自動控制第二章2.1(10.3.11)

第二章控制系統的數學模型2-1引言2-2微分方程的建立及線性化2-3傳遞函數2-4結構圖2-5信號流圖Part2.1.1

數學模型的定義系統示意圖系統框圖Remember恒溫箱自動控制系統?Part2.1.1

數學模型的定義系統框圖

t

u2

u

ua

n

v

u

t由若干個元件相互配合起來就構成一個完整的控制系統。系統是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作用與相互制約的關系。物理量的變換，物理量之間的相互關系信號傳遞體現為能量傳遞（放大、轉化、儲存）由動態(tài)到最后的平衡狀態(tài)--穩(wěn)定運動一.數學模型1.定義

描述系統內部物力量（或變量）之間關系的數學表達式即數學模型。數學模型是分析和設計自動控制系統的基礎。

2.為什么要建立數學模型從理論上對系統的系統的性能進行定量的分析和計算；運動規(guī)律相同的控制系統可以用一個運動方程來表示；如：機械平移系統--------RLC電路3.表示形式

a.微分方程

b.傳遞函數

c.頻率特性三種數學模型之間的關系線性系統傳遞函數微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換4.建立方法

a.分析計算法

分析計算法是根據支配系統的內在運動規(guī)律以及系統的結構和參數，推導出輸入量和輸出量之間的數學表達式，從而建立數學模型——適用于簡單的系統。

b.工程實驗法

根據對系統的觀察，通過測量所得到的大量輸入、輸出數據，推斷出被研究系統的數學模型。

二.線性系統1.定義：如果系統的數學模型是線性微分方程，這樣的系統就是線性系統。

線性元件：具有迭加性和齊次性的元件。非線性元件：不具有迭加性和齊次性的元件。

若元件輸入為r（t）、r1（t）、r2（t）對應的輸出為c（t）、c1（t）、c2（t）如果r（t）=r1（t）+r2（t）時，

c（t）=c1（t）+c2（t）滿足迭加性如果r（t）=a·r1（t）時，

c（t）=a·c1（t）滿足齊次性滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件。2.重要特點：對線性系統可以應用迭加性和齊次性，對研究帶來了極大的方便。

迭加性的應用

欲求系統在幾個輸入信號和干擾信號同時作用下的總響應，只要對這幾個外作用單獨求響應，然后加起來就是總響應。

齊次性表明

當外作用的數值增大若干倍時，其響應的數值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對系統進行分析——簡化了問題。一.微分方程的建立微分方程是控制系統最基本的數學模型，要研究系統的運動，必須列寫系統的微分方程。一個控制系統由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據各個元件的物理規(guī)律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統總的輸入和輸出的微分方程。2-2微分方程的建立及線性化例1.機械平移系統求在外力F(t)作用下，物體的運動軌跡。mkF(t)x(t)位移阻尼系數f阻尼器彈簧首先確定：輸入F(t),輸出x(t)其次：理論依據1.牛頓第二定律物體所受的合外力等于物體質量與加速度的乘積2.牛頓第三定律作用力等于反作用力,現在我們單獨取出m進行分析，這里不考慮重力的影響。mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力寫微分方程時，常習慣于把輸出寫在方程的左邊，輸入寫在方程右邊，而且微分的次數由高到低排列。機械平移系統的微分方程為：例2.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。rLCur(t)uc(t)i(t)電氣系統三元件電阻電容電感電學：歐姆定理、基爾霍夫定律。依據：電學中的基爾霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)（兩邊求導）這兩個式子很相似，故可用電子線路來模擬機械平移系統，這也證明了我們前面講到的，看似完全不同的系統，具有相同的運動規(guī)律，可用相同的數學模型來描述。整理成規(guī)范形式上題機械平移系統的微分方程建立系統微分方程式的一般步驟如下：在條件許可下適當簡化，忽略一些次要因素。根據元件的工作原理及其在控制系統中的作用，確定其輸入量和輸出量；分析元件工作中所遵循的物理規(guī)律或化學規(guī)律，列寫相應的微分方程；消去中間變量，得到元件的輸入與輸出之間關系的微分方程式。二、非線性方程的線性化

幾乎所有元件或系統的運動方程都是非線性方程。但在比較小的范圍運動來說，把這些關系看作是線性關系，是不會產生很大誤差的。方程式一經線性化，就可以應用迭加原理。

飽和非線性死區(qū)非線性間隙非線性繼電器非線性2.2.1常見非線性情況單擺(非線性)是未知函數的非線性函數，所以是非線性模型。單擺模型(線性化)有條件存在，只在一定的工作范圍內具有線性特性；2.2.2

線性化問題的提出可以應用疊加原理，以及應用線性理論對系統進行分析和設計。線性系統缺點：線性系統優(yōu)點：線性化定義

將一些非線性方程在一定的工作范圍內用近似的線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。線性化方法：在一定條件下，忽略次要因素的影響，將一些元件視為線性元件；切線法(小偏差法）：特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數。設連續(xù)變化的非線性函數為y=f（x），如圖2.5所示。圖2.5小偏差線性化示意圖取某平衡狀態(tài)A為工作點,對應有。當時，有。設函數在點連續(xù)可微，則將它在該點附近用泰勒級數展開為：當增量很小時，略去其高次冪項，則有:

令則線性化方程可簡記為:

略去增量符號，便得到函數在工作點附近的線性化方程為y=Kx。單變量函數泰勒級數法函數y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數展開式為：略去含有高于一次的增量?x=x-x0的項，則：注：非線性系統的線性化模型，稱為增量方程。注：y=f(x0)稱為系統的靜態(tài)方程多變量函數泰勒級數法增量方程靜態(tài)方程

[例3]鐵心線圈電路如圖2.6（a）所示，其磁通Φ與線圈中電流i之間關系如圖2.6（b）所示。試列寫以ur為輸入量，i為輸出量的電路微分方程。圖2.6鐵心線圈電路及其特性解：設鐵芯線圈磁通變化時產生的感應電勢為（2.20）（2.21）（2.22）式（2.22）便是鐵心線圈在平衡點的增量線性化方程?？偨Y：要建立整個系統的線性化微分方程式，首先確定系統處于平衡狀態(tài)時，各元件的工作點；然后列出各元件在工作點附近的偏量方程式，消去中間變量；最后得到整個系統以偏量表示的線性化方程式。這種小偏差線性化方法特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數。一.拉氏變換1.定義：設函數f(t)滿足：

1f(t)實函數； 2當t<0時，f(t)=0；

3當t0時，則函數f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實數）；F(s)稱為函數f(t)的拉普拉氏變換或象函數;f(t)稱為F(s)的原函數；L為拉氏變換的符號。2-3傳遞函數高等函數初等函數指數函數三角函數單位脈沖函數單位階躍函數單位速度函數單位加速度函數冪函數2.常用函數的拉氏變換指數函數的拉氏變換階躍函數的拉氏變換冪函數的拉氏變換（歐拉公式）三角函數的拉氏變換洛必達法則單位脈沖函數拉氏變換幾個重要的拉氏變換(牢記!

)3.拉氏變換的基本性質

(1)線性性質原函數之和的拉氏變換等于各原函數的拉氏變換之和。

(2)微分性質若，則有

f(0)為原函數f(t)在t=0時的初始值。

證：根據拉氏變換的定義有

原函數二階導數的拉氏變換依次類推，可以得到原函數n階導數的拉氏變換原函數的高階導數

像函數中s的高次代數式(3)積分性質若則式中為積分當t=0時的值。證：設則有由上述微分定理，有即：同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數除以。（4）.終值定理原函數的終值等于其象函數乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對s趨向于0取極限注：若時f(t)極限不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數和余弦函數就不能應用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將取極限。(6)位移定理：a.實域中的位移定理，若原函數在時間上延遲，則其象函數應乘以b.復域中的位移定理，象函數的自變量延遲a，原函數應乘以即：(7)時間比例尺定理原函數在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?。即：證：(8)卷積定理兩個原函數的卷積的拉氏變換等于兩個象函數的乘積。即

證明：

小結：拉氏變換的主要運算定理線性定理微分定理積分定理位移定理延時定理卷積定理初值定理終值定理二.拉氏反變換

1.定義：從象函數F(s)求原函數f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實常數，而且大于F(s)所有極點的實部。接按上式求原函數太復雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數的形式。

若F(s)不能在表中直接找到原函數，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：例3.2.拉式反變換——部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點,這時,F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和式中是D(s)=0的根，稱為F(s)的極點。（