第6章分支限界法

第六章分支限界法本章主要知識(shí)點(diǎn)：6.1分支限界法的基本思想6.2單源最短路徑問(wèn)題6.3裝載問(wèn)題6.40－1背包問(wèn)題6.5旅行售貨員問(wèn)題16.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法的不同（1）適合求解的問(wèn)題不同：回溯法適于找出解空間樹(shù)中滿足約束條件的所有解，而分支限界法適于找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。

（2）搜索方式不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)。

26.1 分支限界法的基本思想2.分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。依次從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。直至找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。36.1 分支限界法的基本思想3.常見(jiàn)的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。46.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述在有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。求：圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

56.2 單源最短路徑問(wèn)題優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法求解解空間樹(shù)（每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)（下界））優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)66.2 單源最短路徑問(wèn)題2.算法思想

解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。76.2 單源最短路徑問(wèn)題3.剪枝策略

在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。86.2 單源最短路徑問(wèn)題

while(隊(duì)列不空){//搜索問(wèn)題的解空間

for(j←1ton)if(a[i][j]<Float.MAX_VALUE&&dist[i]+a[i][j]<dist[j]){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束

dist[j]←dist[i]+a[i][j];p[j]←i;//p數(shù)組記錄j的前一個(gè)結(jié)點(diǎn)heap.put(j);//結(jié)點(diǎn)j加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列}

if(heap.isEmpty())break;elseheap.removeMin();//取出隊(duì)列中首結(jié)點(diǎn)做為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)}頂點(diǎn)i和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)96.3裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

106.3裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都加一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。116.3裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法while(隊(duì)列不空){

if(ew+w[i]<=c)//ew存儲(chǔ)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的重量enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)x[i]=1加入隊(duì)列

enQueue(ew,i);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的x[i]=0

ew

←queue.remove();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

ew

←queue.remove();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;//進(jìn)入下一層

}}126.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。136.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

intwt←

ew+w[i];if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw

←wt;

//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列

if(i<n)queue.put(wt);}提前更新bestw

//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)

if(ew+r>bestw&&i<n)//可能含最優(yōu)解

queue.put(ew);

ew

←queue.remove();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

右兒子剪枝

146.3裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解

為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹(shù)中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

privatestaticclassQNode

{QNodeparent;//父結(jié)點(diǎn)booleanleftChild;//左兒子標(biāo)志intweight;//結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量}156.3裝載問(wèn)題找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解

for(j←nto0){x[j]←(e.leftChild)?1:0;e←e.parent;}166.3裝載問(wèn)題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法

解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。

176.40-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和（上界）。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。186.40-1背包問(wèn)題上界函數(shù)bound(i)while(i<=n&&w[i]<=cleft){//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間cleft-=w[i];//w[i]表示物品i所占空間b+=p[i];//p[i]表示物品i的價(jià)值i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數(shù)196.40-1背包問(wèn)題

while(i!=n+1)//搜索子集樹(shù){//非葉結(jié)點(diǎn)doublewt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];

addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],i+1,enode,true);}//enode是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，cw、cp是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的重量和價(jià)值，up是價(jià)值上界，bestp是當(dāng)前最大價(jià)值up=bound(i+1);if(up>=bestp)//檢查右兒子節(jié)點(diǎn)

addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);

//取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）}分支限界搜索過(guò)程206.5旅行售貨員問(wèn)題1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推銷(xiāo)商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹(shù)，從樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。216.5旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述

算法開(kāi)始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。lcost=當(dāng)前費(fèi)用cc+剩余的最小費(fèi)用出邊之和。

226.5旅行售貨員問(wèn)題

1、首先考慮s=n-1的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理x[1:s]：

2、當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[1:s]