2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊 余弦定理與正弦定理（3） 課件

余弦定理與正弦定理第3課時新知探究問題1

正弦定理如何描述？文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．符號語言：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，則

新知探究問題2

想一想正弦定理的常見變形有哪些？（1）sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；（2）

新知探究問題3

我們知道每個三角形都有外接圓，請問外接圓的直徑與正弦定理之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系呢？有，

新知探究問題4

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．對任意三角形都成立嗎？

當(dāng)C為銳角或鈍角時，如圖．所以AB＝c＝2R，所以

，

由正弦定理得

在Rt△AB′C中，

AABBCCB′B′新知探究問題4

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．對任意三角形都成立嗎？

根據(jù)同弧的圓周角相等得B＝B′，所以上式對任意三角形都成立．所以

，

在△ABC中，由正弦定理得

所以

AABBCCB′B′新知探究問題5

根據(jù)

，你能推出正弦定理的哪些變形？

若R為△ABC外接圓的半徑，則（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（2）sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；

（3）

新知探究追問：在△ABC中，A＝

，BC＝4，則△ABC外接圓的面積為________．

解析：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，故△ABC外接圓的面積為πR2＝8π．則

8π新知探究問題6

已知兩條邊的邊長和其中一邊的對角的大小解三角形，它的解有幾種情況？已知兩角一邊，有解時，只有一解；已知兩邊及其一邊的對角，有解的情況可分別為幾種情況．A為銳角時，若a＜bsinA，無解；A為鈍角或直角時，若a＝b，a＜b，均無解；a＝bsinA或a≥b，一解；bsinA＜a＜b，兩解；a≥b，一解．新知探究追問：已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若A＝60°，c＝6，a＝6，則此三角形有幾解？由等邊對等角可得C＝A＝60°，由三角形的內(nèi)角和可得B＝60°，所以此三角形為正三角形，有唯一解．新知探究問題7

判斷三角形形狀時，圍繞三角形的邊角關(guān)系，如何利用正弦定理進(jìn)行邊角互化？利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑：（1）化角為邊．將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識（分解因式、配方等）得到邊的關(guān)系，如a＝b，a2＋b2＝c2，或余弦定理，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

．

新知探究問題7

判斷三角形形狀時，圍繞三角形的邊角關(guān)系，如何利用正弦定理進(jìn)行邊角互化？利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑：（2）化邊為角．將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．例1

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asin＝bsinA，b＝3．初步應(yīng)用

（1）求△ABC外接圓的面積；

解答：（1）由正弦定理，sinAsin＝sinBsinA，

故

因?yàn)閟in＞0，

所以cos

＞0，

故

＝60°，則B＝120°，

故R＝

，則△ABC外接圓的面積為3π．

例1

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asin＝bsinA，b＝3．

又b＞a，所以A＝30°．初步應(yīng)用

（1）求△ABC外接圓的面積；

由正弦定理得：

所以sinA＝

例2

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷△ABC的形狀．

初步應(yīng)用解答：法一（化角為邊）將已知等式變形為b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccosBcosC．

由余弦定理并整理，得

∴A＝90°．

∴b2＋c2

∴△ABC是直角三角形．例2

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷△ABC的形狀．

初步應(yīng)用法二（化邊為角）由正弦定理，已知條件可化為sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC．又sinBsinC≠0，又∵0°＜B＋C＜180°，∴△ABC是直角三角形．∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos（B＋C）＝0．∴B＋C＝90°，∴A＝90°．初步應(yīng)用例3

臺風(fēng)中心位于某市正東方向300km處，正以40km/h的速度向西北方向移動，距離臺風(fēng)中心250km范圍內(nèi)將會受其影響．如果臺風(fēng)風(fēng)速不變，那么該市從何時起要遭受臺風(fēng)影響？這種影響持續(xù)多長時間？（精確到0.1h）如何解決這個問題？先畫出簡圖，將已知標(biāo)在圖上，合理選用正弦定理求解，注意三角形解的討論．（詳解參考教材P113例6的解析．）課堂練習(xí)練習(xí)：教科書第114頁練習(xí)1，2．歸納小結(jié)（1）正弦定理的應(yīng)用有哪些？（2）正弦定理如何實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化？問題8

本節(jié)課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結(jié)：（1）正弦定理的應(yīng)用：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角．（2）利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：一方面可以化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決；另一方面，也可以化角為邊，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第114頁，練習(xí)3，4．P124A組第1題．

1目標(biāo)檢測C

A．C．D．B．

因?yàn)?＜A＜π，0＜B＜π，所以sinA≠0，sinB＝

，

所以B＝

．

2目標(biāo)檢測B在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cosC＝（）A．C．D．B．

解得sinC＝

．

所以cosC＝

．

解析：由正弦定理，得

，

即

，

因?yàn)锳B＜AC，所以C＜B，3目標(biāo)檢測3π在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，cosA＝

，則△ABC的外接圓的面積為_______．

設(shè)外接圓的半徑為R，

解析：∵在△ABC中，cosA＝

，

∴sinA

則由正弦定理可得

4目標(biāo)檢測在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．解：方法一：∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴2sinBcosC＝2sinBcos（90°－B）＝2sin2B＝sinA＝1，∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，根據(jù)正弦定理

∴A是直角，B＋C＝90°，∴sinB＝

．

∴△ABC是等腰直角三角形．4目標(biāo)檢測在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．方法二：∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c