谓y(tǒng)計(jì)推斷總體指標(biāo)：參數(shù)（未知量）樣本總體指標(biāo)：統(tǒng)計(jì)量（已知量）抽樣推斷學(xué)習(xí)參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)要注意：1、明確要研究的問(wèn)題，并給出正確的提法2、確定合適的統(tǒng)計(jì)量3、樣本資料要有代表性4、參數(shù)統(tǒng)計(jì)與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的主要區(qū)別：前者已知總體的分布，只是分布中含有未知參數(shù)，后者對(duì)總體的分布幾乎是未知的5、給出推斷結(jié)果的合理解釋1統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題和概念在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，往往把所研究的問(wèn)題或現(xiàn)象視為隨機(jī)變量，有自己的概率分布。但絕大多數(shù)情況下，要研究的隨機(jī)現(xiàn)象（或變量）服從什么分布可能完全不知道，或者由于現(xiàn)象的某些事實(shí)而知道其服從什么類型的分布，比如正態(tài)分布、指數(shù)分布等，但不知道分布中所含的參數(shù)。怎樣才能知道一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的分布或其參數(shù)呢？這正是統(tǒng)計(jì)推斷所要解決的基本問(wèn)題。如何根據(jù)觀測(cè)或試驗(yàn)所得到的有限信息對(duì)總體作出推斷，并同時(shí)指出所作的這種推斷有多大的可靠性（用概率表示），是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題。抽樣推斷的作用(1)有些現(xiàn)象和事物不可能進(jìn)行全面調(diào)查，如對(duì)具有破壞性或消耗性的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)如燈泡電視抗震食品質(zhì)量檢驗(yàn)人體白血球數(shù)量化驗(yàn)(2)有些總體理論上可以進(jìn)行全面調(diào)查，實(shí)際上辦不到如森林的樹(shù)木數(shù)量河流中的魚(yú)尾數(shù)污染狀況(3)抽樣調(diào)查可以節(jié)省人力費(fèi)用和實(shí)踐，而且比較靈活(4)有些狀況下，抽樣調(diào)查結(jié)果比全面調(diào)查準(zhǔn)確；可以用抽樣調(diào)查資料修正和補(bǔ)充全面調(diào)查資料如10年一次人口普查，中間的人口抽樣調(diào)查1%(5)利用抽樣推斷方法，可以對(duì)總體進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷真?zhèn)?，決定取舍

假如我們從總體中按機(jī)會(huì)均等的原則隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，然后對(duì)這n個(gè)個(gè)體就我們關(guān)心的數(shù)值指標(biāo)X進(jìn)行觀測(cè)，這一過(guò)程稱為隨機(jī)抽樣。這n個(gè)個(gè)體的數(shù)值指標(biāo)稱為一個(gè)樣本，它是一個(gè)隨機(jī)向量。在一次抽樣以后，觀測(cè)到的一組確定的值或數(shù)據(jù)稱為該樣本的觀測(cè)值或樣本數(shù)據(jù)。樣本所有可能觀測(cè)值的全體就構(gòu)成了樣本空間。

X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)X的分布函數(shù)是F（x）。由于樣本中每一個(gè)個(gè)體都來(lái)自總體X，所以樣本中的任一個(gè)體的分布函數(shù)和總體相同，即的分布函數(shù)為一般用大寫(xiě)英文字母或希臘字母表示隨機(jī)變量，而用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的觀測(cè)值或數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣為了避免在抽樣時(shí)引入偏差，最簡(jiǎn)單、應(yīng)用很普遍的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（也稱純隨機(jī)抽樣），它滿足以下兩個(gè)條件：

1、總體的每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本

2、樣本的分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，即樣本中任一個(gè)體的取值不影響其他個(gè)體的取值抽樣誤差1抽樣誤差(Samplingerror)

總體未知參數(shù)（或數(shù)字特征）和相應(yīng)的基于樣本的統(tǒng)計(jì)量之間的差異

數(shù)學(xué)表示：如何理解：

(1)抽樣誤差僅指抽樣的隨機(jī)性而產(chǎn)生的那部分代表性誤差

(2)抽樣誤差是實(shí)際誤差：即樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之差。這無(wú)法確知，并且隨著樣本的不同而變化抽樣誤差的影響因素：σ,n,抽樣方法等

影響抽樣誤差的因素總體各單位的差異程度（即標(biāo)準(zhǔn)差的大小）：越大，抽樣誤差越大；樣本單位數(shù)的多少：越大，抽樣誤差越??；抽樣方法：不重復(fù)抽樣的抽樣誤差比重復(fù)抽樣的抽樣誤差??；統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布一、統(tǒng)計(jì)量定義

為什么引入統(tǒng)計(jì)量：樣本是我們進(jìn)行分析和推斷的起點(diǎn)，但實(shí)際上我們并不直接用樣本進(jìn)行推斷，而需對(duì)樣本進(jìn)行“加工”和“提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來(lái)，為此引入統(tǒng)計(jì)量的概念。

統(tǒng)計(jì)量是不依賴于任何未知參數(shù)的樣本的可測(cè)函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量。它有自己的分布密度和分布函數(shù)。例如樣本均值和樣本方差是常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量一般而言，統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，它有自己的分布密度和分布函數(shù)；統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。由樣本推斷總體特征時(shí)要依據(jù)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布由于正態(tài)分布應(yīng)用十分普遍，我們將給出總體為正態(tài)分布的樣本均值和樣本方差的抽樣分布，它們是統(tǒng)計(jì)推斷的理論依據(jù)和基礎(chǔ)幾個(gè)常見(jiàn)的抽樣分布（一）2—分布1、定義：設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，i=1,2,…,n則稱為自由度為n的2分布。n個(gè)相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和服從2(n)。2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線2、性質(zhì)(1)(2)2分布的可加性X1,X2相互獨(dú)立，則X1+X2~2(n1+n2)例4(X1,X2,X3)為X的一個(gè)樣本求的分布。解因?yàn)?X1,X2,X3)為X的一個(gè)樣本則i=1,2,33、2分布表及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成P{2(n)>λ}=α，已知n,α可查表求得λ;(2)有關(guān)計(jì)算λ為2分布的α分位點(diǎn)α1、定義若X~N(0,1)，Y~2(n)，X與Y獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t—分布。(二)t—分布例

(X1,X2,X3)為X的一個(gè)樣本，求的分布i=1,2,3t(n)的概率密度為2、基本性質(zhì):(1)f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱；(2)f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即3、t分布表及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成：P{t(n)>λ}=α(2)有關(guān)計(jì)算P{t(n)>λ}=α

，λ=tα(n)α注:(三)F—分布1、定義若X~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y獨(dú)立，則

稱為第一自由度為n1

，第二自由度為n2的F—分布，其概率密度為2、F分布表及有關(guān)計(jì)算(1)構(gòu)成：P{F(n1,n2)>λ}=α(2)有關(guān)計(jì)算P{F(n1,n2)>λ}=αλ=Fα(n1,n2)α例6(X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~(0,σ2)的樣本，求統(tǒng)計(jì)量的分布解三、有關(guān)正態(tài)總體的幾個(gè)主要結(jié)果證明組合，故服從正態(tài)分布。1、若則是n

個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性2、設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則（證明略）(1)(2)與S2獨(dú)立3、設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則證明(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則由分布定理1、2可知與S2獨(dú)立且所以由t分布的定義，可知總體成數(shù)與樣本成數(shù)

總體成數(shù)(或比例)是指總體中具有某一特征的個(gè)體在總體中所占的比重，用表示

如果總體中的個(gè)體用表示，總體容量為N，則總體均值等于總體成數(shù)說(shuō)明：個(gè)體具有該特征賦值“1”，不具有賦“0”

總體方差為

樣本成數(shù)是指樣本中具有某一特征的個(gè)體在該樣本中所占的比重，用p表示設(shè)X1,X2,…,Xn是從該總體抽取的一個(gè)樣本,則

樣本均值就是樣本中具有該特征的個(gè)體數(shù)占樣本總數(shù)的百分比,即就是樣本成數(shù)p,

樣本方差為則未知參數(shù)，這種問(wèn)題稱為參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.在實(shí)際中我們經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：總體的分布函數(shù)的形式為已知，是未知參數(shù).是的一個(gè)樣本,為相應(yīng)的一個(gè)樣本值.我們希望用樣本值去估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題的提出在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱統(tǒng)計(jì)量

點(diǎn)估計(jì)常用方法：矩估計(jì)和極大似然估計(jì)法.解決上述參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題的思路是:設(shè)法作出合理的估計(jì).的估計(jì)值.構(gòu)造一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量,對(duì)為的估計(jì)量,的觀測(cè)值稱為矩估計(jì)法是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家矩估計(jì)法的基本思想是用樣本的階原點(diǎn)矩去估計(jì)總體的階原點(diǎn)矩;皮爾遜(K.Pearson)在1894年提出.用樣本的階中心矩去估計(jì)總體并由此得到未知參數(shù)的估計(jì)量.矩估計(jì)法的k階中心矩設(shè)總體的分布函數(shù)為,是個(gè)待估計(jì)的未知參數(shù).設(shè)存在，對(duì)任意,現(xiàn)用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即令這樣得到含個(gè)參數(shù)的個(gè)方程組,解該方程組得以作為參數(shù)的估計(jì)量.這種求出估計(jì)量的方法稱為矩估計(jì)法.求總體的均值和方差的矩估計(jì).解

設(shè)是總體的一個(gè)樣本，由于故令解得例極大似然估計(jì)作為一種點(diǎn)估計(jì)方法最初是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)于1821年提出，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)在1922年作了進(jìn)一步發(fā)展使之成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要應(yīng)用最廣泛的方法之一.GaussFisher極大似然估計(jì)極大似然原理的直觀想法：在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn).一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)

可能結(jié)果,若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果出現(xiàn),則認(rèn)為出現(xiàn)的概率最大.極大似然估計(jì)法設(shè)總體的分布律為或分布密度為，其中是未知參數(shù)，的分布律(或分布密度)為,當(dāng)給定樣本值后，

它只是參數(shù)的函數(shù)，記為，即則稱為似然函數(shù)，似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的分布律或分布密度.似然函數(shù)既然在一次試驗(yàn)中得到的樣本值，那么樣本取該樣本值的概率應(yīng)較大，所以選取使似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值作為估計(jì)值，稱為極大似然估計(jì)法.是樣本的一個(gè)觀測(cè)值,設(shè)總體的分布律為的概率為則樣本設(shè)總體的分布密度(或分布律)為，其中為未知參數(shù).又設(shè)是總體的一個(gè)樣本值，如果似然函數(shù)在處達(dá)到最大，則稱分別為的極大似然估計(jì)量.由于與有相同的極大值點(diǎn).因此，為極大似然估計(jì)的必要條件為

稱它為似然方程,其中求極大似然估計(jì)量的一般步驟為：(1)求似然函數(shù)；(2)求出及似然方程(3)解似然方程得到極大似然估計(jì)值

(4)最后得到極大似然估計(jì)量

設(shè)總體，求參數(shù)的極大似然估計(jì)量.解設(shè)是總體的樣本，其觀測(cè)值為,由總體,分布密度為例似然函數(shù)解似然方程得極大似然估計(jì)量為.兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法:矩估計(jì)法極大似然估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中往往先使用極大似然估計(jì)法,

在極大似然估計(jì)法使用不方便時(shí),再用矩估計(jì)法.內(nèi)容小結(jié)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為待估計(jì)的總體參數(shù)，為樣本統(tǒng)計(jì)量，則的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)為：若，則稱為的無(wú)偏估計(jì)量指樣本指標(biāo)的均值應(yīng)等于被估計(jì)的總體指標(biāo)無(wú)偏性若，則稱為比更有效的估計(jì)量作為優(yōu)良的估計(jì)量，除了滿足無(wú)偏性的要求外，其方差應(yīng)比較小有效性指隨著樣本單位數(shù)的增大，樣本估計(jì)量將在概率意義下越來(lái)越接近于總體真實(shí)值一致性點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)若對(duì)于任意ε>0，有為的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量；為的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量；為的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以證明：點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)3、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)一．置信區(qū)間概念對(duì)于未知參數(shù)，除了得到它的點(diǎn)估計(jì)外，我們還希望估計(jì)出一個(gè)范圍，并希望知道這個(gè)范圍包含參數(shù)真值的可信程度．這樣的范圍通常以區(qū)間的形式給出，而可信程度由概率給出．這種估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間，以下先給出置信區(qū)間概念．定義

設(shè)為總體X的一個(gè)未知參數(shù)，是預(yù)先給定一個(gè)數(shù)，，是兩個(gè)估計(jì)量，如果

則稱隨機(jī)區(qū)間為未知參數(shù)的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間(ConfidenceInterval)．置信度也常稱為置信水平(confidencelevel)或置信系數(shù)(confidencecoefficient)．通常取0.05，0.01，0.10，視具體需要而定．二．求區(qū)間估計(jì)的一般方法首先根據(jù)樣本尋找一個(gè)隨機(jī)變量（樞軸變量），使其分布完全已知．對(duì)給定的置信度，由T的分布確定兩個(gè)常數(shù)C1，C2使將事件表示為則即的置信度為的置信區(qū)間為．三．正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)

鑒于實(shí)際問(wèn)題中最常見(jiàn)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題多數(shù)是要求估計(jì)總體的均值和方差，且正態(tài)總體又是實(shí)際問(wèn)題中最常遇到的總體，因此，以下著重討論正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì)．總體X～N

，μ

是未知參數(shù)，現(xiàn)在我們分兩種情形討論μ的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題從該總體X中抽取隨機(jī)樣本，并以作為μ=EX的點(diǎn)估計(jì)，服從正態(tài)分布１．已知情形下μ的置信區(qū)間若是已知參數(shù)，這時(shí)可選取樞軸變量～N(0,1)則對(duì)給定的置信度，存在，使

這里是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的-上側(cè)分位數(shù)，其值可查附表求得．將U的表示式代入上式可得

所以μ的置信度為的置信區(qū)間是

其長(zhǎng)度為

2．為未知情形下，μ的置信區(qū)間

若是未知參數(shù)，則以的無(wú)偏估計(jì)代替，這時(shí)由于樞軸變量～所以對(duì)給定的置信度，存在使

這里的是自由度為n-1的t分布的-上側(cè)分位數(shù)，它的值可查附表求得，將T代入可得因此有

所以μ的置信度為的置信區(qū)間是

其長(zhǎng)度為

需要說(shuō)明的是：置信區(qū)間公式中的，，在實(shí)際問(wèn)題中都是具體觀測(cè)值，計(jì)算時(shí)應(yīng)是．四．大樣本情形下總體均值的區(qū)間估計(jì)．對(duì)一般的總體X，無(wú)論它服從什么分布，只要其均值μ=EX和方差σ2=DX都存在，我們便可以用增大樣本容量的辦法對(duì)其均值μ作區(qū)間估計(jì)．根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，便近似服從正態(tài)分布．又因?yàn)?/p>

，所以

N（0，1）又因?yàn)闃颖径A中心矩Sn是σ的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)n充分大時(shí)，σ近似等于Sn，從而上式中以Sn代替σ，可得樞軸變量

N（0，1）對(duì)于指定的α∈(0,1),查附表可得到，使即故的置信度為的置信區(qū)間近似為

1．兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體，總體，兩總體相互獨(dú)立．現(xiàn)從兩總體中各取一個(gè)容量分別為n1和n2的樣本，并記兩個(gè)樣本的均值、方差分別為和取作為的點(diǎn)估計(jì)，顯然這個(gè)估計(jì)是無(wú)偏的，并且，有～N（0，1）于是可得的置信度為的置