計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)北航自動(dòng)化第6章狀態(tài)空間設(shè)計(jì)-1

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)北京航空航天大學(xué)2010年3月第6章

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)

6.1離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述6.2離散系統(tǒng)的可控可觀性6.3狀態(tài)反饋控制律的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.4狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)6.5調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測(cè)器的組合）狀態(tài)空間方法與經(jīng)典方法1.經(jīng)典控制適用于SISO（單輸入／單輸出）系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)G(z),G(s)描述，設(shè)計(jì)是工程、試湊方法根軌跡設(shè)計(jì)(s,z)、Bode圖設(shè)計(jì)(s=j,G=ejTW’)優(yōu)點(diǎn)：極點(diǎn)位置、頻帶與系統(tǒng)特性直接相關(guān)局限性：無法設(shè)計(jì)MIMO（多輸入／多輸出）系統(tǒng)，多回路系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜2.狀態(tài)空間方法矩陣概念，微分方程、差分方程描述，適用于MIMO系統(tǒng)控制方法多樣化：自適應(yīng)、最優(yōu)、非線性、魯棒分析方法：可控可觀性，矩陣?yán)碚?，線性空間，泛函仍然要用到經(jīng)典理論中的基本概念：根軌跡、頻帶便于利用智能控制方法線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述6.1.1由G(z)建立狀態(tài)方程例：(1)串行法狀態(tài)方程：兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)(2)并行法（部分分式法）矩陣形式：A、B、C矩陣都與串行法不同(3)直接實(shí)現(xiàn)：Z-1的形式，分子階數(shù)低于分母令：有：選：狀態(tài)方程：幾種方法的ABC陣不同階數(shù)相同實(shí)現(xiàn)的傳遞函數(shù)相同輸入輸出關(guān)系相同（4）由差分方程建立狀態(tài)方程有很多種方法：可控標(biāo)準(zhǔn)型，可觀標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型等介紹一種方法，以n階SISO系統(tǒng)為例選狀態(tài)變量：式中：離散狀態(tài)方程：（4）由差分方程建立狀態(tài)方程例：求：F,G,C,D解：得離散狀態(tài)方程：狀態(tài)變量選擇不同，可得到不同的狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)與系統(tǒng)階數(shù)相同輸入和輸出關(guān)系不變離散系統(tǒng)的特征方程相同z特征方程,其根為F的特征值，也是線性離散系統(tǒng)的極點(diǎn)。6.1.3采樣系統(tǒng)的狀態(tài)方程采樣系統(tǒng)：由連續(xù)系統(tǒng)采樣產(chǎn)生的離散系統(tǒng)，采樣后帶有零階保持器，保證采樣輸出在一個(gè)采樣周期內(nèi)不變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程：方框圖：連續(xù)狀態(tài)方程的解：eAt－狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣離散狀態(tài)方程考慮一個(gè)采樣周期T，設(shè)：由連續(xù)方程的解：由于被控對(duì)象輸入為ZOH的輸出，u(t)=常值,kTt(k+1)T，因此，u(t)可以作為常值提到積分外面令（k+1)T-=,d=-d,即由kT(k+1)T,由T0

F、G矩陣的求解(1)級(jí)數(shù)展開法

若A-1存在若A-1不存在,用級(jí)數(shù)求，或MATLAB指令exp(AT)F、G矩陣的求解(2)拉氏變換法

該方法可求得F陣的解析解形式6.1.4脈沖傳遞函數(shù)陣多變量系統(tǒng)用脈沖傳遞函數(shù)矩陣Z變換：當(dāng)x0=0,H—脈沖傳遞函數(shù)矩陣Hij(z)—第i個(gè)輸出對(duì)第j個(gè)輸入的z傳遞函數(shù)

6.1.5離散狀態(tài)方程求解（1）遞推法由x(0)引起由輸入u引起（2）Z變換法例：T＝0.1求：離散狀態(tài)方程解：(1)控制器部分設(shè)：(2)連續(xù)部分

先求A,B，再求F,G

得連續(xù)狀態(tài)方程：離散化：(3)反饋部分代入控制器第6章

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)

6.1離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述6.2離散系統(tǒng)的可控可觀性6.3狀態(tài)反饋控制律的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)6.4狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)6.5調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)（控制律與觀測(cè)器的組合）6.2離散系統(tǒng)的可控可觀性系統(tǒng)的可控可觀性是系統(tǒng)的基本特性，反映了系統(tǒng)的本質(zhì)

可控：可以設(shè)計(jì)控制律，改善系統(tǒng)特性

可觀：可以設(shè)計(jì)觀測(cè)器，估計(jì)狀態(tài)6.2.1可控性與可達(dá)性可控性定義：

對(duì)式(6-1)所示系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k)，能在有限時(shí)間NT內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達(dá)狀態(tài)x(N)=0，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的?？蛇_(dá)性定義：對(duì)式(6-1)所示系統(tǒng)，若可以找到控制序列u(k)

，能在有限時(shí)間NT內(nèi)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)到達(dá)任意期望狀態(tài)x(N)，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達(dá)的。(6-1)系統(tǒng)可控不等于可達(dá)，但可達(dá)一定可控判斷可控、可達(dá)性解：

對(duì)任意控制序列u(k)，x(2)=x(3)=…=x(k)0,系統(tǒng)可控

對(duì)任意控制序列u(k)，不存在x(N)0,系統(tǒng)不可達(dá)可達(dá)肯定可控（x(N)＝0是任意x(N)的特例

）例：離散系統(tǒng)可控可達(dá)應(yīng)滿足的條件1.可達(dá)性條件利用迭代法

為使惟一存在，應(yīng)滿足下述充分必要條件：（1）x是n維向量，N=n，對(duì)n階系統(tǒng)，至少有N步控制（2）必須滿足：可得控制序列：WR－可達(dá)陣離散系統(tǒng)可控及可達(dá)應(yīng)滿足的條件2.可控性條件為使上述線性方程組有解，必須若F是可逆的，則或N=n可控陣系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件，與連續(xù)系統(tǒng)條件一致可控性與可達(dá)性一致由于采樣系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣F=eAT可逆，故采樣系統(tǒng)的可達(dá)性與可控性一致。若F-1不存在，用定義判。可控性由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定，不能通過改變狀態(tài)變量、順序或增加控制序列來改變X(N)=0可控性與可達(dá)性都描述了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，兩者之間略有差別。對(duì)于采樣系統(tǒng)，可控性與可達(dá)性是等價(jià)的，可用可達(dá)性矩陣判斷可控性與可達(dá)性。對(duì)于純離散系統(tǒng)，若F是可逆的，可控性與可達(dá)性等價(jià)。若F是奇異的，系統(tǒng)可控不一定可達(dá)；系統(tǒng)可達(dá)則一定可控，這時(shí)應(yīng)當(dāng)用定義去判斷系統(tǒng)的可控性與可達(dá)性。系統(tǒng)可控性是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的，簡(jiǎn)單地改變狀態(tài)變量的選取或增加控制序列的步數(shù)都不能改變系統(tǒng)可控性。如果系統(tǒng)不可控，也就沒有必要去尋求控制作用，惟一的辦法是修改系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使F、G構(gòu)成可控對(duì)。如果n階系統(tǒng)可控，一般在至多n個(gè)采樣周期內(nèi)即可找到所需控制序列。但前提是控制序列不受限。離散系統(tǒng)可控及可達(dá)的有關(guān)說明需要指出的是，即使系統(tǒng)是可控的，只有當(dāng)控制信號(hào)的幅值不受限制時(shí)，才能確保在至多n個(gè)采樣周期內(nèi)將任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。否則，可能會(huì)需要更多的采樣周期。例：分析下圖所示系統(tǒng)的可控性，設(shè)采樣周期T=1s。若控制量，情況又如何？

解：連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

因此，該系統(tǒng)是可控的，在控制量u(k)不受限制情況下，至多需要2個(gè)采樣周期即可將任意初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)若u(k)幅值受限，|u(k)

|<=1,此時(shí)若仍要求，離散狀態(tài)方程

只有當(dāng)初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)都處于平行四邊形內(nèi)部時(shí)，才可保證在兩個(gè)采樣周期內(nèi)將系統(tǒng)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)；當(dāng)初始狀態(tài)處于四邊形的外部時(shí)，則可能需要更多個(gè)采樣周期才能將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。

6.2.2可觀性與可重構(gòu)性一般系統(tǒng)的輸出維數(shù)p<n狀態(tài)的維數(shù)，不是全部狀態(tài)可測(cè)量有時(shí)候需要用輸出量構(gòu)造狀態(tài)量（狀態(tài)觀測(cè)器），條件是系統(tǒng)可觀應(yīng)用廣泛：傳感器故障下的狀態(tài)量估計(jì)，利用輸出量估計(jì)狀態(tài)量的值，實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)反饋

信息重構(gòu)6.2.2可觀性與可重構(gòu)性可觀性定義：如果可以利用系統(tǒng)輸出y(k)，在有限的時(shí)間NT內(nèi)確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)，則稱該系統(tǒng)是可觀的。

系統(tǒng)的可觀性只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及輸出信息的特性有關(guān)，與控制無關(guān)，為此，以后可只研究系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)：離散系統(tǒng)：6.2.2可觀性可觀性判據(jù)：離散系統(tǒng)：

已知

，為使x(0)有解，要求：

(1)N＝n，利用y的N步值(2)唯一確定x(0)是系統(tǒng)可觀的充分必要條件由y可以確定x(0),從而可以唯一確定x(N)系統(tǒng)可觀，一定可重構(gòu)F-1存在時(shí)，可觀＝可重構(gòu)采樣系統(tǒng)F=eAT,F-1存在以后只講可控，可觀，不再講可達(dá)，可重構(gòu)可重構(gòu)性定義：如果可以利用系統(tǒng)輸出y(k)，在有限的時(shí)間NT內(nèi)確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(N)，則稱該系統(tǒng)是可重構(gòu)的。X(N)可探測(cè),但不一定知道全部x（0…k）的值例：研究可觀性解：令離散：系統(tǒng)可觀若：系統(tǒng)不可觀已知，求可微分或差分唯一得到已知，求，需要積分，解不唯一，所以不可觀6.2.3可控可觀性與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系1.與傳遞函數(shù)的關(guān)系系統(tǒng)組成部份S1:可控可觀S2:不可控不可觀S3:可控不可觀S4:可觀不可控系統(tǒng)脈沖傳函傳遞函數(shù)只反映了系統(tǒng)中可控可觀那部分狀態(tài)S1的特性。離散狀態(tài)方程(1)若分子和分母無相消因子，則系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控(3)若分子和分母無相消因子，則系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控可觀。若有相消，則可能是狀態(tài)不完全可控，也可能是狀態(tài)不完全可觀，也可能是狀態(tài)既不完全可控又不完全可觀。(2)若分子和分母無相消因子，則系統(tǒng)的狀態(tài)完全可觀系統(tǒng)不完全可控可觀：G(z)中發(fā)生了零極對(duì)消一個(gè)n階系統(tǒng)，G(z)有p<n個(gè)極點(diǎn)時(shí)，一定有零極對(duì)消例：研究可控可觀性解：可控陣若可控：可觀陣：當(dāng)b=a+1時(shí)，系統(tǒng)不可控，不可觀發(fā)生了全部零極對(duì)消系統(tǒng)既不可控，也不可觀2.可控可觀與系統(tǒng)模態(tài)的關(guān)系離散系統(tǒng)：有各異特征根1,…,n進(jìn)行相似變換：P－系統(tǒng)的特征向量陣式中：可得：若中第i行全為0，不可控若中第j列全為0，不可觀上例中：令:得：模態(tài)不出現(xiàn)在y中，不可觀模態(tài)與u無關(guān)，不可控6.2.4可控可觀性與采樣周期的關(guān)系計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)＝采樣系統(tǒng)采樣系統(tǒng)可控可觀連續(xù)系統(tǒng)可控可觀，反之不一定對(duì)于采樣系統(tǒng)，若原連續(xù)系統(tǒng)是可控及可觀的，采樣系統(tǒng)仍然可控可觀的充分條件是：對(duì)連續(xù)系統(tǒng)任意2個(gè)相異特征根λp、λq，下式應(yīng)成立：若連續(xù)系統(tǒng)的特征根無復(fù)根時(shí)，則采樣系統(tǒng)必定是可控及可觀的。例：研究可控可觀性1.連續(xù)系統(tǒng)

系統(tǒng)可控可觀

2.離散系統(tǒng)(由L反變換得到):當(dāng):

系統(tǒng)為不可控不可觀的(1)K為奇數(shù)，k=1不可控，不可觀

(2)K為偶數(shù)，k=2

不可控，不可觀

3.傳遞函數(shù)連續(xù)：離散：（1）k為奇數(shù)：cosT=cosk=-1

有一對(duì)零極對(duì)消，不可控或不可觀將原映射在z=-1處被采樣信號(hào)振蕩周期：,采樣周期：脈沖響應(yīng)：不可控：G(z)比G(s)少一個(gè)極點(diǎn)，c(k)與c(t)差別大不可觀：c