第5章曲線與曲面

第二篇幾何第6章曲線與曲面6.1基礎知識自由曲線和曲面發(fā)展過程自由曲線曲面的最早是出現(xiàn)在工作車間，為了獲得特殊的曲線，人們用一根富有彈性的細木條或塑料條（叫做樣條），用壓鐵在幾個特殊的點（控制點）壓住樣條，樣條通過這幾個點并且承受壓力后就變形為一條曲線。人們調(diào)整不斷調(diào)整控制點，使樣條達到符合設計要求的形狀，則沿樣條繪制曲線。1963年，美國波音，弗格森提出使用參數(shù)三次方程來構造曲面1964-1967年，美國MIT，孔斯用封閉曲線的四條邊界來定義曲面1971年，法國雷諾汽車，Bezier提出用控制多邊形來定義曲線和曲面1974年，美國通用汽車，戈登和里森菲爾德,B樣條理論用于形狀描述1975年，美國錫拉丘茲大學，佛斯普里爾提出有理B樣條80年代，皮格爾和蒂勒,將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條，NURBS方法6.1基礎知識從表示形式來看，曲線可分成兩大類：規(guī)則曲線——自由曲線——可以用標準方程描述的曲線。如圓、橢圓、拋物線、雙曲線、漸開線、擺線等無法用標準方程描述的曲線，通常由一系列實測數(shù)據(jù)點確定。如汽車的外形曲線、等高線等。曲線6.1基礎知識從生成算法來看，曲線可分成兩大類：

擬合型設計型對已經(jīng)存在的離散點列構造出盡可能光滑的曲線，以直觀（而忠實）地反映出實驗特性、變化規(guī)律和趨勢等。設計人員對其所設計的曲線并無定量的概念，而是在設計過程中即興發(fā)揮。6.1.1曲線的表示

曲線的表示方法

參數(shù)表示非參數(shù)表示顯示表示隱式表示6.1.1曲線的表示

顯示表示

隱式表示6.1.1曲線的表示

參數(shù)表示

參數(shù)的含義t：表示時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]6.1.1曲線的表示--以直線為例已知直線的起點坐標P1（x1，y1）和終點坐標P2（x2，y2）,直線的顯式方程表示為：直線的隱式方程表示為：6.1.1曲線的表示

直線的參數(shù)方程表示為：，t∈[0,1]

6.1.1曲線的表示

1）用參數(shù)表示的曲線形狀本質(zhì)與坐標系的選取無關，具有幾何不變性；2）有更大自由度來控制曲線的形狀；3）容易實現(xiàn)各種線性變換運算；4）曲線的端點、導數(shù)等計算簡單，避免了無窮大斜率的問題；5）便于曲線的分段描述；6）易于處理多值問題；7）參數(shù)的變化約定為[0,1]，自然規(guī)定了曲線是有界的。參數(shù)表示法的優(yōu)越性：曲線構造方法插值法逼近法6.1.2插值

通過測量或計算得到的曲線上少量描述曲線幾何形狀的數(shù)據(jù)點。型值點

控制點用來控制或調(diào)整曲線形狀的特殊點（不一定在曲線上）

插值點在型值點或控制點之間插入的一系列點。6.1.2插值

插值給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,…,n，構造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構造的曲線稱為插值曲線。6.1.2插值

–線性插值線性插值：假設給定函數(shù)f(x)在兩個不同點x1和x2的值，用線形函數(shù)y=Φ(x)=ax+b近似代替，稱Φ(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。6.1.2插值

–拋物線插值拋物線插值(二次插值)

已知f(x)在三個互異點x1,x2,x3的函數(shù)值為y1,y2,y3，要求構造函數(shù)y=Φ

(x)=ax2+bx+c,使得Φ(x)在xi處與f(x)在xi處的值相等。6.1.3逼近逼近構造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱對這些數(shù)據(jù)點進行逼近，所構造的曲線稱為逼近曲線。用這種方法建立的曲線數(shù)學模型只是近似地接近已知的控制點，并不一定完全通過所有的控制點?？刂泣c控制多邊形或特征多邊形6.1.4擬合

擬合：在曲線曲面的設計過程中，用插值或逼近的方法使生成的曲線曲面達到某些設計要求。6.1.5曲線的連續(xù)性

構造復雜曲線時，可以首先構造一些簡單的自由曲線,然后將這些簡單曲線段連接成復雜曲線。拼接條件：首先必須有連接點，其次必須在連接點處平滑過渡，即需要滿足連續(xù)性條件。連續(xù)性條件有兩種：參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。6.1.5曲線的連續(xù)性

–參數(shù)連續(xù)性零階參數(shù)連續(xù)性（記作C0）：指相鄰兩個曲線段在交點處具有相同的坐標。6.1.5曲線的連續(xù)性—參數(shù)連續(xù)性

一階參數(shù)連續(xù)性（記作C1）相鄰兩個曲線段在交點處具有相同的一階導數(shù)。6.1.5曲線的連續(xù)性—參數(shù)連續(xù)性

二階參數(shù)連續(xù)性（記作C2）指相鄰兩個曲線段在交點處具有相同的一階和二階導數(shù)。6.1.5曲線的連續(xù)性—幾何連續(xù)性

幾何連續(xù)性只要求導數(shù)成比例，而不是相等。

零階幾何連續(xù)性（記作G0）：與零階參數(shù)連續(xù)性相同，即相鄰兩個曲線段在交點處有相同的坐標。6.1.5曲線的連續(xù)性—幾何連續(xù)性

一階幾何連續(xù)性（記作G1）指相鄰兩個曲線段在交點處的一階導數(shù)成比例，但大小不一定相等。6.1.5曲線的連續(xù)性

–幾何連續(xù)性二階幾何連續(xù)性（記作G2）指相鄰兩個曲線段在交點處的一階和二階導數(shù)成比例，即曲率一致。樣條曲線

在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條繪制曲線的形狀。繪圖員彎曲樣條（如彈性細木條）通過各實測點，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，即得到樣條曲線（SplineCurve)。樣條曲線

在計算機圖形學中，樣條曲線是指由多項式曲線段（可為規(guī)則/自由曲線段）連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件。樣條曲線的插值通常：進行分段插值n+1個控制點進行分段，建立簡單的數(shù)學模型；在線段交點處，設置邊界條件進行光滑連接。構造通過5個型值點的拋物線參數(shù)樣條曲線P1P2P3P4P5這樣構造出來的拋物線參數(shù)樣條曲線完全通過給定的5型值點，除了P1到P2的區(qū)間,P4到P5的區(qū)間其他兩個型值點之間都是重合區(qū)間6.1.6Hermite樣條曲線

從a3x到a0z有12個系數(shù)為代數(shù)系數(shù)，它們確定了這條參數(shù)曲線的形狀和位置。系數(shù)不同則曲線不同。把上述的代數(shù)方程改寫為矢量形式P(t)表示曲線上任一點的位置矢量；系數(shù)a0表示(a0x,a0y,a0z)一般的三次參數(shù)樣條曲線的代數(shù)形式6.1.6Hermite樣條曲線

給出端點坐標、端點坐標的切矢量，即：P(0),P(1),P’(0),P’(1)根據(jù)條件，得出方程：6.1.6Hermite樣條曲線矩陣形式：則：6.1.6Hermite樣條曲線

令三次參數(shù)樣條曲線方程可以寫成：根據(jù)：Hermite矩陣三次Hermite樣條曲線的方程6.1.6Hermite樣條曲線上式展開因為它們調(diào)和了邊界約束值，使在整個參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生曲線的坐標值。調(diào)和函數(shù)僅與參數(shù)t有關，而與初始條件無關。

其中:稱為Hermite樣條調(diào)和函數(shù)6.1.6Hermite樣條曲線Hermite樣條曲線通過給定的N個型值點構造，每兩個型值點之間生成一條Hermite曲線段，Hermite樣條曲線由N-1條首尾相連的Hermite曲線構成，并且相鄰的Hermite曲線段在連接點處二階導數(shù)相等（C2連續(xù)性）Hermite曲線段定義：給定曲線段的兩個端點Pi、Pi+1和兩端點處的一階導數(shù)Ri和Ri+1構造而成。6.1.6Hermite樣條曲線例1：給定9個型值點，其中起始點和終止點是同一個點，從而其特征多邊形是一個首尾相接的封閉多邊形，具體坐標位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各點處的一階導數(shù)數(shù)值如下：（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,70）,（70,70）,（-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用Hermite插值方法繪制曲線。解：p0=(100,300)p1=(120,200)p0’=(70,-70)p1’=(70,-70)For(t=0;t<=1;t=t+0.1)或For(t=0;t<=1;t=t+0.01)或6.1.6Hermite樣條曲線解：兩段三次Hermite曲線分別為：

Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]

依據(jù)C2連續(xù)充要條件為：

Q1(1)和Q2(0)在P點處重合，且其在P點處的切矢量方向相同，大小相等例2：試求兩段三次Hermite曲線達C2連續(xù)的條件。6.1.6Hermite樣條

即Q1(1)=Q2(0)、Q1’(1)=Q2’(0)、Q1”(1)=Q2”(0)有Q1(1)=a3+a2+a1+a0

Q2(0)=b0因Q1’(t1)=3a3t12+2a2t1+a1

Q2’(t2)=3b3t22+2b2t2+b1

則Q1’(1)=3a3+2a2+a1Q2’(0)=b1

因Q1”(t1)=6a3t1+2a2Q2”(t2)=6b3t2+2b2

則Q1”(1)=6a3+2a2Q2”(0)=2b2

6.1.6Hermite樣條

=>兩段三次Hermite曲線：

Q1(t1)=a3t13+a2t12+a1t11+a0t1∈[01]Q2(t2)=b3t23+b2t22+b1t21+b0t2∈[01]

要達到C2連續(xù)，其系數(shù)必須滿足下列關系式：

a3+a2+a1+a0=b03a3+2a2+a1=b16a3+2a2=2b26.2Bezier曲線

1962年，法國雷諾汽車公司的P.E.Bezier提出了一種函數(shù)逼近和幾何表示相結合的參數(shù)曲線表示方法，用這種方法生成的曲線稱為Bezier曲線。這種方法的特點是所輸入型值點與生成曲線之間的關系明確，能比較方便地通過修改輸入?yún)?shù)來改變曲線的形狀和階次。6.2.1Bézier曲線的定義

由一組多邊折線的頂點定義,在多邊折線的各頂點中，只有第一點和最后一點在曲線上,第一條和最后一條折線分別表示出曲線在起點和終點處切線方向。曲線的形狀趨向于多邊折線的形狀，因此，多邊折線又稱為特征多邊形，其頂點稱為控制點。Bézier曲線的數(shù)學表示

u[0,1]Pk為各頂點的位置向量(xk,yk,zk)，稱為伯恩斯坦（Bernstain）基函數(shù)，也稱為特征多邊形各頂點位置向量之間的調(diào)和函數(shù)，其定義如下Bezier曲線次數(shù)嚴格依賴于確定該段曲線的控制點個數(shù)，通常由（n﹢1）個頂點定義一個n次多項式，曲線上各點參數(shù)方程式為：n次多項式曲線P(u)稱為n次Bezier曲線Bézier曲線的數(shù)學表示

(k﹦0,1,...,n)其中：參數(shù)u的取值范圍為[0,1]，n是多項式次數(shù),也是曲線次數(shù)。規(guī)定0！=1，00=1。注意：Bezier曲線是一個階數(shù)比控制點少1的多項式。

一次Bézier曲線n=1時，有兩個控制點P0和P1一次Bezier曲線是連接起點P0和終點P1的直線段。二次Bézier曲線n=2，有三個控制點P0、P1和P2：二次Bezier曲線是一條以P0為起點，P2為終點的拋物線。三次Bézier曲線n=3，有四個控制點P0、P1、P2和P3：三次Bezier曲線是自由曲線。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)曲線的起點和終點與特征多邊形的起點和終點重合對伯恩斯坦基函數(shù)來說，有：

當u﹦0時，只有k﹦0的項不為0，其它項都為uk﹦0k﹦0

當u﹦1時，只有k=n的項不為0，其它項都為(1-u)n-k﹦0n-k﹦06.2.2Bézier曲線的性質(zhì)端點切線Bezier曲線在起點處的切線位于前兩個控制點的連線上，而終點處的切線位于最后兩個控制點的連線上，即曲線起點和終點處的切線方向與起始折線段和終止折線段的走向一致。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)在起始點u﹦0,B’1,n-1(0)﹦1，其余項均為0，故有:P’(0)﹦n(P1﹣P0)在終止點u﹦1,Bn-1,n-1(1)﹦1，其余項均為0，故有:P’(1)=n(Pn﹣Pn-1)Bezier曲線在端點處的一階導數(shù)只同相近的兩個控制點有關，其方向相同于兩點的連線方向。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)二階導數(shù)對參數(shù)t求二階導數(shù)可得：

在起始點t﹦0處的二階導數(shù)為：

P”(0)﹦n(n﹣1)(P2﹣2P1﹢P0)=n(n-1)((P2﹣P1)-(P1-P0))在終止點t﹦1處的二階導數(shù)為：

P”(1)﹦n(n﹣1)(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)=n(n-1)((Pn-2﹣Pn-1)-(Pn-1﹣Pn))結論：Bezier曲線在端點處的二階導數(shù)只同相近的三個控制點有關。那么，Bezier曲線在端點處的r階導數(shù)是由與端點r+1個鄰近的控制多邊形頂點來決定。6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)

由Bezier曲線的數(shù)學定義知，曲線的形狀由特征多邊形的頂點Pk(k﹦0,1,...,n)唯一確定，與坐標系的選取無關,這就是幾何不變性。幾何不變性

保持控制多邊形的頂點位置不變，僅僅把它們的順序顛倒一下，將下標為k的控制點Pk改為下標為n-k的控制點Pn-k時，曲線保持不變，只是走向相反而已。對稱性6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)

落在特征多邊形頂點所形成的凸包內(nèi)。即當特征多邊形為凸時，Bezier曲線也是凸的；當特征多邊形有凹有凸時，其曲線的凸凹形狀與之對應。

Bezier曲線的凸包性質(zhì)保證了曲線隨控制點平穩(wěn)前進而不會振蕩。凸包性6.2.2Bézier曲線的性質(zhì)變差縮減性

對于平面Bezier曲線，平面內(nèi)任意一條直線與其交點的個數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點個數(shù)。Bezier曲線比特征多邊形的折線更光滑。6.2.3Bézier曲線的拼接

幾何設計中，一條Bezier曲線往往難以描述復雜的曲線形狀。由于增加特征多邊形的頂點數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難。一般采用分段設計，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達到不同階幾何連續(xù)的條件。設有兩段三次Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應控制點為Pi(i=0,1,...,n)和Qj(j=0,1,...,m)，如下圖所示。6.2.3Bézier曲線的拼接an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)6.2.3Bézier曲線的拼接（1）要使它們達到G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；（2）要使它們達到G1連續(xù)的充要條件：P2P3(Q0)Q1三點共線第一段曲線終點處的導數(shù)為：

P’(1)﹦3(P3﹣P2)第二段曲線起點處的導數(shù)為：

Q’(0)﹦3(Q0﹣Q1)一階導數(shù)要連續(xù)，則應有P’(1)﹦αQ’(0)，即:P3﹣P2﹦α

（Q1﹣Q0）

也即要求P2P3(Q0)Q1三點共線。6.2.3Bézier曲線的拼接（3）要使它們達到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，滿足Pn-2、Pn-1、Pn(Q0)、Q1、Q2

五點共面，且Pn-2和Q2或者同在直線Pn-1Q1上或位于Pn-1Q1同側(cè)。

第一段曲線終點處的二階導數(shù)為：

P”(1)﹦6(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)第二段曲線起點處的二階導數(shù)為：

Q”(0)﹦6(Q2﹣2Q1﹢Q0)要達到二階導數(shù)連續(xù)，則應有P”(1)﹦βQ”(0)，即:Pn-2﹣2Pn-1﹢Pn﹦β(Q2﹣2Q1﹢Q0)an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)6.2.4Bézier曲線的離散生成

根據(jù)貝塞爾曲線的參數(shù)表達式，讓參數(shù)t在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個值，例如100，計算出這100個值對應的坐標點，依次連接這些點就得到一條Bezier曲線。

以三次貝塞爾曲線為例：注意：再添加一個z坐標，就可得到空間Bezier曲線。For(t=0;t<=1;t=t+0.01)依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分割點就是第一級遞推生成的中間頂點，對這些中間頂點構成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，重復操作，直到得出一個中間頂點，即為所求曲線上的點。6.2.4Bézier曲線生成--decasteljau算法

依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的中點分割，所得分點就是由第一級遞推生成的中間頂點

,對這些中間頂點構成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的中點分割，得第二級中間頂點。重復進行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點，即為所求曲線上的點。同時控制點列被分成左分段和右分段兩段折線，繼續(xù)對這兩段折線作類似遞歸分割，直至滿足要求為止。6.2.4Bézier曲線生成算法--二分遞歸法三次Bézier曲線：控制點是p0，p1，p2和p3。以中點分割，令：p10=(p0+p1)/2，p11=(p1+p2)/2，

p12=(p2+p3)/2；p20=(p10+p11)/2，p21=(p11+p12)/2；p30=(p20+p21)/2。6.2.4Bézier曲線生成算法--二分遞歸法可以證明點P30位于曲線上p30=(p20+p21)/2=(p0+3p1+3p2+p3)/8=p(1/2)6.2.4Bézier曲線生成算法--二分遞歸法例題1、給定四個頂點P0（10，110），P1（110，110），P2（110，10），P3（10，10），用其作為特征多邊形來繪制一條3次Bezier曲線的形狀示意圖。要求：簡要說明作圖過程，保留作圖輔助線，作出（或文字說明）曲線上各特征點的切線矢量。Bézier曲線小結Bezier曲線是一種逼近參數(shù)曲線，通過幾個已知點構成的特征多邊形來定義，曲線的起點和終點與該多邊形起點和終點重合，并且多邊形的第一條邊和最后一條邊表示曲線起點和終點的切矢量方向。Bezier曲線次數(shù)嚴格依賴于確定該段曲線的控制點個數(shù)，通常由（n﹢1）個頂點定義一個n次多項式，即n次Bezier曲線。3個已知控制點就可以構造2次Bezier曲線，4個已知控制點就可以構造3次Bezier曲線。Bézier曲線小結端點的性質(zhì)端點切線二階導數(shù)對稱性幾何不變性凸包性變差縮減性所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠確定了多邊形的頂點數(shù)(m個)，也就決定了所定義的Bezier曲線的階次(m–1次)，這樣很不靈活控制頂點數(shù)增多時，生成曲線的階數(shù)也增高，此時，多邊形對曲線形狀的控制將明顯減弱。

局部控制能力弱曲線拼接需要附加條件Bézier曲線的不足6.3B樣條曲線1972年，Gordon,Rie-feld等人拓展了Bezier曲線，用B樣條基函數(shù)代替Bernstein基函數(shù)，形成了B樣條曲線。除保持了Bezier曲線的直觀性和凸包性等優(yōu)點之外，具有以下優(yōu)點：逼近特征多邊形的精度更高曲線的次數(shù)可根據(jù)需要指定具有局部修改性我們先來實際體會一下B樣條曲線和Bezier曲線的差別，看下面例子：B樣條也是逼近曲線，不一定過控制點，甚至不過起控制點和終控制點6.3B樣條曲線6.3B樣條曲線Bezier曲線如果5個控制點那么只能是4次曲線調(diào)整任何一個控制點，會影響整個4次曲線B樣條曲線如果5個控制點可以使用3次曲線，也可以使用4次曲線來構造整個曲線使用4次曲線那么就是1段曲線使用3次曲線那么就構造2段曲線，并且這2段曲線可以自然拼接起來，調(diào)節(jié)P4點位置只會影響第二段曲線6.3.1B樣條曲線的定義Ｂ樣條曲線的數(shù)學表達式為:Pi：B樣條曲線的控制節(jié)點。n次B樣條曲線至少應該有n+1個控制點。K：B樣條曲線的階數(shù)，（k-1）稱為次數(shù)，曲線連接點處有（k-2）階連續(xù)，n+1個控制點構造的k階B樣條曲線由L=n+1-（k-1）段B樣條曲線段組合而成的。如，3次B樣條曲線的階數(shù)是4，次數(shù)是3，2階連續(xù)，n+1控制點的曲線共有n-2段3次B樣條組合而成。6.3.1B樣條曲線的定義(i=0,1,..,n)稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù)，i表示序號。B樣條基函數(shù)是一個稱為節(jié)點矢量的參數(shù)u的非遞減序列所決定的k階分段多項式，這個序列稱為節(jié)點向量。6.3.1B樣條曲線的定義deBoor-Cox遞推定義：約定：6.3.1B樣條曲線的定義欲確定第i個k-1次B樣條Bi,k(u)，需要用到ui，ui+1，…,ui+k共k+1個節(jié)點。區(qū)間[ui,ui+k]稱為Bi,k(u)的支撐區(qū)間。曲線方程中，n+1個控制頂點Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1個k階B樣條Bi,k(t)。它們支撐區(qū)間的并集定義了這一組B樣條基的節(jié)點矢量T=[u0,u1,...,un+k]。每個控制點pi僅與一個基函數(shù)Bi,k(t)作乘法，故該控制點的改變僅影響到子區(qū)間[ui,ui+k]上的曲線段。6.3.1B樣條曲線的定義1階B-樣條基函數(shù)K=1時的基函數(shù)6.3.1B樣條曲線的定義2階B-樣條基函數(shù)K=2時的基函數(shù)6.3.1B樣條曲線的定義3階B-樣條基函數(shù)K=3時的基函數(shù)6.3.1B樣條曲線的定義續(xù)前頁：6.3.1B樣條曲線的定義續(xù)前頁：6.3.1B樣條曲線的定義續(xù)前頁：6.3.1B樣條曲線的定義6.3.1B樣條曲線的定義3階B-樣條基函數(shù)圖形6.3.2B樣條曲線的分類

根據(jù)節(jié)點矢量中的節(jié)點分布情況的不同，可將B樣條曲線分為三類：均勻B樣條曲線、開放均勻B樣條曲線、非均勻B樣條曲線。

均勻B樣條曲線：節(jié)點沿參數(shù)軸均勻等距分布，即uk+1-uk=常數(shù)時。6.3.2B樣條曲線的分類均勻B樣條曲線均勻B樣條的基函數(shù)呈周期性。即給定n和k，所有的基函數(shù)有相同形狀。每個后續(xù)基函數(shù)僅僅是前面基函數(shù)在新位置上的重復：其中，△u是相鄰節(jié)點值的間距，等價地，也可寫為：均勻B樣條曲線的參數(shù)節(jié)點矢量的典型取法：[0,1,2,……,n+k]6.3.2B樣條曲線的分類均勻B樣條曲線

為使所有區(qū)間上的B樣條基函數(shù)具有相同的數(shù)學表達式，可將定義在整個節(jié)點區(qū)間上用整體參數(shù)u表示的Ｂ樣條基函數(shù)，轉(zhuǎn)換成局部坐標參數(shù)t∈[０,1]表示：t=u-uiu∈[ui,ui+1],i=k,k+1,……n6.3.2B樣條曲線的分類均勻B樣條曲線定義:

給定m+n+1個頂點Pi(i=0，1，…，m+n)，可以定義m+1段n次的參數(shù)曲線段：6.3.2B樣條曲線的分類均勻二次B樣條曲線n=2,k=0,1,26.3.2B樣條曲線的分類6.3均勻B樣條曲線的定義均勻二次B樣條曲線的分段表達式可以寫成如下的形式：

Pi(t)=B0,2(t)Pi+B1,2(t)Pi+1十B2,2（t）Pi+2

(i=0,1,2，…．m)6.3均勻B樣條曲線的定義∴

6.3均勻B樣條曲線的定義

二次均勻B樣條曲線的起點在特征多邊形第一條邊的中點，切矢為P0P1的走向，且等于P1-P0

終點在特征多邊形第二條邊的中點，切矢為P1P2的走向，且等于P2-P1

正好是三角形P(0)P1P(1)的中線P1M的中點，且在該處的切線平行于P(0)P(1)。均勻二次B樣條曲線下圖為均勻二次B樣條曲線的控制多邊形，共有4個控制點P0P1P2P3，繪制出二次B樣條曲線的示意圖。要求：簡要說明作圖過程，保留作圖輔助線，做出（或文字說明）曲線上各特征點的切線矢量。均勻二次B樣條曲線A為P0P1的中點，A點的切矢為P0P1的走向且等于(P1-P0)；B為ΔAP1C中線P1M的中點，B點的切矢平行于AC，且等于1/2(P2-P0)；C為P1P2的中點，C點的切矢為P1P2的走向且等于(P2-P1)；D為ΔCP2E中線P2M1的中點，其切矢平行于CE，且等于1/2(P3-P1)；E為P2P3的中點，其切矢為P2P3的走向且等于(P3-P2)。6.3.3均勻B樣條曲線的性質(zhì)1.局部性根據(jù)定義式可知，第i段n次B樣條曲線只與n+1個頂點Pk(k=i，i+1，…，i+n)有關，因此，當改動其中一個控制頂點時，最多只會對相鄰的n+1段產(chǎn)生影響。如左圖所示，六個控制頂點控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個頂點控制。B樣條曲線的性質(zhì)2.凸包性對任何t∈〔0，1〕，P(t)必定在控制頂點構成的凸包之中。如左圖所示，六個控制頂點控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個頂點控制且包含在四個頂點構成的凸包之中。B樣條曲線的性質(zhì)3.幾何不變性由于定義式所表示的B樣條曲線是參數(shù)形式，因此，和Bezier曲線一樣，B樣條曲線的形狀和位置與坐標系選擇無關。4.連續(xù)性

當給定的n+1個控制頂點Pi(i=0，1，…，n)互不相重，則所控制的整條n次B樣條曲線具有n-1階幾何連續(xù)(Gn-1)。當給定的控制頂點相鄰最大重頂點數(shù)為h（即h

個控制頂點重合在一起），則整條n次B樣條曲線具有n-h-1階幾何連續(xù)(G

n-h-1)。

B樣條曲線的優(yōu)缺點優(yōu)點：與控制多邊形的外形更接近局部修改能力任意形狀，包括尖點、直線的曲線易于拼接階次低，與型值點數(shù)目無關，計算簡便缺點：不能精確表示圓習題1、下面給出的4個選項中，_____不是Bezier曲線具有的

性質(zhì)。A局部性 B幾何不變性

C變差縮減性 D凸包性2、B樣條曲線中，按照節(jié)點矢量t的分布不同可以將B樣條曲線分為均勻B樣條、非均勻B樣條以及開放均勻B樣條，以下選項中屬于均勻B樣條節(jié)點矢量的是____。At={0,1,2,3,4,5,6} Bt={0,0,1,1,2,2,3,3}Ct={0,0,0,1,2,3,4,5,5,5}Dt={0,0.1,0.2,0.2,0.5,1}

AA習題3、由K個控制點Pi（i=1,……,k）所決定的n次B樣條曲線，由______段n次B樣條曲線段光滑連接而成。A、k-n-2 B、k-n-1 C、k-n D、k-n+14、下列關于B樣條曲線性質(zhì)的敘述中，錯誤的結論是____A、B樣條曲線可用其特征多邊形來定義；B、B樣條曲線不一定通過其特征多邊形的各頂點；C、B樣條曲線起始控制點和終止控制點都在曲線上；D、B樣條曲線都具有控制點的鄰近影響性。CC習題5