單自由度及多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析

單自由度及多自由度系統(tǒng)

模態(tài)分析結(jié)構(gòu)振動分析基本理論一般的振動問題已知激勵和振動結(jié)構(gòu)，求系統(tǒng)響應(yīng)（正問題）已知激勵和響應(yīng)，求系統(tǒng)參數(shù)——系統(tǒng)識別（逆問題）已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵——荷載識別激勵輸入振動結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)輸出結(jié)構(gòu)振動分析基本理論振動結(jié)構(gòu)模型：空間模型——用于描述結(jié)構(gòu)的物理特性，即質(zhì)量、剛度和阻尼特性。模態(tài)模型——一系列固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)阻尼系數(shù)和模態(tài)振型。響應(yīng)模型——一系列響應(yīng)函數(shù)組成空間模型（質(zhì)量、阻尼、剛度）模態(tài)模型（固有頻率，模態(tài)振型）響應(yīng)模型（頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)）物理參數(shù)識別模態(tài)參數(shù)識別非參數(shù)識別結(jié)構(gòu)振動分析基本理論模態(tài)分析：以振動理論為基礎(chǔ)，以模態(tài)參數(shù)為目標(biāo)的分析方法。理論模態(tài)分析實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析（EMA）在理論模態(tài)分析中，首先從空間模型開始最終到響應(yīng)模型。在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，首先從響應(yīng)特性開始，最終推求空間模型?？臻g模型（質(zhì)量、阻尼、剛度）模態(tài)模型（固有頻率，模態(tài)振型）響應(yīng)模型（頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)）單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)，承受單位脈沖荷載(t)時，響應(yīng)為h(t)——單位脈沖響應(yīng)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）該式的解為式中，若系統(tǒng)受到任意函數(shù)f(t)激勵，則響應(yīng)為（Duhamel積分）：單自由度系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)振動微分方程：設(shè)系統(tǒng)作用簡諧激勵穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)加速度響應(yīng)：單自由度系統(tǒng)振動微分方程：位移頻響函數(shù)為穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與激勵幅值之比：速度頻響函數(shù)：加速度頻響函數(shù)：頻響函數(shù)單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)的倒數(shù)稱為阻抗位移阻抗：速度阻抗：加速度阻抗：單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)頻響函數(shù)H()是h(t)的傅里葉變換。若系統(tǒng)的激勵為已知此時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為因此脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)一樣是反映振動系統(tǒng)動態(tài)特性的量，頻響函數(shù)在頻域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性，而脈沖響應(yīng)函數(shù)在時域內(nèi)描述系統(tǒng)固有特性。脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)是系統(tǒng)識別的基礎(chǔ)。線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系根據(jù)傅里葉變換時域卷積性質(zhì)，在時域的卷積在頻域應(yīng)為乘積單位力作用下的系統(tǒng)時域與頻域的響應(yīng)線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系不同激勵下頻響函數(shù)表達(dá)式簡諧激勵下，頻響函數(shù)定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵的幅值之比周期激勵f(t)（周期為T）作用下，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為周期T的函數(shù)x(t)，都可寫為傅里葉級數(shù)的形式系統(tǒng)在周期激勵下的頻響函數(shù)定義為在各倍頻點(diǎn)上穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值與激勵的幅值之比瞬態(tài)激勵f(t)下響應(yīng)為x(t)，一般可做傅里葉變換系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵下的頻響函數(shù)定義為在響應(yīng)與激勵的傅里葉變換之比隨機(jī)振動中，無論是激勵和響應(yīng)信號都不能進(jìn)行傅里葉變換，只能用概率統(tǒng)計方法來處理。頻響函數(shù)定義為輸出與輸入的互功率譜與輸入的自功率譜之比不同激勵下頻響函數(shù)表達(dá)式單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（1）

——粘性阻尼由頻響函數(shù)表達(dá)式可得頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式

式中稱為頻率比幅頻特性相頻特性共振幅值點(diǎn)半功率點(diǎn)靜變形單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（2）頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：其中

實(shí)頻特性虛頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（3）對于任一，根據(jù)上式可計算得到對應(yīng)的一對HR()、HI()值，從而得到復(fù)平面上的一條矢量。從0變到∞，矢端將畫出變化過程的軌跡，該軌跡近似為一個圓。（Nyquist圖）半功率點(diǎn)ω=0，R=1/kω=ΩΩ=∞單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（1）

——結(jié)構(gòu)阻尼許多振動結(jié)構(gòu)的阻尼不適用于粘性阻尼描述，這類結(jié)構(gòu)的阻尼主要來源于材料內(nèi)阻和部件結(jié)合面之間的干摩擦，因此引入結(jié)構(gòu)阻尼，又稱遲滯阻尼或固體阻尼。結(jié)構(gòu)阻尼頻響函數(shù)復(fù)指數(shù)形式

式中稱為損耗因子幅頻特性相頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（2）

——結(jié)構(gòu)阻尼頻響函數(shù)表示成復(fù)數(shù)形式：其中

實(shí)頻特性虛頻特性單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)曲線（3）

——結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的Nyquist圓半徑為一常數(shù)，是個名副其實(shí)的圓，該圓起點(diǎn)=0的坐標(biāo)為多自由度系統(tǒng)的振動

——無阻尼系統(tǒng)多自由度無阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：1、自由振動設(shè)特解代入上式得該方程有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零，即解得的n個互異正根0i，稱為無阻尼系統(tǒng)的固有頻率（特征方程的特征值）系統(tǒng)特征方程多自由度系統(tǒng)的振動

——無阻尼系統(tǒng)將0i代入：解得n個線性無關(guān)非零矢量i的比例解，通常選擇一定方法進(jìn)行歸一化，稱為模態(tài)振型（特征方程的特征向量）模態(tài)振型具有正交性多自由度系統(tǒng)的振動

——粘性阻尼系統(tǒng)多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：其中設(shè)系統(tǒng)受簡諧激勵，則頻響函數(shù)矩陣為多自由度系統(tǒng)的振動

——粘性阻尼系統(tǒng)多自由度粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動方程：進(jìn)行坐標(biāo)變換，設(shè)物理坐標(biāo)系中矢量x在模態(tài)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

，則代入運(yùn)動方程得多自由度系統(tǒng)的振動

——粘性阻尼系統(tǒng)左乘{(lán)s}T，考慮到模態(tài)振型的正交性，得ms——第s階模態(tài)質(zhì)量ks——第s階模態(tài)剛度cs——第s階模態(tài)阻尼系數(shù)qs——第s階模態(tài)坐標(biāo)令，則多自由度系統(tǒng)的振動

——粘性阻尼系統(tǒng)不考慮起始條件，可得位移響應(yīng)：多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)令令頻響函數(shù)物理意義為：在j點(diǎn)作用單位力時，在i點(diǎn)引起的響應(yīng)i=j時，稱為原點(diǎn)頻響函數(shù)頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)矩陣中任一行為

如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)i點(diǎn)拾振，輪流激勵所有點(diǎn)，即可求得[H]中的一行。（單點(diǎn)拾振法）頻響函數(shù)與模態(tài)參數(shù)的關(guān)系頻響函數(shù)矩陣中任一列為

如果在結(jié)構(gòu)上的某一固定點(diǎn)j點(diǎn)激振，在其他各點(diǎn)拾振，即可求得[H]中的一列。（單點(diǎn)激勵法）頻響函數(shù)圖像頻響函數(shù)表達(dá)式

頻響函數(shù)的圖像可以看作為一系列單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線的迭加。123234頻響函數(shù)圖像

1.H11的幅頻及相頻曲線（原點(diǎn)頻響函數(shù)）：共振點(diǎn)反共振點(diǎn)頻響函數(shù)圖像原點(diǎn)頻響函數(shù)圖像特征：在幅頻圖中，每兩個共振峰之間必有一個反共振點(diǎn)；在相頻圖中，每經(jīng)過一個共振點(diǎn)相位角滯后180°，每經(jīng)過一個反共振點(diǎn)，相位角導(dǎo)前180°頻響函數(shù)圖像

2.H21的幅頻及相頻曲線（跨點(diǎn)頻響函數(shù)）：共振點(diǎn)反共振點(diǎn)頻響函數(shù)圖像跨點(diǎn)頻響函數(shù)圖像特征：在幅頻圖中，若相鄰模態(tài)同相位，在這兩個模態(tài)之間存在一個反共振點(diǎn)，若相鄰模態(tài)反相位，則這兩個模態(tài)之間是一段平滑曲線；123234F結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)是要通過某種激勵方法，人為地使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動，提取激勵輸入和結(jié)構(gòu)響應(yīng)輸出的時域或頻域數(shù)據(jù)；或者在自然環(huán)境激勵下，現(xiàn)場提取結(jié)構(gòu)的響應(yīng)輸出數(shù)據(jù)。頻響函數(shù)矩陣或單位脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣中的任一列或任一行，蘊(yùn)含了系統(tǒng)全部的模態(tài)參數(shù)信息。測量方法：SISO：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測量點(diǎn)依次測量響應(yīng)

或選取一點(diǎn)作測量響應(yīng)，在所有測量點(diǎn)輪流測量激振SIMO：選取一點(diǎn)作單點(diǎn)激振，在所有測量點(diǎn)同時測量響應(yīng)MIMO：選取多點(diǎn)同時激振，在所有測量點(diǎn)同時測量響應(yīng)結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)基本步驟：將試驗(yàn)結(jié)構(gòu)以適當(dāng)?shù)姆绞街纹饋磉x擇適當(dāng)方式激勵試驗(yàn)結(jié)構(gòu)，通過拾振系統(tǒng)測量，記錄激勵和響應(yīng)的時間歷程（用時域法往往只需記錄響應(yīng)的時間歷程）將記錄到的激勵和響應(yīng)時域信號送入A/D（模/數(shù)）轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號（采用計算機(jī)記錄時域信號時，將此步并入2）如果采用頻域法進(jìn)行參數(shù)識別，需將上述時域數(shù)字信號進(jìn)行FFT，獲得系統(tǒng)的離散頻響函數(shù)根據(jù)離散頻響函數(shù)或時間歷程信號進(jìn)行參數(shù)識別，估算出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)試件支承原則：盡量實(shí)現(xiàn)實(shí)際結(jié)構(gòu)所要求的邊界條件支承方式：約束支承方式：將試件安裝在基礎(chǔ)上

理想狀態(tài)：基礎(chǔ)絕對剛性。（難以達(dá)到）

試驗(yàn)中：基礎(chǔ)的頻響函數(shù)值遠(yuǎn)小于試件結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)值

基礎(chǔ)質(zhì)量至少為試件質(zhì)量的10倍試件支承支承方式：自由支承方式：試件處于懸空狀態(tài)

理想狀態(tài)：系統(tǒng)具有六個剛體模態(tài)（難以達(dá)到）

試驗(yàn)中：氣、磁懸掛空氣彈簧支承模態(tài)試驗(yàn)激勵方式分為單點(diǎn)激勵和多點(diǎn)激勵單點(diǎn)激勵：對測試結(jié)構(gòu)一次只激勵一個點(diǎn)的一個方向，而在其他任何坐標(biāo)上均沒有激勵作用。

單點(diǎn)激勵是SISO參數(shù)識別所要求的激勵方式多點(diǎn)激勵：對多個點(diǎn)同時施加激振力模態(tài)試驗(yàn)激勵信號正弦信號步進(jìn)式正弦激勵法自動正弦慢掃描激勵快速掃描正弦激勵平穩(wěn)隨機(jī)信號自然隨機(jī)信號偽隨機(jī)信號瞬態(tài)隨機(jī)信號周期偽隨機(jī)信號模態(tài)試驗(yàn)激勵信號瞬態(tài)沖擊信號

一般由錘擊法產(chǎn)生階躍激勵

纜繩預(yù)拉試件，突然釋放或切斷纜繩，激起結(jié)構(gòu)對初始位移輸入的自由衰減振動響應(yīng)環(huán)境激勵激勵點(diǎn)選擇原則：能激起試驗(yàn)頻帶內(nèi)全部模態(tài)，而且平均模態(tài)位移最大單點(diǎn)隨機(jī)激勵：

不在所要測量的任一階模態(tài)節(jié)點(diǎn)上，保證不丟失模態(tài)多點(diǎn)隨機(jī)激勵：

能同時激起試驗(yàn)頻帶內(nèi)各階模態(tài)測點(diǎn)及測量方法安排測試系統(tǒng)激勵設(shè)備傳感系統(tǒng)分析設(shè)備模態(tài)實(shí)驗(yàn)方法時域模態(tài)參數(shù)識別方法SIMOMIMOTimeDomainmethodsIndirectmethodsDirectmethodsMDOFMDOFSIMOSISOMIMOLSCEITDCEPRCEERAARMADSPI模態(tài)試驗(yàn)設(shè)計試件邊界條件與支承方式設(shè)計和技術(shù)實(shí)施試驗(yàn)頻率范圍的確定試驗(yàn)方法（激