線性系統(tǒng)根軌跡-3

4-3廣義根軌跡１、參數(shù)根軌跡2、零度根軌跡（1）常規(guī)根軌跡法的研究對象和約定１、參數(shù)根軌跡（2）參數(shù)根軌跡法的定義（3）參數(shù)根軌跡的研究對象和約定（4）舉例（1）常規(guī)根軌跡法的研究對象和約定(1)開環(huán)傳遞函數(shù)必須寫成上述形式;(2)變化參數(shù)寫成線性因子的形式;(3)有理分式分子分母必須寫出首1一次因子的乘積形式。（2）參數(shù)根軌跡法的定義以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。研究參數(shù)根軌跡的目的

分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響繪制參數(shù)根軌跡圖基本原理常規(guī)根軌跡方程：參數(shù)根軌跡方程：等效開環(huán)傳遞函數(shù)以α為可變參數(shù)繪制的根軌跡即為參數(shù)根軌跡（3）參數(shù)根軌跡的研究對象和約定

對于任何可變參數(shù)，只要能寫出標(biāo)準(zhǔn)形式的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程，就可以運(yùn)用常規(guī)根軌跡法來研究參數(shù)變化時(shí)的閉環(huán)根軌跡。說明閉環(huán)特征方程和閉環(huán)根軌跡是真實(shí)的由于研究需要所構(gòu)成的開環(huán)傳遞函數(shù)并非真實(shí)存在，而只是為借用常規(guī)根軌跡法而引入的一種表達(dá)形式。因此這里的開環(huán)零極點(diǎn)只是中間研究參數(shù)，并非真實(shí)的。由閉環(huán)零極點(diǎn)分析性能時(shí),可采用參數(shù)軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn)，但必須采用原來閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制以α為參數(shù)的參數(shù)根軌跡，并討論α值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：（1）以α為參量的等效開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)特征方程等效開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)極點(diǎn)實(shí)軸上的根軌跡漸近線根軌跡與虛軸的交點(diǎn):特征方程交點(diǎn)為出射角:勞斯表對于-1+j1.73處的極點(diǎn)有對于-1-j1.73處的極點(diǎn)有三、正反饋和零度根軌跡1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程幅值條件幅角條件繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則（1）、根軌跡的分支數(shù)(相同)（4）、實(shí)鈾上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)(實(shí)軸上)開環(huán)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)目之和相應(yīng)為偶數(shù)(0也視為偶數(shù))。（5）、根軌跡的漸近線：（2）、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)(相同)（3）、根軌跡的對稱性(相同)根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn)(相同)根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為（6）、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)(相同)（7）、根軌跡的出射角和入射角

（8）、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(相同)（9）、閉環(huán)極點(diǎn)的和與積(相同)例控制系統(tǒng)方框圖如下所示系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。解：（1）內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)（4）實(shí)軸上的根軌跡（2）根軌跡的分支數(shù)3（3）根軌跡的起點(diǎn)0，-1，-3終點(diǎn)均為∞

（5）根軌跡的漸近線（6）根軌跡的分離點(diǎn)特征方程§4—4利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能一、附加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響二、附加極點(diǎn)對根軌跡的影響四、開環(huán)偶極子五、穩(wěn)態(tài)性能分析三、暫態(tài)響應(yīng)性能分析一、附加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響漸近線與實(shí)軸傾角隨著m數(shù)增大而增加根軌跡向左方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著附加開環(huán)零點(diǎn)增大（在實(shí)軸上向右移）而左移提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例：一個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分析附加一個(gè)零點(diǎn)S+Z時(shí)系統(tǒng)根軌跡的變化在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中有時(shí)為改善系統(tǒng)的性能而增設(shè)零點(diǎn)，由此給根軌跡帶來明顯的改變。附加一個(gè)零點(diǎn)相當(dāng)于增加一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)，在實(shí)際中，能夠得到的比例微分作用的環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的復(fù)合環(huán)節(jié)。只要選取P>5Z，可以產(chǎn)生類似附加單純零點(diǎn)的作用。附加的開環(huán)零點(diǎn)相對靠近虛軸而起主導(dǎo)作用附加開環(huán)零點(diǎn)就是相當(dāng)于增加閉環(huán)零點(diǎn)，相當(dāng)于減少閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼，從而使系統(tǒng)的過渡過程出現(xiàn)超調(diào)趨勢。開環(huán)傳遞函數(shù)上附加極點(diǎn)降低了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性漸近線與實(shí)軸傾角隨著n數(shù)增大而減小根軌跡向右方向彎曲漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著pc增大（pc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而右移，故更靠近原點(diǎn)。向右彎曲趨勢隨著所增加的極點(diǎn)移近原點(diǎn)而加劇二、附加極點(diǎn)對根軌跡的影響增加開環(huán)極點(diǎn)的影響右移極點(diǎn)增加一個(gè)極點(diǎn)的情況增加開環(huán)極點(diǎn)的影響：相當(dāng)于增加系統(tǒng)的阻尼比使峰值時(shí)間滯后，超調(diào)量下降。附加的開環(huán)零點(diǎn)相對靠近虛軸而起主導(dǎo)作用系統(tǒng)性能系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)位置根軌跡閉環(huán)極點(diǎn)位置三、暫態(tài)響應(yīng)性能分析設(shè)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，此外還有若干實(shí)數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)，系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為。具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的零型系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)位置與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于閉環(huán)極點(diǎn)的位置。（2）如果閉環(huán)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)，且無零點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時(shí)間取決于距離虛軸最近的極點(diǎn)，若其它極點(diǎn)距離虛軸的距離比最近極點(diǎn)的距離大5倍以上，可以忽略不計(jì)。（3）如果系統(tǒng)具有一對共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率并與其它極點(diǎn)接近原點(diǎn)的程度有關(guān)，調(diào)整時(shí)間主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部（4）如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級以上，則把這對閉環(huán)零、極點(diǎn)稱為偶極子。偶極子的位置距離原點(diǎn)非常近時(shí)，其對暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會(huì)影響閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的主導(dǎo)作用。偶極子的位置距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，其對暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。（5）除主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)外的其它極點(diǎn)的存在會(huì)增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)零點(diǎn)的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加。五、穩(wěn)態(tài)性能分析如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位置已經(jīng)確定，適當(dāng)配置零