經(jīng)典控制理論-第七章2

7-3Z變換理論通過前面對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng)的討論我們知道，線性連續(xù)系統(tǒng)用線性微分方程來描述，可以應(yīng)用拉氏變換的方法來分析其動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)過程。線性采樣系統(tǒng)中包含離散信號(hào)，用差分方程來描述，同樣可以應(yīng)用一種z變換的方法來進(jìn)行分析。z變換是由拉氏變換引申出來的一種變形。Z變換定義

設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)可進(jìn)行拉氏變換，其拉氏變換為F(s)。連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)后，變成離散信號(hào)f*(t)離散信號(hào)的拉氏變換為上式中各項(xiàng)均含有e-kTs因子，為便于計(jì)算定義一個(gè)新變量z=esT，其中T為采樣周期，z是復(fù)數(shù)平面上定義的一個(gè)復(fù)變量。通常稱為z變換算子。得到以z為自變量的函數(shù)F(z)是相互補(bǔ)充的兩種變換形式，前者表示s平面上的函數(shù)關(guān)系，后者表示z平面上的函數(shù)關(guān)系。若所示級(jí)數(shù)收斂，則稱F(z)是f*(t)的z變換。記為

Z[f*(t)]=F(z)應(yīng)該指出，式所表示的z變換只適用于離散函數(shù)，或者說只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性，而不能反映其在采樣時(shí)刻之間的特性。人們習(xí)慣上稱F(z)是f(t)的z變換,指的是經(jīng)過采樣后f*(t)的z變換。采樣函數(shù)f*(t)所對(duì)應(yīng)的z變換是唯一的，反之亦然。但是，一個(gè)離散函數(shù)f*(t)所對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，而是有無窮多個(gè)。從這個(gè)意義上來說，連續(xù)時(shí)間函數(shù)x

(t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)x*(t)具有相同的z變換，即Z變換方法求離散函數(shù)z變換的方法有很多，我們介紹其中三種。1)級(jí)數(shù)求和法由離散函數(shù)及其拉氏變換，根據(jù)z變換的定義有：其為離散函數(shù)z變換的一種表達(dá)形式。只要已知連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻kT(k=0,1,2,3,4,…..)的采樣值便可求取離散函數(shù)z變換的級(jí)數(shù)展開式。對(duì)常用離散函數(shù)的z變換應(yīng)寫成級(jí)數(shù)的閉合形式。例7-1：試求函數(shù)f(t)=1(t)的z變換。解:f(kt)=1(t)(k=0,1,2,3….)例7-2：試求函數(shù)f(t)=e-at的z變換。綜上分析可見，通過級(jí)數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的缺點(diǎn)在于：需要將無窮級(jí)數(shù)寫成閉式。這在某些情況下要求很高的技巧。但函數(shù)Z變換的無窮級(jí)數(shù)形式卻具有鮮明的物理含義，這又是Z變換無窮級(jí)數(shù)表達(dá)形式的優(yōu)點(diǎn)。Z變換本身便包含著時(shí)間概念，可由函數(shù)Z變換的無窮級(jí)數(shù)形式清楚地看出原連續(xù)函數(shù)采樣脈沖序列的分布情況。

2)部分分式法設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換式為有理函數(shù)，可以展開成部分分式的形式，即式中pi為F（s）的極點(diǎn)，

Ai為常系數(shù)。對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為其Z變換為可見，f（t）的Z變換為：利用部分分式法求z變換時(shí)，先求出已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)f（t）的拉氏變換F(s)，然后將有理分式函數(shù)F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或查表）給出每一項(xiàng)相應(yīng)的z變換。例7-3：求的Z變換。例7-4：求f(t)=sinωt的Z變換。解：的原函數(shù)為，其Z變換為3)留數(shù)計(jì)算法已知連續(xù)信號(hào)f(t)的拉氏變換F(s)及它的全部極點(diǎn),可用下列的留數(shù)計(jì)算公式求F(z)。函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算方法如下：若Si為單極點(diǎn)，則若有ri重極點(diǎn)Si，則例7-5已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，應(yīng)用留數(shù)計(jì)算法求F（z）。解：F(s)的極點(diǎn)為單極點(diǎn)例7-6：求(t>0)的Z變換.解：F(s)有兩個(gè)s=0的極點(diǎn)，即若對(duì)于任何常數(shù)a和b，則有Z變換性質(zhì)1）線性定理證明：由Z變換定義若2）實(shí)數(shù)位移定理又稱平移定理實(shí)數(shù)位移含義，是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干個(gè)采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為延遲。則有及3）復(fù)域位移定理若則有：定理的含義是：函數(shù)x(t)乘以指數(shù)序e±at的Z變換，等于在x(t)的Z變換表達(dá)式X(z)中，以取代原算子z。證明：由Z變換定義舉例：試用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)te-at的Z變換解：令x(t)=t，查表7-1知根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理，有4）復(fù)數(shù)微分定理若Z[x(t)]=X(z)，則5）初值定理若Z[x(t)]=X(z)，且當(dāng)t<0時(shí)，x(t)＝0則6）終值定理若Z[x(t)]=X(z)

，且(z－1)X(z)的全部極點(diǎn)位于Z平面的單位圓內(nèi)，則舉例：設(shè)Z變換函數(shù)為試用終值定理確定的終值。解：由終值定理得7）卷積定理設(shè)和為兩個(gè)采樣函數(shù)，其離散卷積定義為：若必有：Z反變換與拉氏反變換類似，z反變換可表示為：下面介紹三種常用的z反變換法。1）綜合除法這種方法是用F(z)的分母除分子。求出z-1按升冪排列的級(jí)數(shù)展開式，然后用z反變換求出相應(yīng)的采樣函數(shù)的脈沖序列。其中ai，bj均為常系數(shù)。通過對(duì)上式直接作綜合除法，得到按z-1升冪排列的冪級(jí)數(shù)展開式，如果得到的無窮級(jí)數(shù)是收斂的，則按Z變換定義可知上式中的系數(shù)fk

（k=0，1，…）就是采樣脈沖序列f*(t)的脈沖強(qiáng)度f(kT）。因此可直接寫出f*(t)的脈沖序列表達(dá)式上式就是我們要求的通過z反變換得到的離散信號(hào)f*(t)。求解時(shí)應(yīng)注意：①在進(jìn)行綜合除法之前，必須先將F(z)的分子，分母多項(xiàng)式按z的降冪形式排列。②實(shí)際應(yīng)用中，常常只需計(jì)算有限的幾項(xiàng)就夠了。因此用這種方法計(jì)算f*(t)最簡(jiǎn)便，這是這一方法優(yōu)點(diǎn)之一。③要從一組f(kT)值中求出通項(xiàng)表達(dá)式，一般是比較困難的。例7-7：已知，試用冪級(jí)數(shù)法求F(z)的z反變換。解：用綜合除法得到因?yàn)橛忠驗(yàn)樗杂?)部分分式展開法在z變換表中，所有z變換函數(shù)F(z)在其分子上都普遍含有因子z，所以應(yīng)將F(z)/z展開為部分分式，然后將所得結(jié)果每一項(xiàng)都乘以z，即得F(z)的部分分式展開式。例7-8設(shè),試求f(kT)。解：經(jīng)計(jì)算有A=1，B=－1所以有查z變換表得3）留數(shù)計(jì)算法（反演積分法）根據(jù)z變換定義有根據(jù)柯西留數(shù)定理有式中表示F(z)zk-1在極點(diǎn)zi

處的留數(shù)。關(guān)于函數(shù)F(z)zk-1在極點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算方法如下：若zi為單極點(diǎn)，則若F(z)zk-1有ｎ階重極點(diǎn)zi，則例7-9：設(shè)z變換函數(shù)，試用留數(shù)法求其z反變換。解：因?yàn)楹瘮?shù)有z1=－1，z2=－2兩個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)處的留數(shù)所以有相應(yīng)的函數(shù)為：7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達(dá)式三種。離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型將輸入序列x(n)，n=0，±1，±2，…變換為輸出序列y(n)的一種變換關(guān)系，稱為離散系統(tǒng)。記為y(n)=F[x(n)]其中，x(n)和y(n)可以理解為t=nT時(shí)，系統(tǒng)的輸入序列x(nT)和輸出序列y(nT），T為采樣周期。線性離散系統(tǒng)如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱為線性離散系統(tǒng)，有如下關(guān)系式若且有其中a和b為任意常數(shù)，則線性定常離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間而改變的線性離散系統(tǒng)稱為線性定常離散系統(tǒng)。線性常系數(shù)差分方程對(duì)于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時(shí)刻的輸出y(k)不但與k時(shí)刻的輸入x(k)有關(guān)，而且與k時(shí)刻以前的輸入x(k－1)，x(k－2),…有關(guān)，同時(shí)還與k時(shí)刻以前的輸出y(k－1),y(k－2),…有關(guān)。這種關(guān)系可以用下列

階后向差分方程描述：上式可表示為式中a和b為常數(shù)m<n，上式稱為n階線性常系數(shù)差分方程，它在數(shù)學(xué)上代表一個(gè)線性定常離散系統(tǒng)。差分方程求解

常用方法有迭代法和z變換法。迭代法非常簡(jiǎn)單。舉例說明如下：

例7-10已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k－1)－6y(k－2)，輸入序列x(k)=1，初始條件為y(0)=0,y(1)=1，試用迭代法求出輸出序列y(k)，k=0，1，2，···，10。解：根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得y(0)=0y(1)=1y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25y(4)=x(4)+5y(3)-6y(2)=90 ……y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526Z變換法差分方程求解

Z變換法的實(shí)質(zhì)是利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理，將差分方程化為以z為變量的代數(shù)方程，然后進(jìn)行z反變換，求出各采樣時(shí)刻的響應(yīng)。Z變換法的具體步驟是：①對(duì)差分方程進(jìn)行z變換；②解出方程中輸出量的z變換Y(z)；③求Y(z)的z反變換，得差分方程的解y(k)。

例7-11用Z變換法解二階差分方程解：對(duì)上式取Z變換代入初始條件，得，脈沖傳遞函數(shù)（Z

傳遞函數(shù)）在線性連續(xù)系統(tǒng)中，我們把初始條件為零條件下系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變拉之比，定義為傳遞函數(shù)，并用它來描述系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的特性。與此相類似，在線性離散系統(tǒng)中，我們把初始條件為零條件下系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的輸出離散信號(hào)的Z變換與輸入離散信號(hào)的Z變換之比，定義為脈沖傳遞函數(shù)，又稱為Z傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)的一個(gè)重要概念，是分析離散系統(tǒng)的有力工具。圖7-15采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)1）脈沖傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的離散輸出信號(hào)z變換與離散輸入信號(hào)z變換之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或z傳遞函數(shù)）。零初始條件是指時(shí)，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為零。多數(shù)實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，如圖上圖所示，在這種情況下，可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)，并設(shè)它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工作。這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)的概念。

2)脈沖傳遞函數(shù)的求法連續(xù)系統(tǒng)或元件的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，可以通過其傳遞函數(shù)G(s)來求取。方法是：先求G(s)的拉氏反變換，得到脈沖過渡函數(shù)g(t),再將g(t)按采樣周期離散化，得到加權(quán)序列g(shù)(nT)，最后將g(nT)進(jìn)行z變換，得出G(z)。這一過程比較復(fù)雜，通常可根據(jù)z變換表，直接從G(s)得到G(z)，而不必逐步推導(dǎo)。若已知系統(tǒng)的差分方程，可對(duì)方程兩端進(jìn)行z變換，應(yīng)用求取。例7-12:若描述采樣系統(tǒng)的差分方程為試求其脈沖傳遞函數(shù)。解：對(duì)上面差分方程進(jìn)行z變換，并令初始條件為0，有3）采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ⅰ采樣拉氏變換的性質(zhì)采樣拉氏變換的兩個(gè)重要性質(zhì)（1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性，即（2）若采樣函數(shù)的拉氏變換與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換相乘后再離散化，則可以從離散符號(hào)中提出來，即Ⅱ開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)討論采樣系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意圖中所示的兩種不同的結(jié)構(gòu)形式（如圖7-16所示）。圖7-16：環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)上式表明，被采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。這個(gè)結(jié)論可以推廣到有n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān)分離的情形。無采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的Z變換。顯然，這一結(jié)論也可以推廣到有n個(gè)環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。但環(huán)節(jié)之間存在采樣開關(guān)與否時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)不相等。Ⅲ帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)設(shè)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如圖7-17（a）所示,經(jīng)簡(jiǎn)單變換為如圖7-17（b）所示等效開環(huán)系統(tǒng)。圖7-17：帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)根據(jù)實(shí)數(shù)位移定理及采樣拉氏變換性質(zhì)，可得于是，有零階保持器時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳