自動(dòng)控制原理復(fù)習(xí)

自動(dòng)控制原理復(fù)習(xí)

2014.9

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

◆控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本形式

●微分方程式：

描述控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的最基本的數(shù)學(xué)表達(dá)式（時(shí)間域）

●傳遞函數(shù)：

線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)輸出變量的拉普拉斯變換與

輸入變量拉普拉斯變換之比（復(fù)頻域）

●圖形形式：

框圖

信號(hào)流圖◆舉例

例2-1已知系統(tǒng)框圖，求傳遞函數(shù)。

可以有兩種方法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

●框圖簡(jiǎn)化

●轉(zhuǎn)化成信號(hào)流圖再利用梅遜公式

▲框圖簡(jiǎn)化

⑴框的并聯(lián)：框和框并聯(lián)，可以合并成

一個(gè)框，即；

⑵移動(dòng)求和點(diǎn)：將之前的求和點(diǎn)移動(dòng)到

之后，在框后乘一個(gè)；

⑶兩個(gè)求和點(diǎn)合并成一個(gè)；

⑷合并并聯(lián)框：框和框合并成

⑸反饋回路計(jì)算

⑹最后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

▲轉(zhuǎn)化成信號(hào)流圖（略）

答案見(jiàn)《控制工程基礎(chǔ)習(xí)題解答》

梅遜增益公式

表示所有不同回路的傳遞函數(shù)的和；

表示所有每?jī)蓚€(gè)互不接觸的回路的傳遞函數(shù)的乘積之和；表示所有每三個(gè)互不接觸的回路的傳遞函數(shù)的乘積之和；

是從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第條前向通路的傳遞函數(shù)；被稱為信號(hào)流圖的余子式，它是在信號(hào)流圖特征式中將與第條前向通路接觸的所有回路的傳遞函數(shù)置為0所得的結(jié)果。

第3章線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

◆線性系統(tǒng)的典型時(shí)間響應(yīng)

●典型輸入信號(hào)

單位沖激信號(hào)單位階躍信號(hào)單位斜坡信號(hào)單位拋物線信號(hào)

●典型輸出響應(yīng)

▲單位沖激響應(yīng)

▲單位階躍響應(yīng)

◆穩(wěn)定性和勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

●線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

▲微分方程的特征方程的根全部位于復(fù)數(shù)平面的

左半平面

▲傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部

●勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同（必要條件）；

勞斯陣列內(nèi)第一列中各個(gè)元的數(shù)均為正數(shù)。

如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征方程中具有正實(shí)部的根的

數(shù)目等于第一列中各個(gè)元的符號(hào)的改變次數(shù)。

●勞斯判據(jù)的應(yīng)用

▲判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（絕對(duì)穩(wěn)定性）

▲確定參數(shù)的穩(wěn)定域（滿足穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍）◆穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)

●穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

▲穩(wěn)態(tài)誤差

▲靜態(tài)誤差系數(shù)

*靜態(tài)位置誤差系數(shù)

*靜態(tài)速度誤差系數(shù)

*靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

●穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的型

▲0型系統(tǒng)

*

階躍輸入

*

斜坡輸入、拋物線輸入

▲Ⅰ型系統(tǒng)

*

階躍輸入

*

斜坡輸入

*

拋物線輸入

▲Ⅱ型系統(tǒng)

*

階躍輸入、斜坡輸入

*

拋物線輸入

●瞬態(tài)性能指標(biāo)

▲上升時(shí)間

▲峰值時(shí)間

▲超調(diào)量

▲調(diào)整時(shí)間

▲延遲時(shí)間

◆一階系統(tǒng)的響應(yīng)

●傳遞函數(shù)

●單位階躍響應(yīng)

●單位沖激響應(yīng)

◆二階系統(tǒng)的響應(yīng)

●傳遞函數(shù)

●單位階躍響應(yīng)（欠阻尼）

●單位沖激響應(yīng)（欠阻尼）

●標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

▲上升時(shí)間：

▲峰值時(shí)間：

▲超調(diào)量或：

▲調(diào)整時(shí)間：

，（5%誤差帶）

，（2%誤差帶）

◆舉例

例3-1已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

欲使系統(tǒng)對(duì)于單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為，

單位階躍輸入的超調(diào)量為，求參數(shù)和

的值，并求上升時(shí)間和調(diào)整時(shí)間。

解：

⑴求

由于要求單位斜坡輸入時(shí)，而

因此可以求得。⑵求

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由于要求，則由可以求得

現(xiàn)取，，則有

，

于是可以求得，。

則

，

第4章頻率響應(yīng)分析

◆頻率響應(yīng)特性概念

◆對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖-BODE圖）及系統(tǒng)的頻域

性能指標(biāo)：穿越頻率和穩(wěn)定裕度

▲對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖

*橫坐標(biāo)：頻率軸（ω軸）

對(duì)數(shù)刻度，單位為：（弧度∕秒）

*縱坐標(biāo)：

幅值軸（對(duì)數(shù)幅值）

線性刻度，單位為：（分貝）

相角軸（相角）

線性刻度，單位為：（度）或（弧度）

▲復(fù)雜系統(tǒng)伯德圖的繪制

⑴將傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即基本單元串聯(lián)的形

（基本單元傳遞函數(shù)相乘），求出基本單元和相

關(guān)轉(zhuǎn)角頻率；

⑵將各個(gè)轉(zhuǎn)角頻率按照由小到大的順序排列，并在

伯德圖的頻率軸上做出標(biāo)記；

⑶繪制低頻漸近線。當(dāng)時(shí)，頻率特性相當(dāng)于

所以低頻漸近線只由增益和積分單元決定；

⑷繪制更高頻段的折線幅頻特性?！上到y(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖求最小相位系統(tǒng)的

傳遞函數(shù)舉例

例4-1已知最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性圖

如下圖所示

⑴求系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)；

⑵設(shè)系統(tǒng)為單位負(fù)反饋，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

⑶求系統(tǒng)的增益穿越頻率和相角穩(wěn)定裕度。

解：

⑴圖中，低頻漸近線的斜率為，表明

系統(tǒng)包含一個(gè)積分單元；在、、

處斜率變化，表明系統(tǒng)包含

轉(zhuǎn)角頻率分別為上述數(shù)值的3個(gè)惰性單元；在

處斜率變化表明系統(tǒng)包含

1個(gè)轉(zhuǎn)角頻率為的比例微分單元；系統(tǒng)

還可能包含比例單元。因此可以初步確定系

統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

求增益

○求處的對(duì)數(shù)幅值

即

○求得

則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

或者

則

求得

⑵系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

⑶求和

●極坐標(biāo)圖及乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

（幅相頻率特性、乃奎斯特圖）

▲極坐標(biāo)圖的繪制

把頻率特性函數(shù)的幅值和相角畫(huà)在同一張圖上

頻率特性函數(shù)為

*時(shí)的起始點(diǎn)

*時(shí)的結(jié)束點(diǎn)

*曲線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

*當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)包含積分單元時(shí)曲線的繪制

從到部分無(wú)窮大半圓的繪制

▲乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性圖對(duì)平面點(diǎn)

逆時(shí)針包圍的周數(shù)等于系統(tǒng)在右半平面開(kāi)環(huán)

極點(diǎn)的數(shù)目

▲舉例

例4-2已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并用乃奎斯特

穩(wěn)定性判據(jù)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。

解：

⑴系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性函數(shù)為

⑵繪制極坐標(biāo)圖

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，的極坐標(biāo)圖從第二象限

方向沿漸近線出發(fā)，在第三象限以與

負(fù)虛軸相切趨于原點(diǎn)。

由，解得當(dāng)時(shí)，，

即曲線與實(shí)軸交于點(diǎn)。

或者令

即

解此三角函數(shù)方程同樣可以求得，

代入幅值求得。

據(jù)此便可畫(huà)出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。

⑶求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍

系統(tǒng)有一個(gè)位于右半平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，為使

系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的乃奎斯特曲線應(yīng)逆時(shí)針包圍

點(diǎn)一周。所以應(yīng)有

解得

因此，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)滿足

第5章控制系統(tǒng)的頻域校正

◆串聯(lián)超前校正裝置的設(shè)計(jì)

●基本思想：超前校正的主要作用是提高系統(tǒng)的

穩(wěn)定性和加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，其原理是最大

限度地利用超前校正裝置所能提供的超前角。

設(shè)計(jì)過(guò)程中的主要任務(wù)是選擇超前校正裝置的

轉(zhuǎn)角頻率以及它們之間的距離，它們之間的距離

越大，所能提供的最大超前角越大。使產(chǎn)生最大

超前角的頻率和校正后系統(tǒng)的增益穿越頻率接近，

以充分提高系統(tǒng)的相角裕度。

（利用相位超前校正裝置的超前相角，補(bǔ)償原系統(tǒng)相角穩(wěn)定裕度

的不足。因此，應(yīng)將產(chǎn)生最大相位超前角的頻率定為校正后系統(tǒng)的幅

值穿越頻率。）

●設(shè)計(jì)步驟：

(1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求確定開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的總增益，

其中可以包括校正裝置傳遞函數(shù)的增益；

(2)畫(huà)出增益校正后的系統(tǒng)的伯德圖，如果相角穩(wěn)定

裕度太低，而且也不宜降低增益穿越頻率，則可

考慮進(jìn)行超前校正。計(jì)算超前校正裝置應(yīng)當(dāng)提供

的最大超前角（注意要適當(dāng)?shù)亓粲杏嗔浚?/p>

(3)計(jì)算超前校正裝置的分度系數(shù)，計(jì)算公式為

⑷確定校正后系統(tǒng)的增益穿越頻率，即校正裝置產(chǎn)

生最大超前角的頻率。此頻率是在未校正系統(tǒng)對(duì)

數(shù)幅頻圖上幅值等于處的頻率。

⑸確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率，即計(jì)算和：

⑹校核。

●舉例（略）

◆串聯(lián)滯后校正裝置的設(shè)計(jì)

●基本思想：滯后校正的主要作用是提高系統(tǒng)的

穩(wěn)態(tài)精度，其原理是在基本上不改變未校正系統(tǒng)

穩(wěn)定裕度（即不改變未校正系統(tǒng)中頻特性）的

情況下，提高低頻增益。設(shè)計(jì)過(guò)程中的主要任務(wù)

是選擇滯后校正裝置傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)角頻率以及

它們之間的距離。為了使滯后校正裝置產(chǎn)生的

滯后角不降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性（不使系統(tǒng)的相角

裕度減小），它的轉(zhuǎn)角頻率必須比校正后系統(tǒng)的

增益穿越頻率要低得多，它的兩個(gè)轉(zhuǎn)角頻率之間

的距離越大，低頻增益的允許提高量也越大，

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度也就越高?！裨O(shè)計(jì)步驟：

⑴根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)性能要求（穩(wěn)態(tài)誤差），確定

校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的總增益，其中可以

包含校正裝置傳遞函數(shù)的增益。

⑵畫(huà)出增益校正后（或未校正）系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻

特性圖，根據(jù)相角穩(wěn)定裕度的要求，在留有一定

余量的條件下（適當(dāng)增加余量），選擇

校正后系統(tǒng)的增益穿越頻率。

⑶選擇滯后校正裝置傳遞函數(shù)頻率特性中較高轉(zhuǎn)角

頻率為。

⑷根據(jù)校正后系統(tǒng)增益穿越頻率處的對(duì)數(shù)幅值，

確定滯后校正裝置傳遞函數(shù)中的參數(shù)。⑸校核。

（或者當(dāng)原系統(tǒng)的相角裕度已經(jīng)滿足要求，只是

穩(wěn)態(tài)精度較低，不滿足給定的要求。這時(shí)可以利用

滯后校正裝置的低通濾波特性，抬高原系統(tǒng)對(duì)數(shù)

幅頻特性的低頻段，根據(jù)放大倍數(shù)需要提高的倍

數(shù)，確定滯后校正裝置傳遞函數(shù)中的參數(shù)—即

分度系數(shù)。）

●舉例（略）

◆串聯(lián)超前滯后校正裝置的設(shè)計(jì)（略）

第6章根軌跡方法及控制系統(tǒng)的校正

◆根軌跡概念

●控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從零到無(wú)窮大

變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在平面上運(yùn)動(dòng)

而形成的軌跡，成為控制系統(tǒng)的根軌跡。

●根軌跡法是根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)

在平面上分布的條件下，繪制閉環(huán)特征方程根

的軌跡。

●根軌跡方程及繪制根軌跡的條件

（幅值條件）

（相角條件）◆根軌跡的基本性質(zhì)（9條）

⑴對(duì)稱性：關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；

⑵分支數(shù)：等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)；

⑶起點(diǎn)和終點(diǎn)：起始于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于系統(tǒng)

開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；

⑷根軌跡上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的增益

⑸實(shí)軸上的根軌跡：根軌跡區(qū)段右側(cè)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和

零點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)；

⑹趨于無(wú)窮遠(yuǎn)根軌跡的漸近線：

漸近線與正實(shí)軸的夾角

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

⑺分離點(diǎn)和會(huì)和點(diǎn)：

即

的根，

或的根；

⑻根軌跡離開(kāi)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角

根軌跡到達(dá)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角

⑼根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：以代入系統(tǒng)特征

方程，令實(shí)部和虛部分別為零，即

解方程組求交點(diǎn)和臨界增益；

或者利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)?！舾壽E的繪制舉例

●普通根軌跡（常規(guī)根軌跡、一般根軌跡）的繪制

例6-1已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡并求出系統(tǒng)為穩(wěn)定的值范圍。

解：

⑴系統(tǒng)有4個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，，，，1個(gè)開(kāi)環(huán)

點(diǎn)，根軌跡有4條分支。4條根軌跡分支起

始于4個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，1條分支