高考數(shù)學(xué)試卷（模擬題）

第第頁高考數(shù)學(xué)試卷（模擬題）（含答案解析）題號一二三總分得分一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）設(shè)集合，，則(

)A. B. C. D.若為實數(shù)，是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)為(

)A. B. C. D.若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值是(

)A. B. C. D.設(shè)，則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件某幾何體的三視圖如圖所示單位：，則該幾何體的體積單位：是(

)A. B. C. D.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(

)A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度已知，，則(

)A. B. C. D.如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則(

)A.

B.

C.

D.已知，，若對任意，，則(

)A.， B.， C.， D.，已知數(shù)列滿足，，則(

)A. B. C. D.二、填空題（本大題共7小題，共36.0分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中，，是三角形的三邊，是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，，，則該三角形的面積______．已知多項式，則______，______．若，，則

，

．已知函數(shù)則______；若當(dāng)時，，則的最大值是______．現(xiàn)有張卡片，分別寫上數(shù)字，，，，，，從這張卡片中隨機抽取張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則______，______．已知雙曲線的左焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且若，則雙曲線的離心率是______．設(shè)點在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是______．三、解答題（本大題共5小題，共74.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分

在中，角，，所對的邊分別為，，已知，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ若，求的面積．本小題分

如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為設(shè)，分別為，的中點．

Ⅰ證明：；

Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．本小題分

已知等差數(shù)列的首項，公差記的前項和為

Ⅰ若，求；

Ⅱ若對于每個，存在實數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．本小題分

如圖，已知橢圓設(shè)，是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線，分別交直線于，兩點．

Ⅰ求點到橢圓上點的距離的最大值；

Ⅱ求的最小值．本小題分

設(shè)函數(shù)．

Ⅰ求的單調(diào)區(qū)間；

Ⅱ已知，，曲線上不同的三點，，處的切線都經(jīng)過點證明：

(ⅰ)若，則；

(ⅱ)若，，則．

注：是自然對數(shù)的底數(shù)答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】

本題考查集合的運算，首先求出集合，運用交集的定義即可求解．

【解答】

解：因為，

則．

故選B．

2.【答案】

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求出實數(shù)，后可得結(jié)論．【解答】解：由題意，，

，，

所以．

故選C．

3.【答案】

【解析】解：實數(shù)，滿足約束條件

則不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分，

由已知可得，

由圖可知：當(dāng)直線過點時，取最大值，

則的最大值是，

故選：．

先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖象求解即可．

本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，重點考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：當(dāng)時，滿足，但，即充分性不成立，

當(dāng)時，滿足，但不成立，即必要性不成立，

即“”是“”的既不充分也不必要條件，

故選：．

根據(jù)三角函數(shù)值的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，

所以幾何體的體積為：

故選：．

判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是中檔題．

6.【答案】

【解析】解：把圖象上所有的點向右平移各單位可得的圖象．

故選：．

由已知結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解．

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象平移，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】【分析】求出，利用換底公式得，由此能求出結(jié)果．

本題考查對數(shù)的運算，考查對數(shù)的性質(zhì)、運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．【解答】解：，，

，

．

故選：．

8.【答案】

【解析】解：正三棱柱中，，

正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為，

如圖，過作，垂足點為，連接，則，

與所成的角為，且，

又，，

與平面所成的角為，且，

，，

再過點作，垂足點為，連接，

又易知底面，底面，

，又，平面，

二面角的平面角為，且，又，

，，，

又，，，

由得，又，，，在單調(diào)遞增，

，

故選：．

根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

9.【答案】

【解析】解：取，則不等式為，顯然，且，

觀察選項可知，只有選項D符合題意．

故選：．

取特值，結(jié)合選項直接得出答案．

本題考查絕對值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題效率，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】【分析】分析可知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，根據(jù)題意先確定上限，得到，由此可推得，再將原式變形確定下限，可得，由此可推得，綜合即可得到答案．

本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調(diào)性等知識，對化簡變形能力要求較高，考查運算求解能力，邏輯推理能力，屬于難題．【解答】解：，

為遞減數(shù)列，

又，且，

，

又，則，

，

，

，則，

；

由得，

得，

累加可得，，

，

；

綜上，．

故選：．

11.【答案】

【解析】解：由，

故答案為：．

直接由秦九韶計算可得面積．

本題考查學(xué)生的閱讀能力，考查學(xué)生計算能力，屬基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：，

；

令，則，

令，則，

．

故答案為：，．

相當(dāng)于是用中的一次項系數(shù)乘以展開式中的一次項系數(shù)加上中的常數(shù)項乘以展開式中的二次項系數(shù)之和，分別令，，即可求得的值．

本題考查二項式定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

由誘導(dǎo)公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出，由此能求出的值．【解答】解：，，

，

，

，

，

解得，，

．

故答案為：；．

14.【答案】

【解析】解：函數(shù)，，

；

作出函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，若當(dāng)時，，則的最大值是．

故答案為：；．

直接由分段函數(shù)解析式求；畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意可得：的取值可為，，，，

又，

，

，

，

，

故答案為：；．

根據(jù)組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機變量的均值定義即可求解．

本題考查組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機變量的均值定義，屬基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，

由于且，則點在漸近線上，不妨設(shè)，

設(shè)直線的傾斜角為，則，則，即，則，

，

又，則，

又，則，則，

點的坐標(biāo)為，

，即，

．

故答案為：．

過點作軸于點，過點作軸于點，依題意，點在漸近線上，不妨設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可求得點的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程，化簡可得，的關(guān)系，進而得到離心率．

本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】

【解析】解：以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，，，，

設(shè)，

則，

，，

，

，

即的取值范圍是，

故答案為：．

以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出正八邊形各個頂點坐標(biāo)，設(shè)，進而得到，根據(jù)點的位置可求出的范圍，從而得到的取值范圍．

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：Ⅰ因為，所以，且，

由正弦定理可得：，

即有；

Ⅱ因為，

所以，故A，

又因為，所以，

所以；

由正弦定理可得：，

所以，

所以．

【解析】Ⅰ根據(jù)，確定的范圍，再求出，由正弦定理可求得；

Ⅱ根據(jù)，的正、余弦值，求出，再由正弦定理求出，代入面積公式計算即可．

本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】證明：由于，，

平面平面，平面，平面，

所以為二面角的平面角，

則，平面，則．

又，

則是等邊三角形，則，

因為，，，平面，平面，

所以平面，因為平面，所以，

又因為，平面，平面，

所以平面，因為平面，故F；

解：Ⅱ由于平面，如圖建系：

于是，則，

，

設(shè)平面的法向量，

則，，令，則，，

平面的法向量，

設(shè)與平面所成角為，

則．

【解析】Ⅰ根據(jù)題意證出平面，即可得證；Ⅱ由于平面，如圖建系，求得平面的法向量，代入公式即可求解．

本題考查了線線垂直的證明和線面角的計算，屬于中檔題．

20.【答案】解：Ⅰ因為等差數(shù)列的首項，公差，

因為，可得，即，

，即，

整理可得：，解得，

所以，

即；

Ⅱ因為對于每個，存在實數(shù)，使，，成等比數(shù)列，

則

整理可得：，則，

即或，

整理可得或，

當(dāng)時，可得或，而，

所以舍，

所以的范圍為；

時，或，而，

所以此時，

當(dāng)為大于的任何整數(shù)，或，而，

所以舍，恒成立；

綜上所述，時，；

為不等于的正整數(shù)時，的取值范圍為，都存在，使，，成等比數(shù)列．

【解析】Ⅰ由等差數(shù)列的首項及可得關(guān)于公差的方程，再由公差的范圍可得的值，再由等差數(shù)列的前項和公式可得的解析式；

Ⅱ由，，成等比數(shù)列，可得關(guān)于的二次方程，由判別式大于可得的表達式，分類討論可得的取值范圍．

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，恒成立的判斷方法，屬于中檔題．

21.【答案】解：Ⅰ設(shè)橢圓上任意一點，則，，

而函數(shù)的對稱軸為，則其最大值為，

，即點到橢圓上點的距離的最大值為；

Ⅱ設(shè)直線：，

聯(lián)立直線與橢圓方程有，消去并整理可得，，

由韋達定理可得，，

，

設(shè)，，直線：，直線：，

聯(lián)立以及，

可得，

由弦長公式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

的最小值為．

【解析】Ⅰ設(shè)橢圓上任意一點，利用兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；

Ⅱ設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，進而表示出，再分別聯(lián)立直線，直線與直線，得到，兩點的坐標(biāo)，由此可表示出，再轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查直線與橢圓的綜合運用，涉及了兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，弦長公式等基礎(chǔ)知識點，考查邏輯推理能力，運算求解能力，屬于難題．

22.【答案】解：Ⅰ函數(shù)，

，，

由，得，在上單調(diào)遞增；

由，得，在上單調(diào)遞減．

Ⅱ證明：設(shè)經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象相切時切點坐標(biāo)為，

則切線方程為：，

，切線的方程為，

，

令，，

曲線上不同的三點，，處的切線都經(jīng)過點，

函數(shù)有三個不同的零點，

，

，，或時，，單調(diào)遞增，

時，，單調(diào)遞減，從而，，

，且，

由得，由有，

，要證明，

只需證明，即，

令，則，單調(diào)遞增，

，，

綜上，若，則；

(ⅱ)證明：由知有三個不同的零點，

設(shè)，則化為，

在三個不同的零點，，，且，

，，

，

解得，

要證明結(jié)論，只需證明，

即，

把式代入得只需證明，

即，

令，由題意