【第一方案】高三數(shù)學一輪復習 第七章 不等式、推理與證明第一節(jié) 不等關系與不等式

第一節(jié)不等關系與不等式

點擊考綱1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系．2.了解不等式(組)的實際背景.

關注熱點1.以考查不等式的性質(zhì)為重點，同時考查不等關系，常與函數(shù)、數(shù)列、幾何、實際問題等相結(jié)合進行綜合命題．2.常以選擇題的形式考查不等式的性質(zhì)，主要在其他知識交匯點處命題.

1．實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關系設a，b∈R，則(1)a>b?

；(2)a＝b?

；(3)a<b?

.a－b>0a－b＝0a－b<02．不等式的基本性質(zhì)(1)a>b?

；(2)a>b，b>c?

；(3)a>b?

；(4)a>b，c>0?

；a>b，c<0?

；(5)a>b，c>d?

；(6)a>b>0，c>d>0?

；(7)a>b>0?

(n∈N且n>1)；(8)a>b>0?

(n∈N且n>1)．b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bdan>bn1．不等式組a≤x≤b且c≤y≤d與a＋c≤x＋y≤b＋d等價嗎？提示：不等價．“a≤x≤b且c≤y≤d”是“a＋c≤x＋y≤b＋d”的充分不必要條件．1．下列不等式：①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：顯然①②正確，對③，m≤0時不成立，對④，m≤0時不成立．答案：B答案：D3．“a＋b>2c”的一個充分非必要條件是()A．a(chǎn)>c或b>c B．a(chǎn)>c或b<cC．a(chǎn)>c且b>c D．a(chǎn)>c且b<c解析：由不等式的基本性質(zhì)知，a>c且b>c?a＋b>2c，所以C是a＋b>2c的充分非必要條件．答案：C4．某地規(guī)定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等關系寫成不等式為________．解析：設最低生活保障金為x元，則x≥300.答案：x≥3005．設f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)，g(x)的大小關系是________．解析：∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x) 某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．該車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．【方法探究】

(1)用不等式(組)表示實際問題時，應注意實際問題中的關鍵性的文字語言與對應的數(shù)學符號之間的正確轉(zhuǎn)換．(2)注意區(qū)分“不等關系”和“不等式”的異同，不等關系強調(diào)的是關系，可用“>”，“<”，“≥”，“≤”，“≠”表示，不等式則是表現(xiàn)不等關系的式子．(3)對于實際問題中的不等關系，可以從“不超過”、“至少”、“至多”等關鍵詞上去把握，并考慮實際意義。提醒：在實際問題中要注意變量x、y應滿足的條件．【思路導引】

用特殊值法或直接利用不等式的性質(zhì)求解．【答案】

D【方法探究】

要熟練掌握不等式的性質(zhì)，特別是它的可乘性，在應用時很容易出錯，要引起重視．另外，要注意不等式的性質(zhì)與函數(shù)單調(diào)性的綜合應用．答案：B

(1)已知m∈R，x∈R，試比較x2－x＋1與－2m2－2mx的大?。?2)已知a，b，c∈{正實數(shù)}，且a2＋b2＝c2，當n∈N，n>2時，比較cn與an＋bn的大小．【思路導引】

(1)作差法，通過因式分解或配方法判斷差的符號；(2)本題需比較的式子是冪的形式，因此考慮作商法．【方法探究】

(1)“作差法”比較大小的關鍵是判斷差的正負，常利用配方、因式分解、函數(shù)的單調(diào)性等方法，當兩個式子都為正時，有時也可先平方再作差．(2)“作商法”的關鍵是判斷商與1的大小，但注意商式分母的正負．解析：法一：∵y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.法二：令a＝3，b＝2，c＝1得z>y>x.答案：z>y>x1．(2009·四川高考)已知a，b，c，d為實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】

∵c>d，∴－c<－d，a>b，∴a－c與b－d的大小無法比較；當a－c>b－d成立時，假設a≤b，－c<－d，∴a－c<b－d，與題設矛盾，∴a>b.綜上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分條件．【答案】

B【答案】

A【評價探究】

兩題主要考查不等式的性質(zhì)和大小比較，以及推理判斷能力．單純考查性質(zhì)的題目不多，常與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列等結(jié)合起來，有時與充要條件結(jié)合起來，以選擇題和填空為主．【考向分析】

從近兩年的高考試題來看，不等關系、不等式的性質(zhì)及應用等是高考的熱點，題型既有選擇題，又有填空題，難度為中低檔；客觀題突出對不等式性質(zhì)的靈活運用，與不等式有關的集合的運算，也是常考題型；主觀題考查絕對值不等式、不等式性質(zhì)的應用，有時考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．預測2012年高考仍將以不等關系、不等式性質(zhì)及應用為主要考查點，重點考查邏輯推理能力．答案：D2．如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)<0答案：C3．若x＋y>0，a<0，ay>0，則x－y的值為()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．符號不確定解析：∵a<0，ay>0?y<0，又∵x＋y>0?x>0，又－y>0，∴x－y>0.故本題應選A.答案：A4．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a(chǎn)>ab>ab2 B．a(chǎn)b2>ab>aC．a(chǎn)b>a>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a答案：D5．(2011·東北四市聯(lián)考)已知0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2，a1≠b1，則關于三個數(shù)：a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小關系說法：①a1b1＋a2b2最大；②a1b2＋a2b1最??；③a1a2＋b1b2最??；④a1b2＋a2b1與a1a2＋b1b2的大小不能確定，其中正確的是________．解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0