大學(xué)物理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

第3章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)3-1剛體運(yùn)動(dòng)的描述3-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能3-4角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律3-5碰撞3-6剛體的進(jìn)動(dòng)13.1.1平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)討論剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。剛體:在外力作用下形狀和大小保持不變的物體.各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置永不發(fā)生變化的質(zhì)點(diǎn)系。3.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述2轉(zhuǎn)動(dòng)：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。轉(zhuǎn)軸3轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。3.1.2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述4角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反53.2.1力矩力矩為零時(shí):3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)固定點(diǎn)的力矩力矩大小等于此力和力臂的乘積.力為零或力的作用線與矢徑共線(sin=0).6轉(zhuǎn)動(dòng)平面(2)轉(zhuǎn)動(dòng)平面(1)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩73.2.2轉(zhuǎn)動(dòng)定律

將切向分量式兩邊同乘以

,變換得8剛體繞定軸Z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(momentofinertia)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性,J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性.

與地位相當(dāng)9對(duì)于質(zhì)量元連續(xù)分布的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)成其中r是質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離。3.2.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。10例3-2求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx11例3-3求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓面垂直并通過(guò)圓心。解(1)均勻圓環(huán)對(duì)中心垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圓環(huán)對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為12(2)均勻圓盤(pán)對(duì)中心垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圓盤(pán)質(zhì)量面密度為

由第(1)問(wèn)的計(jì)算可知，它對(duì)中心垂直軸Z的元轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

整個(gè)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為13與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量質(zhì)量的分布轉(zhuǎn)軸的位置實(shí)質(zhì)與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的只有前兩個(gè)因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個(gè)質(zhì)元的矢徑。注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量14平行軸定理例3-3中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,JA表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.兩軸平行,相距L/2.可見(jiàn):推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行,相距為d,剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,則有：J＝JC＋md2.這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理.15右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、球半徑為R）16例3-5一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，外力矩為重力對(duì)O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，該質(zhì)量元的重力對(duì)軸的元力矩為Ogdmdm3.2.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例17重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為Ogdmdm代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得18193.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能3.3.1力矩的功式中力矩做功是力做功的角量表達(dá)式.20比較：3.3.2轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。213.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理223.3.4剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能等于其重力與質(zhì)心高度之積.剛體的重力勢(shì)能是組成它的各個(gè)質(zhì)元的重力勢(shì)能之和.23若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,只有重力做功,其他非保守內(nèi)力不做功,則剛體在重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒.24例3-7如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的勻質(zhì)長(zhǎng)棒可在豎直平面內(nèi)繞其支撐點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始棒處在水平位置由靜止釋放，求(1)細(xì)棒釋放時(shí)的角加速度；(2)棒落到豎直位置時(shí)的角速度.

解(1)據(jù)題設(shè)，棒的重心C離支點(diǎn)距離OC＝l/6.故重力對(duì)O軸的力矩為棒對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

25因此(2)棒下落過(guò)程中，只有重力做功，故棒與地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，選擇水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，則

將J代入，化簡(jiǎn)后，可得棒到達(dá)豎直位置時(shí)的角速度為263.4角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律3.4.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量O角動(dòng)量又稱動(dòng)量矩.若質(zhì)點(diǎn)繞某固定軸O作圓周運(yùn)動(dòng),則:273.4.2剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各質(zhì)元某一瞬時(shí)均以相同的角速度繞該定軸作圓周運(yùn)動(dòng).剛體對(duì)某定軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積.283.4.3剛體的角動(dòng)量定理沖量矩,又叫角動(dòng)量.外力矩對(duì)系統(tǒng)的角沖量(沖量矩)等于角動(dòng)量的增量.若J可以改變,則293.4.4角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí),物體的角動(dòng)量保持不變.這一結(jié)論稱為角動(dòng)量守恒定律.302、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體。FF31實(shí)際中的一些現(xiàn)象藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合Ⅰ、芭蕾舞演員的高難動(dòng)作32Ⅱ當(dāng)滑冰、跳水、體操運(yùn)動(dòng)員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)也總是曲體、減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、增加角速度。當(dāng)落地時(shí)則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、使身體平穩(wěn)地。33例3-9一勻質(zhì)轉(zhuǎn)臺(tái)質(zhì)量為M，半徑為R，可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初角速度為ω0，一人立在臺(tái)中心，質(zhì)量為m.若他以恒定的速度u相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)沿半徑方向走向邊緣，如圖所示.試計(jì)算人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，(1)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度；(2)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù).解(1)在人走動(dòng)過(guò)程中，人和轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)沿豎直軸方向的外力矩為零，故對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒.取人立于臺(tái)心為初狀態(tài)，t時(shí)刻人到達(dá)距臺(tái)心ut處，依系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，有34式中ωt是t時(shí)刻轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度.由上式可得到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)刻為

，故相應(yīng)的角速度ω為35故轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為(2)

時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度可由

通過(guò)積分求得363.5碰撞物體在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生相互作用的過(guò)程。碰撞過(guò)程的特點(diǎn)：1、各個(gè)物體的動(dòng)量明顯改變。2、系統(tǒng)的總動(dòng)量(總角動(dòng)量)守恒。彈性碰撞：Ek=0碰撞過(guò)程中兩球的機(jī)械能（動(dòng)能）完全沒(méi)有損失。非彈性碰撞：Ek<0碰撞過(guò)程中兩球的機(jī)械能（動(dòng)能）要損失一部分。完全非彈性碰撞：Ek<0且絕對(duì)值最大兩球碰后合為一體，以共同的速度運(yùn)動(dòng)。37二維彈性碰撞兩個(gè)質(zhì)量相同的粒子，發(fā)生彈性碰撞碰前一個(gè)粒子靜止，碰后兩個(gè)粒子的速度相互垂直38例3-11如圖，已知：子彈射入并嵌在棒內(nèi)，求子彈的初速。解：過(guò)程分兩步1、子彈與棒發(fā)生完全非彈性碰撞角動(dòng)量守恒2、子彈與棒擺動(dòng)，機(jī)械能守恒。39三、陀螺的旋進(jìn)（進(jìn)動(dòng)）一）何謂旋進(jìn)陀螺的運(yùn)動(dòng)O