拉壓桿的變形與疊加原理

當(dāng)桿件承受軸向載荷時(shí)，其軸向和橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線(xiàn)方向的變形稱(chēng)為軸向變形；垂直于軸線(xiàn)方向的變形稱(chēng)為橫向變形?！?.8拉壓桿的變形與疊加原理FF1集裝箱運(yùn)載橋DABCP軸向拉桿下面我們將所圈區(qū)域放大2目的：剛度問(wèn)題；拉壓靜不定問(wèn)題

方法：幾何法，疊加法，能量法FFR2FR1CAB30①②P剛度問(wèn)題拉壓靜不定問(wèn)題3

工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的初始階段都是線(xiàn)彈性的，亦即當(dāng)應(yīng)力低于材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這就是胡克定律，可以寫(xiě)成1ＥoabFF一、拉壓桿的軸向變形4由得ll+lb+bbFF——胡克定律EA——拉壓剛度（抗拉剛度）胡克定律5三個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系：二、拉壓桿的橫向變形試驗(yàn)表明橫向正應(yīng)變?yōu)椴此?Poisson)比ll+lb+bbFF6只適用于計(jì)算在長(zhǎng)度l內(nèi)FN及EA均為常值的情況，即在l長(zhǎng)度內(nèi)變形是均勻?！猯1l2ABF1CF2三、分段均勻和非均勻拉壓桿的變形l1l2ABF1CF27如果變形是分段均勻的，則總變形按右式分段求和：桿變形的計(jì)算方法1l1l2ABF1CF2l1l2ABF1CF28如果變形是非均勻的，例如考慮自重的豎桿、變截面桿等，軸力N(x)或截面積A(x)是x的函數(shù)。則總變形按右式積分求和：桿變形的計(jì)算方法2lABlABF9ABCF1ABCF2l1l2ABF1CF2由此可見(jiàn)，幾個(gè)載荷同時(shí)作用時(shí)產(chǎn)生的總效果，等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的效果的總和。此原理稱(chēng)為疊加原理。（線(xiàn)性范圍）=四、疊加原理10[例1]如圖螺栓內(nèi)徑為d=10.1mm,擰緊后在計(jì)算長(zhǎng)度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長(zhǎng)量為l=0.03mm。螺栓材料的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3

。試計(jì)算螺栓內(nèi)的應(yīng)力、螺栓的預(yù)緊力和螺栓的橫向變形。解：擰緊后螺栓內(nèi)的軸向正應(yīng)變?yōu)?1l1l2ABFCF[例2]如圖所示圓截面桿，已知F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，為保證桿件正常工作，要求其軸向總伸長(zhǎng)量不超過(guò)0.10mm，即許用變形[l]=0.10mm。試求截面直徑d。解：分析。這是一個(gè)剛度設(shè)計(jì)問(wèn)題，需要通過(guò)計(jì)算變形來(lái)確定桿的直徑。因此首先需要計(jì)算桿的變形與其直徑之間的關(guān)系。12l1l2ABFCFF=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，[l]=0.10mm。1、計(jì)算軸力2、計(jì)算軸向變形總伸長(zhǎng)：3、剛度設(shè)計(jì)要求：l

[l]取d=8.7mm13[例3]如圖所示渦輪葉片，當(dāng)渦輪等速旋轉(zhuǎn)時(shí)承受離心力作用。葉片橫截面面積為A，彈性模量為E，單位體積的質(zhì)量為，渦輪的角速度為，試計(jì)算葉片上的正應(yīng)力與軸向變形。解：1、葉片的外力2、葉片的內(nèi)力與應(yīng)力（截面法Fx=0）xdxR0nnFN(x)R0R1dxnndF14xdxR0nn3、葉片的變形微段dx的變形葉片的總變形FN(x)15解：1、葉片的外力2、dF單獨(dú)作用效果n-n截面上的正應(yīng)力：葉片的變形：3、所有離心力作用效果的總和n-n的正應(yīng)力：葉片的總變形：R0dR1xnndF另法：疊加原理16

桁架是由二力桿鉸接，外力作用在節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)模型。其變形通常用節(jié)點(diǎn)的位移來(lái)表示。[例4]圖示桁架，①②桿材料為鋼，E＝200GPa，橫截面積A1＝200mm2，A2＝250mm2，①桿長(zhǎng)l1＝2m。試求P＝10kN時(shí)，節(jié)點(diǎn)A的位移。CAB30①②P五、桁架的節(jié)點(diǎn)位移17解：1．求軸力2．計(jì)算變形（拉伸）（壓縮）由節(jié)點(diǎn)A的平衡條件可得桿①、桿②的軸力分別為（伸長(zhǎng)）（縮短）CAB30①②PFN1FN2PA30183．求A點(diǎn)位移。變形后的A點(diǎn)是分別以C點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心，以CD和BE為半徑所作圓弧的交點(diǎn)A"。由于變形很小，上述弧線(xiàn)可近似地用切線(xiàn)代替，于是過(guò)D點(diǎn)和E點(diǎn)，分別作CD和BE的垂線(xiàn)，其交點(diǎn)A′即可視為A的新位置。（伸長(zhǎng)）（縮短）DCAB30①②PEA"A'19因此，A點(diǎn)的水平位移和垂直位移為：DAEFG

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，在小變形條件下，通?？砂唇Y(jié)構(gòu)原有幾何形狀和尺寸計(jì)算支反力和內(nèi)力，也可采用以切線(xiàn)代圓弧的方法確定位移。利用小變形概念，可以使許多問(wèn)題的分析計(jì)算大為簡(jiǎn)化。20構(gòu)件因變形而貯存的能量，叫做應(yīng)變能或變形能，用V表示。對(duì)于由零開(kāi)始地緩慢加載，由能量守恒定律可知，貯存在構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)變能V，在數(shù)值上等于外力所作的功W，即，W=V。利用應(yīng)變能的概念，可以作出構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形或位移計(jì)算，從而解決構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的剛度或靜不定等問(wèn)題，這種方法就稱(chēng)為應(yīng)變能法或能量法?！?.9拉壓和剪切應(yīng)變能ABF121條件：載荷從0開(kāi)始緩慢的增加。W等于P-l曲線(xiàn)下的面積。當(dāng)p時(shí)，有一、軸向拉壓應(yīng)變能22對(duì)于在長(zhǎng)度l內(nèi)、N=P及EA均為常值的情況，即均勻拉伸：利用以上兩式以及能量守恒定律有：從上式可以看出，V恒為正。對(duì)于線(xiàn)彈性情況，p時(shí)，23圖a所示桁架，①②桿材料為鋼質(zhì)，E＝200GPa．橫截面積A1＝200mm2，A2＝250mm2，①桿長(zhǎng)l1＝2m。試用能量法求P＝10kN時(shí)，節(jié)點(diǎn)A的垂直位移。解：1．求軸力。由節(jié)點(diǎn)A的平衡條件可得桿①、桿②的軸力分別為[例4]CAB30①②P（拉伸）（壓縮）FN1FN2PA30242．應(yīng)變能計(jì)算。CAB30①②P253．位移計(jì)算。設(shè)節(jié)點(diǎn)A的鉛垂位移為，由于與P同向，則外力所作的功為W=P/2，由能量守恒定律可得為正，說(shuō)明與P同向的假設(shè)是正確的。由于V恒為正，因此當(dāng)只有一個(gè)外載荷P作功時(shí)，必與P同向。！這里介紹的能量法只能求載荷方向的位移。從而有：CAB30①②P26dxdzdyyxz

v為單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱(chēng)為應(yīng)變能密度。p時(shí)，有,代入上式得:單向受力二、拉壓與剪切應(yīng)變能密度，p27dxdzdyyxzp時(shí)，有，代入上式得:剪切應(yīng)變能密度： 剪切應(yīng)變能：純剪切，p28FDdh剛桿剛套橡皮管(a)rF(b)圖(a)所示精密儀器底板隔振器，由圓截面鋼桿、圓環(huán)截面橡皮管和鋼套組成，且相互之間牢固連接，設(shè)鋼桿和鋼套可視為剛體，橡皮管的切變模量為G，試求鋼桿的位移。解：1．應(yīng)力分析。由于鋼桿和鋼套與橡皮管牢固連接，因此，當(dāng)F作用時(shí)，橡皮管內(nèi)外壁相當(dāng)于受到一對(duì)剪力的作用，因此，可以假設(shè)橡皮管處于純剪切狀態(tài)，且設(shè)切應(yīng)力沿高度方向均勻分布。取一同軸圓柱面，其應(yīng)力分布如圖(b)，由力的平衡可得得[例5]292．應(yīng)變能