自動控制-02控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1潘豐徐穎秦

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1線性微分方程的建立及求解2.2傳遞函數(shù)

定義、性質(zhì)、典型元件及典型環(huán)節(jié)傳函2.3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及信號流圖組成、繪制、梅遜公式2.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

開環(huán)、閉環(huán)傳函引言

要對自動控制系統(tǒng)進行定量（精確）地分析和設(shè)計，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。數(shù)學(xué)表達式：代數(shù)方程、微分方程靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量之間與時間無關(guān)的靜態(tài)關(guān)系動態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量對時間的變化率，反映系統(tǒng)的動態(tài)特性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的類型時域（t）模型微分方程z域（z）模型脈沖傳函頻域（ω）模型頻率特性復(fù)域（s）模型傳遞函數(shù)§2.1.1

建模方法：分析法、實驗法§2.1控制系統(tǒng)的微分方程黑匣子輸入（充分激勵）輸出（測量結(jié)果）

具體方法：最小二乘(曲線擬合)法、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法、模糊模型法等。模型驗證：將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近。

實驗法（黑箱法、辨識法、逼近法）：人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識出數(shù)學(xué)模型。

分析法－根據(jù)系統(tǒng)運動規(guī)律（定律、經(jīng)驗公式）和結(jié)構(gòu)參數(shù)，推導(dǎo)系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系。

建模（微分方程）步驟：第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達式，消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。第三步：標準化。左“出”=右“入”，且各微分項均按降冪排列。見P19公式（2-8）所示。第一步：明確系統(tǒng)輸入、輸出量，列寫各組成環(huán)節(jié)輸出與輸入的數(shù)學(xué)表達式。根據(jù)系統(tǒng)遵循的物理定律——如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。[例2.1]如圖2.1所示，寫出RC濾波電路的微分方程。解：明確輸入量，輸出量第一步：環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達式第二步：消去中間變量i＋－urucRC圖2.1RC濾波電路該電路為一階系統(tǒng)【例2.2】如圖2.2所示，寫出RLC振蕩器電路的微分方程。解：＋－urucRC圖2.2RLC振蕩器電路Li解方程組得RLC振蕩器電路的微分方程為：該電路為二階系統(tǒng)§2.1.1線性定常微分方程的求解

一般求解線性定常系統(tǒng)微分方程有以下兩種常用方法，如下圖所示。數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換與反變換⑴定義

初始條件為零時，連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)為：拉氏變換函數(shù)（象函數(shù)）原函數(shù)衰減因子，其中：τ-時間常數(shù)s=-σ+jω為拉氏變換算子，其中：σ-衰減系數(shù)ω-振蕩頻率（rad/s）F(s)的原函數(shù)，即拉氏反變換為：（2）方法

初始條件為零時，可令連續(xù)函數(shù)中：變量字母：小寫→大寫自變量：t→s遵循線性定理：加、減符號，系數(shù)不變。

位移定理

延遲定理終值定理

將F(s)化成下列因式分解形式：⑶拉氏反變換定義表達式：f（t）=L-1[F(s)]方法：簡單函數(shù)-直接查表；復(fù)雜函數(shù)-部分分式展開，再查表（P284）。待定系數(shù)工程上常用的典型函數(shù)及其拉氏變換原函數(shù)：f(t)

脈沖（t）單位階躍1（t）速度加速度指數(shù)正（余）弦象函數(shù)F（s）

1§2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

——微小偏差法（略）

2.3.1傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì)

定義：零初始條件下，系統(tǒng)（元件、環(huán)節(jié)）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)n階線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

定義表達式為：C(s)=G(s)R(s)§2.3傳遞函數(shù)※式中：c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量；各系數(shù)均是常數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，可得到：

基本性質(zhì)：性質(zhì)1傳遞函數(shù)的概念只適于線性定常系統(tǒng)。性質(zhì)2傳遞函數(shù)是一種動態(tài)數(shù)學(xué)模型，取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息

。性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)，這就是系統(tǒng)的相似性。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的運動規(guī)律。

傳遞函數(shù)是復(fù)變量的有理真分式，即n≥m，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。對于實際系統(tǒng)來說，且所有系數(shù)均為實數(shù)。這是因為在物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)中，總是有慣性且能源有限的緣故。

若r(t)=δ(t)，則：R（s）=1

c(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]=L-1[G(s)]=g(t)

性質(zhì)7傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)

脈沖響應(yīng)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。

性質(zhì)8傳遞函數(shù)G(s)的零點zi

和極點pl為傳遞函數(shù)的零、極點（根軌跡）表達式K*---零、極點增益（根軌跡增益）2.2.2

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

任何一個復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的；而環(huán)節(jié)則是由各種不同的元件組成。

常用的電路元件如下：-z2/z1運放A1/Cs電容CLs電感LR電阻R傳遞函數(shù)微分方程常用元件為元件對應(yīng)的復(fù)阻抗

于是，可得出：由電路元件組成的電路環(huán)節(jié)，其傳函就是該電路網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗。如例2.1RC濾波器電路，由微分方程求得傳函為：其中：T=RC為電路時間常數(shù)由復(fù)阻抗可直接寫出：由復(fù)阻抗可直接寫出：如例2.2：RLC振蕩器電路，由微分方程求得傳函為：由常用的六種典型環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)傳表達式函如下：比例環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)（m個）積分環(huán)節(jié)（ν個）慣性環(huán)節(jié)（q個）振蕩環(huán)節(jié)（n-v-q）個1.比例環(huán)節(jié)(P調(diào)節(jié)器)特點：輸出與輸入量成比例，無失真和時間延遲。實例：線性電位器、運算放大器、傳動齒輪、線性傳感器等。式中:K-比例系數(shù)（增益）2.慣性環(huán)節(jié)式中:T-時間常數(shù)特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，即有延遲。實例：RC濾波電路網(wǎng)絡(luò)，一階水槽(流水)，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3.積分環(huán)節(jié)（I調(diào)節(jié)器）特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能，一般用于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，提高控制精度。實例：一階水槽，電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。4微分環(huán)節(jié)理想微分（D調(diào)節(jié)器）：一階微分（比例微分或PD調(diào)節(jié)器）：特點：輸出量正比于輸入量變化的速度，具有超前控制的作用，一般用于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)?？煽毓柚绷鏖]環(huán)調(diào)速系統(tǒng)也是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。5.振蕩環(huán)節(jié)式中ζ——阻尼比；T——時間常數(shù)

ωn——無阻尼自然振蕩角頻率（rad/s）6.延時（滯后）環(huán)節(jié)特點：輸出量能準確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量、皮帶運輸?shù)任锢砹康目刂?，其?shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。式中：——延遲時間常數(shù)說明：實際的控制系統(tǒng)都含有滯后環(huán)節(jié)，只是一般延遲時間常數(shù)較小，可忽略不計。實例1.P調(diào)節(jié)器如：電位器、運算放大器、各種線性傳感器、變速器、測速發(fā)電機、杠桿、齒輪等。2.PI調(diào)節(jié)器電路-Ui(s)Uo(s)R11/Cs(b)PI調(diào)節(jié)器R23.PD調(diào)節(jié)器4.PID調(diào)節(jié)器§2.3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及系統(tǒng)傳函2.3.1控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成G(s)R(s)C(s)（2）比較點（匯合點、綜合點、運算點）：“”兩個或兩個以上的輸入信號進行加減運算的元件。“+”表示相加，“-”表示相減。“+”號可省略不寫。（1）傳函方框：表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。(3)引出點（分支點、測量點）：表示信號測量或引出的位置圖2.7引出點示意圖)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣。X1X1+X2X2圖2.6比較點示意圖示意圖X1X1X2+X2-X3X3-注意：進行相加減的量，必須具有相同的量綱。2.3.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(1)

前向通道傳函--假設(shè)D(s)=0

前向通道：E(s)→C(s)

G1(s)G2(s)H(s)C(s)圖2.8

典型的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖控制對象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(2)

反饋通道傳函--

假設(shè)D(s)=0

反饋通道：C(s)→B(s)傳函：反饋信號與輸出信號之比，即：Ｈ(ｓ)＝１時稱為單位反饋。（3）開環(huán)傳函--

假設(shè)D(s)=0

開環(huán)通道：E(s)→B(s)傳函：反饋信號與誤差信號之比。

即：（4）閉環(huán)傳函——兩種輸入信號對輸出響應(yīng)的傳函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可簡化為其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道傳函１+開環(huán)傳函

給定閉環(huán)傳函：假定D(s)=0，R(s)

Cr(s)

典型控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可等效為G２(s)H(s)Cd(s)Ｄ(s)G1(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)

擾動閉環(huán)傳函：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Cd(s)

系統(tǒng)總相應(yīng)為：C(s)=Cr(s)+Cd(s)2.3.3

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制一般步驟確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量由輸入到輸出繪制各組成環(huán)節(jié)（元件）的微分方程根據(jù)信號流向由輸入到輸出連接各環(huán)節(jié)（元件）的傳函方框圖列寫各環(huán)節(jié)（元件）的拉氏變換方程并繪制對應(yīng)的傳函方框圖方程中